Почему вода выливается из ведра?

16

«Загадка»
Опять ничего не могу я понять,
Опилки мои в беспорядке.
Везде и повсуду, опять и опять
Меня окружают заадки.

А. А. Милл. «Винни-Пух и все-все-все».
Трудно сосчитать, сколько раз вам приходилось выливать воду из ведер, стаканов, кувшинов и прочих сосудов. А задумывались ли вы хоть раз, почему она оттуда выливается?

Мы предвидим недопустение: «А над чем тут думать? Этоже совершенно ясно! На воду действует сила тяжести, и если сосуд перевернуть, то под действием этой силы вода потеряет види. Что тут может быть непонятного?»

Проделаем несколько несколько экспериментов, которые показут вам, что не все так просто.

Обыт 1. Наливаем воду в стакан и переворчиваем его вверх дом. Как и следовало ожидать, вода выливается.

Обыт 2. Наливаем воду в тот же стакан, накрываем его листком бумаги, плотно прижимаем листок к краю стакана, переворчиваем стакан и отпускаем листок. Вода не выливается.

Этот опыт хорошо известен, и объясняется он просто: вода не выливается потому, что этому препятствует атмосферное давление. Под действием веса воды листок прогибается, уровень воды в перевернутом стакане попирается, объем, занимаемый в стакане воздуха, увеличается, поэтому давление воздуха умеется и становится ниже атмосферного (рисунок 1).

Разность сил давления атмосферного воздуха и воздуха внутри стакана направлена вверх и уравновешивается сили тяжести, действующего на воду. Вот вода и не выливается, хотя за исключением листка бумаги условия этого опыта — размеры сосуда, количество наливаемой воды, атмосферное давление, температура и т. д. — полностью повторяют условия опыта 1.

Обыт 3. Наливаем воду во фlakон из-под двух и переворчиваем его. Вода не выливается.

Результат этого опыта широко известен, но обычно ему не придают значения. Однако если обратить

18

не возникает, амплитуда волн на нижней поверхности убивает с течение времени, и вода не вытекает.

При каких условиях возникнет неустойчивая волна? Ответ на этот вопрос будет получен в следующем параграфе, но, забегая немного вперед, скажем, что решающее значение имеет длина волны. Если она меньше некоторого критического значения, то волна постепенно затухает, если больше — волна неустойчива. Это объясняет, почему вода не выливается из флакона и других сосудов с узким горлом: если диаметр отверстия меньше критического значения, то неустойчивые волны не возникают — они просто «не помещаются» в отверстии с маленьким диаметром.

Подчеркием, что основным «удерживающим» фактором является атмосферное давление. Причина выливания воды — возникновение на нижней поверхности перевернутой жидкости неустойчивой волны.

Займется теперь более подробным изучением неустойчивых волн.

Немного математики

Далее немногоочищено, чайная ложечка, — это уже хорошо!

А. А. Милл. «Винни-Пух и все-все-все».

К сожалению, полный анализ процессов, происходящих на нижней поверхности перевернутой жидкости, довольно сложен. Поэтому мы ограничимся рассмотренем упрощенной модели, которая, тем не менее, дает возможность разобраться в процессхом.

Представим себе, что мы перевернуть сосуд, накрытый листом бумаги, и сили атмосферного давления уравновесили силу тяжести, действующую на_body (это произходило в опыте 2). Представим теперь, что лист бумаги мгновенно исчез, и на нижней границе жидкости обращалась свободная поверхность. В первый момент атмосферное давление еще удерживает жидкость, но в силу случайных колбаний воздействия и сосуда на невозмущенной поверхности начинают образоваться волны.

Рис. 2.

ны. Поведение этих волн и будет интересовать нас в первую очередь.

Мы рассмотрим только один тип волн: плоские волны в сосуде с ответственным прямоугольной формулы. При этом мы будем предложать, что сечение волны плоскостью α, изобразенной на рисунке 2, состоит из полукружностей радиуса R. Этот тип волн выбран в основном из сообщений простоты расчетов. Расстояние других типов волн приводит к аналогичным выводам.

При возникновении на нижней поверхности жидкости волны меняется поверхностная энергия жидкости и ее потенциальная энергия.

Как мы уже говорили, свойства волн на нижней поверхности жидкости определяются поверхностным натяжением. При возникновении волны площадь свободной поверхности уравновесия. Следовательно, уравновесия поверхности жидкости

Напомним, что молеклы на поверхности обладают большей энергии, чем молеклы внутри жидкости. Силы притяжения, действующие на молеклу внутри жидкости со стороны ее соседей, направлены во все стороны, и ихравнодействующая равна нулю. А равнодействующая сил притяжения, действующих на молеклу на поверхности жидкости, не равна нулю. Для перемещения молеклы из глубины на поверхности необходимо совершить работу против этой силы. Следовательно, молеклы влизывают поверхностную энергию по сравнению с молеклами, находящимися внутри жидкости. Это

19

избыток и называют поверхностной энергейой. Понятно, что поверхностная энергия пропорциональная площади поверхности: $W = \sigma S$, где коэффициент пропорциональности $\sigma$ называется коэффициентом поверхности натяжения.

