Кубик в картинках

33

Кубик
в картинах

Кандидат физико-mатематических наук
В. Н. ДУБРОВСКИЙ

Наверное, кубик Рубика уже не нуждается в представлении — только «Квант» посвятил ему четыре большие статы *), и даже по телефению его показывали! А самое главное — наконец, он стал появляться в продаже. Тепер повсюду можно встретить людей (обычно весма юных), питанияся собрать кубик — упорно, но не всегда успешно. Вот мы и решили еще раз расскаать, а точнее — показать на картинах, как это делается.

Повороты граней мы будем изобразить с помощью стрелок в квадрате

*) В. Залгаллер, С. Залгаллер «Венгерский шарнирный кубик» (1980, № 12), М. Евграфов «Механика волшебного кубика» (1982, № 3), В. Дубровский «Алгоритм волшебного кубика» (1982, № 7) и «Математika волшебного кубика» (1982, № 8). См. также заметку «Игра, задача или спор?» (1982, № 7, с. 25) и статью Ю. Демкова «Поворачиваем кубики» (1981, № 12).

3×3, изобразяющим переднюю грань кубика (рис. 0).

Каждай этап сборки задается рисунками, на которых показаны исходное положение кубиков, которые переставляются на этом этапе, последовательность поворотов этого этапа и вид кубика после его завершения.

Договоримся, что при сборке грань с синим центральным квадратом всегда будет у нас верней. Центральный квадрат противоположной грани в разных экземплярах кубика бывают разным; для определения будем считать его зеленым. Итак, в результате сборки верхняя грань кубика должна стать у нас синей, нижняя — зеленой. Передней грань по ходу сборки может служить любая из четырех остальных (боковых) граней.

Если вы хотите немного круглки кубик, вы поняли, что центральные кубики всех граней сразу можно считать стоящими на своей месте (поскольку их взаимное расположение жестко установлено конструкцией кубика), а для каждой из остальных кубиков имеет вплоне определение окончательное положение: каждая грань кубика должна применять (по стороне или вершине) к центральному квадрату того же цвета.

Кубик мы будем собирать последно — сначала нижний слой (первые шаг), потом средний (третьй шаг) и, наконец, верхний (последние четыре шаг).

Рис. 0. «Стрелочные» и «Буквенные» обозначения поворотов пяты граней (задняя грань нам не понадиться). Например, буква Ф обозначет поворот передней (Фасад) грани на 90° по часовой стрелке, Ф’ — ее поворот на 90° против часовой стрелки, Ф² — ее поворот на 180°. На этом и следующих рисунках неакрашенные грани кубиков — это грани, цвет которых на данной рисунке мы не желаем фиксировать.

34

Рис. 1. Первый шаг: установка нижнего реберного кубича.

Итак, начнем!
Первый шаг. Нижний крест:
установливаем нижние реберные кубички (рис. 1). Выберите какой-нибудь реберный кубичек с зеленой гранью, не стоящий в окончатальном положении, и поворотом боковой грани, в которой он находится, переведите его в верхнюю грань. Пусть вторая грань выбранного кубича — желтая; поворотом кубика сделайте грань с желтым центральным квадратом передней и поворотом верхней грани приведите кубик в какое-то из двух исходных положений рисуника 1. Действуйте согласно рисунку — выбранный кубичек оказывается в нужном положении. Установливая каждый следующий реберный кубик, нельзя портить уже доступную (подумайте, как это сделать!).
В дальнейшем на всех рисунках мы тоже будем переднюю грань изображать желтой (то есть с желтой

Рис. 2. Второй шаг: установка нижнего углового кубича.

35

тым центральным квадратом), правую — оранжевой. Но, разумеется, на каждом шаге, приводя к исходному положению соответствующего рисуна, вам самим придется сообщать, какую грань принять за переднюю.

Второй шаг. Нижние углы: установливаем нижние угловые кубики (рис. 2). Выберите какой-нибудь угловой кубиек с зеленой гранью, находящейся в верхнем слое, и поворотом верхней грани поставьте его точно над его местом в нижнем слое. При этом выбранный кубиек займет какое-то из трех исходных положений рисуна 2. Действуйте согласно рисуну — выбранный кубиек окажется в нижном положе-

нии. Если в верхнем слое не осталось угловых кубиков с зеленой гранью, но в нижнем слое какой-то угловой кубиек не стоит в окончательном положении, поверните кубик так, чтобы этот кубиек оказался «передним-правым-низким», и продолжайте лю-бую из операций рисуна 2 — он оказывается в верхнем слое.

Третий шаг. Средний слой: установливаем средние реберные кубики (рис. 3). Выберите какой-нибудь реберный кубиек без синих граней, находящийся в верхнем слое. Поворотом верхней грани приведите кубик в какое-то из двух исходных положений рисуна 3. Действуйте согласно рисуну — выбранный кубиек окажется в нижном положе-

Рис. 4. Четвертий шаг: ориентирование двух верхих реберных кубиков. (Красные стрелки показывают, как они при этом переставляются, что на этом шаге для нас не важно.)

