Свердловская областная олимпиада по математике 1982/83 года

60

тelo массы $M$, когда тело массы $m$ покинет канал? (Скорость второго тела при выходе из канала горизонтальная.)
2. Тонкостенный заполенный газом цилиндр массы $M$, высоты $H$ и площадь основания $S$ плавает в воде. В результате потери терметического в нижней части цилиндра глубина его погружения увеличивается на $\Delta H$. Каково было начальное давление газа в цилиндре? Атмосферное давление $p_A$, температура не меняется.
3. Известно, что если обичную воду подсолить, то температура ее кипения становится выше. Как при этом изменится плотность насыщенных водных паров при температуре кипения?
4. Равномерно заряженная по длине полукружность радиуса $R$ находится в поле заряда $q$, равномерно распределенного по поверхности сферы вдвое меньше радиуса. Определить силу, действующего на сферу, если суммарный заряд полукружности равен $q$, а их центры совпадают.
5. Диод соедиен последовательно с сопротивлением $R=100$ Ом. Идеализированная волтамперная характеристика диода приведена на рисунке. На вход схемы подается меняющееся во времени напряжение $U$ (см. рисунок).

Как будет меняться напряжение на сопротивлении $R$ от времени?

10 класс

1. Почему при повороте автоматель «приседает» на внешние, по отношению к окружности поворота, колеса?

2. Силовая линия выходит из положительного заряда $+q_1$ под углом $\alpha$ к прямой, соединяющей его с отрицательным точчемзам зарядом $-q_2$. Под каким углом $\beta$ к той же прямой эта силовая линия водет в заряд $-q_2$?

3. Вторичная обмотка идеального трансформатора с коэффициентом трансформации $1:n$ замкнута на катушку индуктивности $L$. Частота тока в первичной обмотке 50 Гц. Найти тока фаз между направлением и током в первичной обмотке трансформатора. Как изменится сливг фаз, если в первичную обмотку включить резистор $R$?

4. Батарея из двух последовательных конденсаторов emкости $C$ каждой заряжения до разности потенциальов $U$ и в начальной момент времени подключена к катушке индуктивности $L$, так что образовался колебательный контур. Спустя время т один из конденсаторов пробивается, и сопротивление между его обкладками становится равным нулю. Найти амплитуду колебаний заряда после пробоя.

5. В динице сделан стеклянный иллюминатор для наблюдания за морскими животными. Диаметр иллюминатора равен 40 см и много больше толщины стекла. Какова площадь оборада дня из такого иллюминатора? Показатель преломления стекла 1,6; воды 1,4; расстояние до дня 5 м.
   Публикацию подготовил С. С. Кротов

Свердловская области олимпида по математике
1982/83 года

Школьный тур
7 класс

1. Около каждой вершины треугольника поставлено некоторое число. Напишите возле каждой стороны этого треугольника число, равное сумме чисел, стоящих у ее концов. Теперь каждой чисел, стоящей около вершины сложите с числом, стоящим около противоположной стороны. Доказать, что все три полученные суммы будут равны 3. Доказать, что все числа равны 1.
2. Доказать, что средняя линия треугольника делит пополам пересекающего ее медиану.
3. Доказать, что для любого натурального числа $n$ дробь $(n^2+3n+3)/(n+1)$ несократима.

8 класс

1. На листе клетчатой бумаги 1982×1982 в каждой клетке написано число. Известно, что в каждой трех клетках, накрываемых фигурой сумма чисел равна 3. Доказать, что все числа равны 1.
2. Девять одинаковых книг стоит 11 рублей с копейками, а тринадцать таких книг стоит 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна книга?
3. Внутри треугольника $ABC$ на медиане $AM$ лежит точка $O$. Доказать, что площади треугольников $AOC$ и $AOB$ равны.
4. Пусть $p$ — простое число. Сколько существует натуральных чисел, меньше $p^2$ и взаимно простых с $p$?

9 класс

1. Дано 110 различных натуральных чисел. Доказать, что найдет 2 числа, совпадающие не менее чем в двух разрядах.
2. Доказать, что $a+b \leq 4$, если $a^2+b^2 \leq 4$.
3. Пусть средние линия четырехугольника делят его площадь пополам. Доказать, что этот четырехугольник — паралллограмм.