Представим себе, что на нижней поверхности жидкости в перевернутом состоянии образовалась волна, длина которого равна линейному размеру отверстия в сосуде (рисунок 3). Подсчитаем изменение энергии жидкости, то есть разница между энергиями до и после возникновения волны.

Площадь поверхности жидкости (см. рисунок 3) увеличивается на

$$\Delta S = S_2 - S_1 = 4\pi Rl - 4Rl.$$

Увеличение поверхности энергии за счет увеличения площади поверхности равно

$$\Delta W_1 = \sigma (2\pi Rl - 4Rl) = 2\sigma (\pi - 2)Rl.$$

С другой стороны, при возникновении волны часть жидкости опустилась, и соответственно изменение потенциальной энергии равно

$$\Delta W_2 = -mgh,$$

где $m$ — масса опустившейся жидкости, $h$ — расстояние, на которой опустился ее центр тяжесте, $g$ —ускорение свободного падения (минус в этой формуле означает, что изменение энергии отрицательно, то есть энергия уменьшилась).

Массу опустившейся жидкости $m$ найти легко — это произведение плотности жидкости $q$ на объем половины круглого цилиндра радиуса $R$ и высоты $l$. Расстояние, на которой опустился центр тяжесте жидкости, — $h = 2d$, где $d$ — расстояние от центра тяжесте половины $2^*$

Полное изменение энергии запишется в виде

$$\Delta W = \Delta W_1 + \Delta W =$$

$$= 2(\pi - 2)\sigma Rl - \varphi g l \frac{4}{3} R^3 =$$

$$= 2Rl[(\pi - 2)\sigma - \frac{2}{3}\varphi g R^2].$$

На рисунке 4 приведен график зависимости $\Delta W$ от $R$. Посмотрите на этот график повышательное. Именно он дает ответ на все непонятные вопросы, связанные с выполнением воды. Для начала сравните его с графиком на рисунке 5, где изображена зависимость потенциальной энергии от координаты для шарика, который находится на вершине горы в небольшей яме. Похоже, неправда ли?

И поведение этих столь не похожих друг на друга систем во многом оказывается аналогичным. Шарик, как и любая система, стремится

20

занять положение с минимальной потенциальной энергией. Позному при малых отклонениях от положения равновесия он вернется обратно, на дно ямы. Но если отклонение будет достаточно велико, то шарик начнет скатывать с горы и уже не вернется в первоначальное положение равновесия. Переваличрез навысшую точку, он будет стремиться к другому минимуму потенциальной энергии.

Аналогичная картина происходит и при выливании жидкости. Невозмущенная нижняя граница соответствует нульному значению $R$ (точка 0 на рисунке 4). При возникновении волн с $R < R_{\text{кр}}$ поверхность жидкости будет стремиться вернуть в невозмущенное состояние. Но как только $R$ превышает $R_{\text{кр}}$, амплитуда волн будет стремиться неограниченно возрастать. Уменьшение энергии за счет попежения центра тяжестеки оказывается большие, чем увеличение энергии, связанное с увеличением площади поверхности. Поэтому волне энергетически выгодно увеличивать амплитуду. Это и приведет к выливанию жидкости из сосуда.

Вычислим теперь критическое значение $R_{\text{кр}}$. Из рисунка 4 видно, что максимум потенциальной энергии достигается только в одной точке. Те, кто уже имеет исследовать функцию на максимум и минимум с помощью произвольных, легко найти, что

$$R_{\text{кр}} = \sqrt{\frac{(\pi-2)}{2} \frac{\sigma}{\rho g}}.$$

Остальные придется поверхить нам на слова.

Таким образом, наша простая модель позволяет объяснить важнейшие черты исследуемого явления. Недостаток ее заключается в том, что параметр $R$ характеризует у нас и длину волны, и ее амплитуду. Гораздо последовательнее было бы независимо задавать все параметры волны, но это условило бы подсчет изменения энергии. Для тех, кто не имеет интегрирования, трудности стали бы непреодолимыми, а мы стремились максимально упростить все вычисления. Тем не менее подстановка численных значений для воды — $\rho = 10^3$ кг/м³ и $\sigma = 73 \cdot 10^{-3}$ Дж/м² — дает значение критического радиуса $R_{\text{кр}} = 2 \cdot 10^{-3}$ м=2 мм. Учитывая, что длина волны равна $\lambda = 4R$, мы получим, что вода будет вытекать из перевернутого сосуда, если размер ответствия превышает 8 мм, что находится в разумном согласии с экспериментом.

---

Итак, мы выяснили роль различных факторов, которые влияют на выливание воды и прочих жидкостей из сосуда. Это простое, на первый взгляд, явление оказалось сложным и интересным.

И в заключение вернемся к самому началу. Как же все-tаки ответить на вопрос: «почему вода выливается из воды?» Правильный ответ можно сформироватьprimерно так: радиус города должно быть критического радиуса, начиная с которого на нижней поверхности воды могут образовать неустойчивые волны. Поэтому волне, случайно возникшие на нижней поверхности воды, имеют тенденцию неограниченно увеличивать свою амплитуду, что и приводит к выливанию воды из перевернутого воды.