Tại sao nước lại chảy ra khỏi xô?

16

“Bí ẩn”
Một lần nữa tôi không thể hiểu bất cứ điều gì
Mùn cưa của tôi là một mớ hỗn độn.
Ở mọi nơi và mọi nơi, lặp đi lặp lại
Tôi bị bao quanh bởi những câu đố.

A. A. Mill. “Winnie the Pooh và mọi thứ, mọi thứ, mọi thứ.”
Thật khó để đếm bao nhiêu lần bạn phải đổ nước ra khỏi xô, ly, bình và các đồ đựng khác. Bạn có bao giờ thắc mắc tại sao nó lại chảy ra khỏi đó không?

Chúng tôi thấy trước sự phủ nhận: “Còn gì để nghĩ nữa? Điều này hoàn toàn rõ ràng! Lực hấp dẫn tác dụng lên nước, và nếu tàu bị lật, thì dưới tác dụng của lực này, nước sẽ mất tầm nhìn. Điều gì có thể khó hiểu ở đây?”

Hãy thực hiện một vài thí nghiệm sẽ cho bạn thấy rằng không phải mọi thứ đều đơn giản như vậy.

Thói quen hàng ngày 1. Đổ nước vào ly và úp ngược nó. Đúng như bạn mong đợi, nước đổ ra.

Quy trình 2. Đổ nước vào cùng một chiếc ly, dùng một mảnh giấy đậy lại, ấn chặt tờ giấy vào mép ly, lật ly lại và thả tờ giấy ra. Nước không đổ ra ngoài.

Thí nghiệm này đã được nhiều người biết đến và có thể giải thích một cách đơn giản: nước không chảy ra ngoài vì áp suất khí quyển ngăn cản nó. Dưới tác dụng của trọng lượng của nước, lá bị uốn cong, mực nước trong kính ngược bị giẫm đạp, thể tích chiếm trong kính không khí tăng lên nên áp suất không khí giảm và thấp hơn khí quyển (Hình 1).

Sự chênh lệch áp suất giữa không khí trong khí quyển và không khí bên trong kính hướng lên trên và được cân bằng bởi lực hấp dẫn tác dụng lên mặt nước. Vì vậy, nước không đổ ra, mặc dù ngoại trừ một mảnh giấy, các điều kiện của thí nghiệm này - kích thước của bình, lượng nước đổ vào, áp suất khí quyển, nhiệt độ, v.v. - lặp lại hoàn toàn các điều kiện của thí nghiệm 1.

Quy trình 3. Đổ nước từ hai chai vào chai và lật lại. Nước không đổ ra ngoài.

Kết quả của thí nghiệm này được biết đến rộng rãi nhưng thường không được coi trọng. Tuy nhiên, nếu bạn rẽ

18

không xảy ra, biên độ của sóng ở bề mặt phía dưới sẽ tắt dần theo thời gian và nước không chảy ra ngoài.

Trong những điều kiện nào một sóng không ổn định sẽ phát sinh? Đáp số Câu hỏi này sẽ được trả lời trong đoạn tiếp theo, nhưng, nhìn về phía trước một chút, chúng ta sẽ nói rằng bước sóng có tầm quan trọng quyết định. Nếu nó nhỏ hơn một giá trị tới hạn nhất định thì sóng sẽ mờ dần; nếu nhiều hơn thì sóng không ổn định. Điều này giải thích tại sao nước không đổ ra khỏi chai và các bình khác có cổ hẹp: nếu đường kính của lỗ nhỏ hơn giá trị tới hạn thì sóng không ổn định sẽ không phát sinh - chúng chỉ đơn giản là “không vừa” trong lỗ có đường kính nhỏ.

Chúng tôi nhấn mạnh rằng yếu tố “giữ” chính là áp suất khí quyển. Nguyên nhân nước đổ ra ngoài là do xuất hiện sóng không ổn định ở mặt dưới của chất lỏng đảo ngược.

Bây giờ sẽ tham gia vào một nghiên cứu chi tiết hơn về sóng không ổn định.

Một chút toán học

Tiếp theo, gọt vỏ một chút, một thìa cà phê - thế là ngon rồi!