37

Рис. 6. Шестой шаг: ориентирование трех верхих угловых кубиков. (При выборе исходного положения кубика красные стрелки идентируется.)
(рис. 7). После шестого шага либо все верхние угловые кубики встанут правильно, либо один из них встанет правильно, а три других надо циклические переставить, либо все они будут стоять неправильно. В первом слуаче все в порядке — кубик собран. Во втором слуаче, в зависимости от того, надо ли переставить «неправильные» кубики против часовой стрелки или по часовой стрелке, выполните одну из двух операций рисуника 7 — кубики расставятся по своим местам. В третьем слуаче выполните юо бую из операций рисуника 7, приняв за переднюю любую боковую грань кубика, — один угловой кубиек встанет пра-
вильно, и мы получим предыдующий слуай*).
Все. Можно вздохнуть с облегчением — кубик собран!

---

Читатель нашего журнала вред ли удовлетворится тем, что научится собирать кубик по шаргалке. Как же без нее обойтись? Конечно, все нужные операции можно просто запомнить. И подобраны они так, чтобы это было не слишком трудно.
*) Попробуйте доказать, что в любом слуаче можно обойтись не более чем двух кратным применением операции Z.

Рис. 7. Седьмой шаг: перестановка трех верхих угловых кубиков.
Z = Ф
Z’ = Ф²
Л² Ф'
П’ Ф
Л² Ф'
П Ф

38

Операции первых двух шагов совсем короткие. Советуем вам проделать их медленно, поворот за поворотом, и проследить за передвижениями тех кубичков, которые устанавливаются в правильное положение с их помощью, — вы躬ете, как эти операции «работают», и научитесь выполнять их не задумываясь. Для каждой из следующих шагов можно запомнить только одну операцию; вторую (там, где она есть) всегда можно заменить на дважды проделанную первую. Отметим еще, что 5 последних шагов операции $M_1$ (3-й шаг) совпадает с 5-ю первых ходами $F$ (4-й шаг) и что операция $Z$ (7-й шаг) получается из $T$ (6-й шаг) заменой первого хода $\Pi^2 = \Pi' \Pi'$ на $\Phi \Pi'$ и двух последних — $\Phi^\circ \Pi$ — на $\Phi' \Phi' = \Phi^2$. Так что по сути дела надо вычитать только три основные операции $M_1$, $C$, $T$ и некоторые их варианты.

Однако гораздо интереснее и полезнее проникнуть в «приицп действия» этих операций.

Рассмотрим для начала операцию $M_1 = \Phi' B \Phi \cdot B \cdot \Pi B' \Pi'$. Первые три ее поворота $\Phi' B \Phi$ аналогичны трехходовкам 2-го шага и переводят кубичек $\phi n$ (способ обозначения кубичков см. на рис. 0) из нижнего слоя в верхний, причем так, что он правильным образом представляется к соответствующему реберному кубичку (проверьте!); похожи на них и последние три поворота $11B'11'$, возвращающие кубичек $\phi n$ (вместе с присутствием к нему реберным) на месте; промежуточный поворот $B$ готовит исходную позицию для последних трех поворотов. Проанализируйте самостояльно операцию $M_2$ и операцию $M_3 = \Phi' B \Phi B^2 \Pi B^2 \Pi'$, которое можно применять вместе $M_1$. После этого попробyte на той же основе придумать операции, аналогичные $M_1$ и $M_2$, для случая, когда кубичек $\phi n$ стоит на своем месте, но ориентирован неправильно. Можно讶ти дальше и разработать операции, позволяющие обединить 2-й и 3-й шаг, то есть одновременно с каждой нижним угловым кубичком устанавливаться и примыкающий к нему реберный кубичек среднего слоя.

Операции 4-го и 5-го шагов построены на основе так называемых коммутаторов, то есть последовательность вида $xyx^{-1}y^{-1}$ ($x^{-1}$ — это поворот, обратный к $x$: $\Phi^{-1} = \Phi'$, $(\Phi')^{-1} = \Phi$, $(\Phi^2)^{-1} = \Phi^2$). Если $x$ и $y$ — это повороты двух смежных граней кубика $X$ и $Y$ (на $\pm 90^\circ$ или $180^\circ$), то коммутатор $xyx^{-1}y^{-1}$ циклический представляет три реберных кубичка: один — из грани $X$, другой — из $Y$, третий — на общем ребре $X$ и $Y$ (проверьте!); при этом представляется и некоторые угловые кубички, но здесь это нас почти не инте-

*) Алгоритм сборки кубика, целиком основан на коммутаторах, был опыликован в стате «Венгерский шарнирный кубик».