Ученье — мученье

Квант 1983, №9 с. 54-56 Тег 6UZI

Ученье — мученье

Говорят: нет ученья без мученья, математика — не исключение. По-видимому, больше всех мучаются почти. А может, у них просто больше таланта про свои мучения рассказывать.

Никак не мог справиться с простеньками арфметических задачи E. Винокуров:
Я чуть не плакал. Не было удачи!
Задча не решалась — хоть убей.
Условье было трудным у задачи.
Дано:
«Летела стая лебедей…»
Я, щеку грустно подревет руковод,
Делил, слагал — не шли дела на лад!
Но, лишь глаза устальные закрою,
Я видел ясно:

вот они — летят…
Не менящий ужас вызывают школьные задачи у И. Снеговой:
Математика — это трудно.
Это дар. С первых лет. От бора.
Слишком промахи в ней подсудны,
Слишком взыскивает с итога.
Уравнения, в которых скопом Корни, степень, неравенств бездана.
Суть, замкнувшаяся по скобкам,
И — до дьявода неизвестных.
Или доби… Ох эти доби!
Жизнь, как добь, и точна, а — мимо.
В ней делитель урям и злобен,
А делимое — неделимо.
Темь задач! Легкость прегрешений,
Груз просчетов… Но это не в этом:
Ни одно из моих решений
Не сходилось вовек с ответом.

Не очень большая, но явная обида сохранялась у И. Глазкова на школьных учительей:
Я мог бы это доказать,
Да мне не дал досказать.
Намаялся с геометрией и тригонометрией А. Поперечный:
Я постигал с трудом
Неяский смысл
Великих чисел и простых затем.
Но часто
Над руками коромысел
Мне снился треугольник журавлей.
И, сложные фигуры на чертая,
Зубра тригонометрию
В зарю,
Я говорил себе:
А на черта я
Ее, тригонометрию, зубрю?
И, презира точные науки
(В них коренное корнемилось зло),

Я корень извлекал,
Идя на муки,
Не извлекая истинны зерно.
Я рисовал квадраты дальнейх окон,
В них слиуэт знакомый различал,
No Пифогор недремлюще око
Вперял в меня и ярость излучал.
«Пифогороды штаны
На все стороны равны.»
Так я тихо напевал
И врага в нем наживал.

Явно излишнее почтение к школьной программе демонстрирует Б. Слуцкий:
…интересно
Наблюдать, как, словно пена,
Опадают наши рифмы
И величие степени
Отступает в логарифмы.

А неокторые позты даже — страшно сказать! — арфметики не знают. Цепенет перед простейшей цифрой Б. Okуджава:
Магический «два». Его высоты, его глубины… Как мне превозмочь?

Не решается почти дальше таблицы умно жениния Ю. Мориц:
Пятый пять двадцать пять,
Дважды двача четырьмя.
Еще скромнее О. Мандельштам:
Дважды двача четырьмя
Два да три — пять.
Вот и все, что мы можем,
Что мы можем знать.

И уж, наверное, все рекорды побил И. Эренбург:
Я не знаал, что дважды двача четырьмя
И учитель двойку мне поставил…
Правила менялись, только бойко,
С той же сисходительной улыбкой
Незмененно ставили мне двойку
За допущенную вновь ошибку.
Не был я учеником примерным…
После таких открывений позтов нельзя не пожалеть, а в чем-то и простить.

Э. П. Казанджан

Во-первых, не все экзаменуощиеся достаточно твердо усоволли тот факт, что сила возникает лишь при взаимодействии тел. Летящее тело взаимодействует только с Землей, и на него действует только сила прятяжения к Земле. Конечно, когда тело бросали, к нему прикладывали некоторые силы (ее можно было назвать силой бросания). Однако мы рассматриаем тело не во время бросания, а уже после того, как его бросили, то есть во время полета. Важно помнить, что силу нельзя «накопить»: есть взаимодействие тел — есть соответствующая сила, кончилось взаимодействие — сила тут же исчезла.

Во-вторых, довольно распространено заблужение, будто характер и траектория движения тела определяются только действующими на него силами. В действительности же силой обусловлено ускорение тела, то есть изменение скорости. Сама же скорость в каждой момент времени определяется двумя факторами — изменением скорости и начальной скоростью. Иначе говоря, характер движения тела зависит не только от действующих на тело сил, но и от начальных условий. Во всех задачах механики начальные условия — это начальная координата и начальная скорость тела. В данном случае под начальным условиями следует понимать угол, под которым бросено тело, и модель скорости, с какой оно было бросено.