A. A. Mill. “Winnie the Pooh và mọi thứ, mọi thứ, mọi thứ.”

Thật không may, việc phân tích đầy đủ các quá trình xảy ra ở bề mặt dưới của chất lỏng đảo ngược là khá khó khăn. Do đó, chúng tôi sẽ hạn chế xem xét một mô hình đơn giản hóa, tuy nhiên, mô hình này giúp bạn có thể hiểu được quy trình.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta lật một chiếc bình được phủ một tờ giấy và lực áp suất khí quyển cân bằng với lực hấp dẫn tác dụng lên cơ thể (điều này xảy ra trong thí nghiệm 2). Bây giờ chúng ta hãy tưởng tượng rằng một tờ giấy biến mất ngay lập tức và một bề mặt tự do chuyển động ở ranh giới phía dưới của chất lỏng. Ở thời điểm đầu tiên, áp suất khí quyển vẫn giữ chất lỏng, nhưng do sự dao động ngẫu nhiên của lực và bình chứa, sóng bắt đầu hình thành trên bề mặt không bị xáo trộn.

Hình 2.

chúng ta. Hành vi của những làn sóng này sẽ là mối quan tâm hàng đầu của chúng tôi.

Chúng ta sẽ chỉ xem xét một loại sóng: sóng phẳng trong một bình có công thức hình chữ nhật chính xác. Trong trường hợp này, chúng tôi sẽ đề xuất rằng phần sóng theo mặt phẳng α, như trong Hình 2, bao gồm các hình bán nguyệt có bán kính R. Loại sóng này được chọn chủ yếu do tính đơn giản của tính toán. Khoảng cách của các loại sóng khác dẫn đến kết luận tương tự.

Khi sóng xuất hiện ở bề mặt dưới của chất lỏng, năng lượng bề mặt của chất lỏng và thế năng của nó thay đổi.

Như chúng ta đã nói, tính chất của sóng ở bề mặt dưới của chất lỏng được xác định bởi sức căng bề mặt. Khi có sóng xảy ra, diện tích bề mặt tự do ở trạng thái cân bằng. Do đó, trạng thái cân bằng của bề mặt chất lỏng

Hãy nhớ lại rằng các phân tử trên bề mặt có nhiều năng lượng hơn các phân tử bên trong chất lỏng. Các lực hấp dẫn tác dụng lên một phân tử bên trong chất lỏng từ các phân tử lân cận của nó được định hướng theo mọi hướng và hợp lực của chúng bằng không. Và tổng lực hấp dẫn tác dụng lên một phân tử trên bề mặt chất lỏng không bằng không. Để di chuyển một phân tử từ độ sâu lên bề mặt, công phải được thực hiện chống lại lực này. Do đó, các phân tử hấp thụ năng lượng bề mặt so với các phân tử nằm bên trong chất lỏng. Cái này

19

dư thừa được gọi là năng lượng bề mặt. Rõ ràng là năng lượng bề mặt tỷ lệ thuận với diện tích bề mặt: $W = \sigma S$, trong đó hệ số tỷ lệ $\sigma$ được gọi là hệ số căng bề mặt.

Hãy tưởng tượng rằng một sóng hình thành ở bề mặt dưới của chất lỏng ở trạng thái nghịch đảo, chiều dài của sóng này bằng kích thước tuyến tính của lỗ trong bình (Hình 3). Hãy tính độ biến thiên năng lượng của chất lỏng, tức là độ chênh lệch giữa năng lượng trước và sau khi sóng xảy ra.

Diện tích bề mặt của chất lỏng (xem Hình 3) tăng lên

$$\Delta S = S_2 - S_1 = 4\pi Rl - 4Rl.$$

Sự tăng bề mặt năng lượng do tăng diện tích bề mặt bằng

$$\Delta W_1 = \sigma (2\pi Rl - 4Rl) = 2\sigma (\pi - 2)Rl.$$

Mặt khác, khi có sóng xảy ra, một phần chất lỏng chìm xuống và theo đó độ biến thiên thế năng bằng

$$\Delta W_2 = -mgh,$$

trong đó $m$ là khối lượng của chất lỏng đi xuống, $h$ là khoảng cách mà trọng tâm của nó giảm xuống, $g$ là gia tốc rơi tự do (điểm trừ trong công thức này có nghĩa là độ biến thiên năng lượng là âm, tức là năng lượng đã giảm).

Dễ dàng tìm được khối lượng của chất lỏng đi xuống $m$ - nó là tích của mật độ của chất lỏng $q$ và thể tích của nửa hình trụ tròn có bán kính $R$ và chiều cao $l$. Khoảng cách mà trọng tâm của chất lỏng rơi xuống là $h = 2d$, trong đó $d$ là khoảng cách từ trọng tâm của một nửa $2^*$

Tổng sự thay đổi năng lượng sẽ được viết là

$$\Delta W = \Delta W_1 + \Delta W =$$

$$= 2(\pi - 2)\sigma Rl - \varphi g l \frac{4}{3} R^3 =$$

$$= 2Rl[(\pi - 2)\sigma - \frac{2}{3}\varphi g R^2].$$

Hình 4 hiển thị biểu đồ $\Delta W$ so với $R$. Nhìn vào biểu đồ đi lên này. Chính anh ta là người đưa ra đáp số cho tất cả những câu hỏi chưa rõ ràng liên quan đến việc xử lý nước. Đầu tiên, so sánh nó với biểu đồ trong Hình 5, biểu thị sự phụ thuộc của thế năng vào tọa độ của một quả bóng nằm trên đỉnh núi trong một lỗ nhỏ. Trông không giống lắm phải không?

