Bài toán

29

Bài tập

1. Có thể trong số 400 chữ số 84198419…8419 có thể gạch bỏ một số chữ số ở đầu và cuối sao cho tổng các chữ số còn lại bằng 1984?

2. Đặt các số không bằng 0 vào các ô của bảng 4x4 sao cho tổng các số ở các góc của mỗi hình vuông 2x2, 3x3 và 4x4 đều bằng 0.

3. Các số trong dãy là 1 2…100. Hai người chơi lần lượt đặt các dấu +, - và × giữa họ (ký hiệu tiếp theo có thể được đặt trên bất kỳ khoảng trống nào). Chứng minh rằng người chơi thực hiện nước đi đầu tiên (và do đó là nước đi cuối cùng) có thể đảm bảo rằng kết quả cuối cùng là số lẻ.

4. 175 Shaltayev đắt hơn 125 Boltaev, nhưng rẻ hơn 126 Boltaev. Chứng minh rằng không có đủ rúp để mua 3 Shaltai và 1 Boltai nếu mỗi Shaltai và mỗi Boltai có giá một số nguyên kopecks.

5. Các liên kết AB và CD của tứ giác ABCD có bản lề cắt nhau tại điểm O; trong trường hợp này AB=CD và BC=AD. Chứng minh rằng AO=CO và BO=DO.

Những nhiệm vụ này được đưa ra cho các lớp 5-7 tại Olympic Leningrad lần thứ 50 lớn nhất. Tác giả của họ: A. G. Goldberg, S. L. Genkin, S. V. Fomin.