Вопрос 4. Тело (камень на вервке) совершает движение по окружности в вертикальной плоскости. Какие силы действуют на тело? Как они направлены в тот момент, когда тело оказывается в точке А траектории (рис. 1, а)?

Характерный неправильный ответ. На тело действуют три силы: сила

$\vec{F}_T, \vec{N}, \vec{F}_T'$

сила упругости ввервки и центростремительная сила $\vec{F}_T$ , удерживающая тело на окружности (рис. 1, б).

Аналіз ошибки. Расматриваемое тело взаимодействует с Землей (результат — сила тяжестки $\vec{F}_T$ ) и с вервкой (результат — сила упругости ввервки $\vec{N}$ ). Таким образом, на тело действуют лишь две силы. Сила же, удерживающая тело на окружности и сообщающая ему центростремительное ускорение $a_u$ , есть сумма проекций указаных сил на направление радиуса (рис. 1, в).

$m a_u = N - F_T \cos \alpha.$

Эти же силы, точнее — сумма проекций этих сил на направление касательной к окружности, сообщают телу и касательное ускорение $a_k$ :

$m a_k = F_T \sin \alpha.$

Вопрос 5. Находящийся на горизонтальной плоскости ящик с песком массой $M$ начинает двигаться поступательно после того, как в него попадает пуля массой $m$ , летевшая горизонтальная со скоростью $v_0$ . Найти скорость ящика. Треннем ящика о плоскость можно пренебреть.

Характерный неправильный ответ. Поскольку не учитывается, кинетическая энергия ящика вместе с застрявшей в нем пуля равна первоначальной кинетической энергии пуля:

$(M + m) v^2 / 2 = m v_0^2 / 2.$

Следовательно,

$v = v_0 \sqrt{m / (M + m)}.$

Аnalіз ошибки. При попадании пуля в ящик часть ее первоначальной кинетической энергии превращается в телло; поэтому $(M + m) v^2 / 2 < m v_0^2 / 2$ . Чтобы найти скорость ящика, надо воспользоваться законом сохранения импульса

Рис. 1.

Рис. 2.

(количество движения)
$(M+m)v = mv_0,$
откуда
$v = v_0m / (M+m).$

Вопрос 6. Способствует ли повышению уровня воды в реке таяние льдин, пльвуших по реке во время ледохода?

Характерный неправильный ответ. Да, способствует.

Аналіз ошибки. Когда льдина плавает в воде, ее сила тяжестя упавновещена архимедовой силой, равной силе тяжестя воды в объеме, вытесяемом льдиной. После того как льдина растает, она превращится в воду, объем которого в точности равен объему подводной части льдины. Отсюда следует, что при таянии льдин уровень воды в реке не изменяется.

Вопрос 7. Газ, находящийся в соусе объемом $V_0$ при давлении $p_0$ , отк�aивают поршневым насосом, имеющим рабочую камеру объемом $V$ (рис. 2). Какое число ходов поршня надо сделать, чтобы давление газа в соусе попизило до значения $p$ ?

Характерный неправильный ответ. Пусть искомое число ходов есть $n$ . Учитывая, что объем газа увеличился на $nV$ , а температура газа осталась неизменной, в соответствии с законом Бойля — Мариотта получаем
$p_0V_0 = p(V_0 + nV).$
Отсюда и находим $n$ .

Аналіз ошибки. Закон Бойля — Мариотта справедлив только тогда, когда не только температура, но и масса газа остаются неизменными. В данном же случае после каждого хода поршня часть газа уходит из системы; когда поршень движется справа налево, он закрывает капан А и открывает капан Б, через которых газ и покидает систему (см. рис. 2). Поэтому надо рассматривать каждый из ходов поршня по отдельности. Начнем с первого хода. Для массы газа, находившейся в соусе первоначально, запишем законом Бойля — Мариотта:
$p_0V_0 = p_1(V_0 + V),$
где $p_1$ — давление газа, когда поршень занимает крайнее правое положение. Когда поршень возвращается в исходное левое положение, в сосуда остается масса газа, меняшая по сравнению с исходной, но ее давление есть $p_1$ . Для этой массы газа
$p_1V_0 = p_2(V_0 + V),$
где $p_2$ — давление газа по окончанию работы его хода поршня. Расматривая последовательно $n$ ходов поршня, получим систему $n$ уравнений:
$\begin{align*} p_0V_0 &= p_1(V_0 + V), \\ p_1V_0 &= p_2(V_0 + V), \\ p_2V_0 &= p_3(V_0 + V), \\ p_{n-1}V_0 &= p(V_0 + V); \end{align*}$
Решая эту систему, найдем
$p = p_0(V_0 / (V_0 + V))^n,$
откуда
$n = \log_{V_0 / (V_0 + V)} (p / p_0).$

Вопрос 8. Что показет волтметр в схеме на рисунке 3 (см. с. 56)? Сопротивление волтметра считать бесконечно большим, а сопротивлением соединительных проводов можно пребежать.