Và hoạt động của những hệ thống này, vốn rất khác nhau, hóa ra lại giống nhau ở nhiều khía cạnh. Quả bóng, giống như bất kỳ hệ thống nào, cố gắng

20

chiếm vị trí có thế năng nhỏ nhất. Trong trường hợp có sai lệch nhỏ so với vị trí cân bằng, nó sẽ quay trở lại đáy lỗ. Nhưng nếu độ lệch đủ lớn, quả bóng sẽ bắt đầu lăn xuống núi và không trở về vị trí cân bằng ban đầu. Sau khi vượt qua điểm cao nhất, nó sẽ có xu hướng đạt đến thế năng tối thiểu khác.

Một hình ảnh tương tự xảy ra khi chất lỏng được đổ ra ngoài. Giới hạn dưới không bị xáo trộn tương ứng với giá trị 0 $R$ (điểm 0 trong Hình 4). Khi phát sinh sóng $R < R_{\text{кр}}$, bề mặt chất lỏng sẽ có xu hướng trở về trạng thái không bị xáo trộn. Nhưng ngay khi $R$ vượt quá $R_{\text{кр}}$, biên độ của sóng sẽ có xu hướng tăng vô hạn. Sự giảm năng lượng do chuyển động của tâm khối nặng hóa ra lại lớn hơn sự tăng năng lượng liên quan đến sự gia tăng diện tích bề mặt. Vì vậy, việc sóng tăng biên độ sẽ có lợi về mặt năng lượng. Điều này sẽ dẫn đến chất lỏng chảy ra khỏi bình.

Bây giờ chúng ta hãy tính giá trị tới hạn $R_{\text{кр}}$. Từ Hình 4, rõ ràng là thế năng tối đa chỉ đạt được tại một điểm. Những người đã khám phá hàm cực đại và cực tiểu bằng cách sử dụng các hàm tùy ý, có thể dễ dàng nhận thấy rằng

$$R_{\text{кр}} = \sqrt{\frac{(\pi-2)}{2} \frac{\sigma}{\rho g}}.$$

Phần còn lại sẽ phải để lại lời nói của chúng tôi.

Vì vậy, mô hình đơn giản của chúng tôi cho phép chúng tôi giải thích những đặc điểm quan trọng nhất của hiện tượng đang nghiên cứu. Nhược điểm của nó là tham số $R$ đặc trưng cho cả bước sóng và biên độ của nó. Sẽ nhất quán hơn nhiều nếu đặt tất cả các tham số sóng một cách độc lập, nhưng điều này đòi hỏi phải tính toán độ biến thiên năng lượng. Đối với những người không có sự tích hợp, khó khăn sẽ trở nên không thể vượt qua và chúng tôi đã tìm cách đơn giản hóa mọi phép tính nhiều nhất có thể. Tuy nhiên, việc thay thế các giá trị bằng số cho nước - $\rho = 10^3$ kg/m³ và $\sigma = 73 \cdot 10^{-3}$ J/m² - sẽ cho giá trị bán kính tới hạn là $R_{\text{кр}} = 2 \cdot 10^{-3}$ m=2 mm. Xét rằng bước sóng là $\lambda = 4R$, chúng ta thấy rằng nước sẽ chảy ra khỏi một bình ngược nếu kích thước của phản ứng vượt quá 8 mm, điều này phù hợp hợp lý với thí nghiệm.

---

Vì vậy, chúng tôi đã tìm ra vai trò của các yếu tố khác nhau ảnh hưởng đến việc đổ nước và các chất lỏng khác từ bình. Hiện tượng tưởng chừng đơn giản này hóa ra lại phức tạp và thú vị.

Và để kết luận, chúng ta hãy quay lại từ đầu. Làm thế nào người ta có thể trả lời câu hỏi: “Tại sao nước lại chảy ra khỏi nước?” đáp số chính xác có thể được hình thành gần như thế này: bán kính của thành phố phải là bán kính tới hạn, bắt đầu từ đó các sóng không ổn định có thể hình thành ở mặt dưới của nước. Do đó, sóng vô tình xuất hiện ở mặt dưới của nước có xu hướng tăng biên độ vô hạn, dẫn đến nước trào ngược ra khỏi mặt nước.