Bài toán M821—M825; F833—F837

39

Bài toán

M821—M825; F833—F837

M821. Giải phương trình $x^3+x^2+x=-\frac{1}{3}$.

Yu. I. Ionin

M822. Các thẻ có bốn màu - $n$ xanh lá cây, $n$ đỏ, $n$ xanh lam và $n$ vàng - được xếp chồng lên nhau sao cho sau bốn thẻ màu được lặp lại (ví dụ: các thẻ thứ 1, 5, 9, … có màu đỏ, thứ 2, thứ 6, … là màu vàng, v.v.). Một số thẻ nằm trên cùng, không di chuyển, lật lại và ngẫu nhiên

Hình 1.
còn lại giữa những cái còn lại (Hình 1). Sau đó, ngăn xếp được chia thành $n$ ngăn xếp nhỏ gồm bốn lá bài. Chứng minh rằng mỗi thẻ trong số bốn thẻ này đều chứa các thẻ có đủ bốn màu.

S. B. Shlosman

M823. Đường viền của một ngôi nhà dài 60 m và rộng 15 m được sao chép từ bức ảnh (Hình 2), với bức tường dài hơn trong bức ảnh bên trái (các phần còn lại của đường viền trong bức ảnh bị chặn bởi một cành cây). Yêu cầu:
a) hoàn thiện đề cương;
b) Hoàn thành việc vẽ bản đồ chính xác (hình chiếu trên mặt phẳng nằm ngang), trên đó chỉ rõ đường nét ngôi nhà và điểm chụp;
b) xác định chiều cao của ngôi nhà và chiều cao mà việc bắn là tùy ý.

D. B. Fuchs

M824. Trong lưới hiển thị ở Hình 3, mỗi ô có kích thước $1 \times 1$. Lưới này có thể được đại diện như một công đoàn?
a) 8 nét đứt dài 5;
b) 5 nét đứt dài 8? (8)

N. I. Avilov

M825. Bộ $M$ bao gồm $k$ các đoạn rời rạc theo cặp nằm trên một

40

Xin nhắc độc giả rằng vào tháng 12, chúng tôi sẽ tổng hợp kết quả cuộc thi lời giải bài toán từ “Nhiệm vụ «Kvant» (các thư gửi trước ngày 10 tháng 12 sẽ được tính đến). Người chiến thắng sẽ có quyền tham gia Resurikan Olympic tương ứng ở các môn toán hoặc vật lý. Khi đánh giá sự thành công của học sinh trong môn toán, mọi sự chú ý cũng sẽ tập trung vào các thư liên quan đến “bài toán cho nghiên cứu” (xem Số 2). 5, tr. 37, “Mở rộng sang nhiều yếu tố khác nhau”; số 7, tr.

Thẳng. Biết rằng mọi đoạn có độ dài không lớn hơn 1 đều có thể đặt trên một đường thẳng sao cho các đầu của nó thuộc tập M. Chứng minh rằng tổng độ dài của các đoạn tạo nên M không nhỏ hơn 1/k. (10)

E. I. Khukhro

F833. Trên băng chuyền tôi nhận với tốc độ $v_0=1$ m/s, một chiếc hộp được đặt ở bên cạnh. Tốc độ của hộp ngay sau khi chạm vào băng là $u_0=2$ m/s và vuông góc với tốc độ của băng. Tốc độ tối thiểu so với Trái đất mà hộp sẽ có khi chuyển động là bao nhiêu? Lực rung đủ mạnh và hộp không bị trượt khỏi dây đai. (8)

S. S. Krotov

F834. Một quả bóng có khối lượng $m_1=0,1$ kg được treo trên trần nhà bằng một sợi dây rất dài không trọng lượng, và một quả bóng có khối lượng $m_2=0,05$ kg được gắn vào nó bằng một sợi dây có chiều dài $l=0,2$ m. Quả bóng phía dưới được cho tốc độ $v_0$ theo hướng ngang một cách hiệu quả. Tại giá trị nào $v_0$ các quả bóng có thể ở cùng độ cao? (9)

E. I. Butikov

F835. Một lò sưởi được đặt trong một cốc nước và đo sự phụ thuộc của nhiệt độ nước vào thời gian (xem bảng).

1. Nước sẽ nguội bao nhiêu độ trong 1 phút nếu máy sưởi bị ngắt khỏi mạng ở nhiệt độ $t_1=50^\circ\text{C}$?
2. Nước có sôi không nếu bật máy sưởi trong thời gian dài?
   Công suất của lò sưởi được coi là không đổi. (8)

Thời gian, t phút 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Temperature, $t^\circ\text{C}$ 20 26,2 31,8 36,8 41,4 45,6 49,3 52,7 55,8 58,5 61,1

A. R. Zilberman

F836. Bản A của tụ điện phẳng đứng yên, bản B được gắn vào tường bằng lò xo và có thể chuyển động song song với bản A (Hình 4). Sau khi đóng phím K, tấm B bắt đầu chuyển động và giữ nguyên ở vị trí cân bằng mới. Đồng thời, khoảng cách giữa các tấm giảm đi $\alpha_1=10\%$. Khoảng cách cân bằng giữa các bản sẽ thay đổi bao nhiêu nếu công tắc K đóng trong một thời gian ngắn? Giả định rằng trong thời gian này biển B không có thời gian để chuyển dịch đáng kể. (9)

A. I. Buzdin

F837. Để thay đổi vận tốc của hạt, người ta sử dụng máy đo gió bằng laser, trong đó một chuyển động