Характерный неправильный ответ. Волтметр показет ЭДС элемента: $U = \mathcal{E}$ .

Аналіз ошибки. В цепи ABCD (см. рис. 3) течение ток
$I = 2\mathcal{E} / (2r) = \mathcal{E} / r,$
где $r$ — внутреннее сопротивление каждого элемента. Волтметр, подсоединенный к зажимам элемента, показывает напряжение
$U = \mathcal{E} - Ir = \mathcal{E} - (\mathcal{E} / r)r = \mathcal{E} - \mathcal{E} = 0.$

Вопрос 9. Вы целкаете выключателем, и… лампочка вдруг перегорает. Чем это объясняется?

Характерный неправильный ответ. Вследствие явления самондукции при отключении от сети возникнет дополнительный ток (так размыкания) того же направления, что и основной ток. В результате полный ток через лампочка резко возратает, и лампочка может перегорать.

Аналіз ошибки. Как показывает практика, лампочка перегорает не при выключении, а, например, при включении. Ясно, что явление самондукции здесь не причем, поскольку индукционный ток в этом

случае направлен против основного тока и лишь «тормозит» его нарастание до заданного значения. (Кстати сказаать, в бытовой электросети индуктивность незначительная, так что индукционные токи практические никакой поли не играют.)

Что же происходит при включении лампочки? Пока ее нить накапливания не нагреется до температуры порядка 2400°С, ее сопротивление оказывается существенно меньше номинального, соответствующего раскаленной нити. При этом через лампку течет ток, превышаюший расчетное значение. Если в нити случайно появился неокоторая недорогодность, например уменьшенное диаметра нити в каком-то месте, то это может привести к местному перегреву и разрушению нити лампочки.*)

Вопрос 10. Сколько изобравней точки S получится в системе из двух взаимно перpendикулярных плоских зеркал (рис. 4, а)?

Характерный неправильный ответ. Два изобравнения: $S_1$ и $S_2$ (рис. 4, б).

Анализ ошибки. Кроме изобравней $S_1$ и $S_2$ , образованных лучами, отраженными только от одного зеркала, есть еще одно изобравнение — $S_3$ (рис. 4, в). Оно образовано лучами, отраженными сначала от одного зеркала, а потом от другого.

Вопрос 11. Почему при делении ядра урана выделяется энергия?

Характерный неправильный ответ. На каждую частцу в ядре приходится энергия связи около 7,5 МэВ; полная энергия связи составляет около 1800 МэВ. Таким образом, в ядре сосредоточена громадная энергия. Она освобождает при разрушении ядра.

Анализ ошибки. По определению энергия связи — это та энергия, которое надо затрапить, чтобы разделить ядро на составляющие его частицы. Или, другими словами, это та энергия, которая выделяется при образовании ядра из отдельных частицы.

Какая же энергия освобождается при делении ядра урана? Дело в том, то энергия связи, приходящая на одну частцу в ядре урана, составляет 7,5 МэВ, а на каждую частцу осоклов, образованших при делении урана, приходится около 8,5 МэВ. Таким образом, на расшеление ядра урана надо затрапить 7,5 МэВ энергии на каждую частцу, а при образованнии осоклов выделяется энергия 8,5 МэВ на каждую частцу. Разность этих энергий, которая в расчете на ядро составляется приблизительно 200 МэВ, и освобождается при делении ядра урана.

В заключение предлагаем читателем самостояльно ответить на несколько опять takи довольно простых вопросов.

Первую половину пути тела двиглялов со скоростью 20 km/ч, а вторую — со скоростью 30 km/ч. Чему равна средняя скорость за все время движения?
В первом случае в шлюзе находится баржа, а во втором — легкая лодка. Однакоковую ли работа совершают в указанных случаях насосы, используемые для подъема уровня воды в шлюзе?
В сосуде, наполненом до краев водой, плавает льдинка, в котором вмерз пузырей воздуха. Перелется ли вода через край после того, как льдинка растет?
Вольтметр подсоединен кажимам элемента. может ли показание волтметра быть больше ЭДС элемента?
Можно ли при помощи лоского зеркала получить на горизонтальной лежашем листье бумаги изобравнение вертикально стоящего объекта?