“Bài toán cho giải thưởng” của thế kỷ trước

45

“Bài toán để có giải thưởng” đã trôi qua nhiều thế kỷ

Ứng viên khoa học sư phạm
I. S. PETRAKOV

Năm 1884, giáo sư Đại học Kyiv V.P. Ermkov đã xuất bản “Tạp chí Toán học Tiểu học” bằng chi phí của mình. Tạp chí được phân phối theo hình thức đặt mua dài hạn trên toàn quốc. Nhiều nhà toán học lỗi lạc thời bấy giờ đã tham gia vào công việc biên tập.

Hai năm sau, Ermkov không có đủ kinh phí - một tạp chí có tên “Bản tin Vật lý Thực nghiệm và Toán cơ bản” bắt đầu được xuất bản và biên tập bởi E. K. Shpachinsky. Tuy nhiên, thành phần ban biên tập không có gì thay đổi. Ermkov tiếp tục tham gia tích cực vào công việc của mình.

Từ năm 1899, biên tập viên của Vestnik là nhà hình học nổi tiếng sau này V.F. Kagan. Việc xuất bản “Vestnik” tiếp tục cho đến tháng 1 năm 1917.

Từ năm 1885, tạp chí bắt đầu xuất bản “Bài toán để có giải thưởng” (Ở nước ta, đây là cuộc thi đầu tiên dành cho lời giải bài toán, được tổ chức trên báo chí nói chung.) Chúng tôi xin giới thiệu năm bài toán đầu tiên (tất nhiên, thuật ngữ của họ khác với thuật ngữ của chúng tôi).

Bài toán 1 (1885). Tìm ba số nguyên sao cho tổng bình phương của chúng chia hết cho tích của chúng và không có số dư. Chứng minh rằng bài toán có số vô hạn lời giải, mặc dù không thể lập biểu thức tổng quát cho các số ban đầu *). Chứng minh rằng thương không thể bằng bất kỳ số nào khác ngoại trừ 3 và 1. Cho tất cả lời giải. Không quá 1000.

Bài toán 2 (1886). Chứng minh các mệnh đề sau: nếu tổng bình phương của hai số nguyên tố cùng nhau được phân tích thành thừa số thì mỗi thừa số cũng có thể biểu diễn dưới dạng tổng bình phương của hai số.

Bài toán 3 (1887). Dante hai vòng tròn không giao nhau; trên hai tiếp tuyến chung trong của chúng lấy hai điểm F và F’ tùy ý. Từ mỗi điểm này có thể kiểm tra thêm một tiếp tuyến với mỗi đường tròn; Giả sử các tiếp tuyến nối điểm F và F’ với một đường tròn gặp nhau tại điểm A, cắt đường tròn kia tại điểm B. Cần chứng minh đường thẳng AB song song với đường thẳng.

*) Ý của tác giả khi nói “biểu hiện chung” có phần không rõ ràng. Rất có thể, những người biên soạn Bài toán «Kvant» sẽ không chấp nhận một công thức phổ biến như vậy.

Sửa đổi

Ở «Kvant» số 5 trong bài “Trên ngón tay và trong tâm trí” do lỗi của người biên tập ở trang. 41 có một số lỗi. Trong cột thứ hai trên trang. 41 nên là:

Để tìm $(10x+5)^2$, chỉ cần hài hóa số đó và cộng 25 vào sản phẩm thu được là đủ. Ví dụ,

$$35^2 = 3 \cdot 4 \cdot 100 + 25 = 1225.$$

Quy tắc này là hệ quả của sự bình đẳng $(10x+5)^2 = 100x(x+1) + 25,$

(3)

đến lượt nó là trường hợp đặc biệt của chứng minh (2).