Chúng tôi khuyên bạn nên đọc

Kvant 1984, số 9 tr. 56, 59, 60, 61, 63 Thẻ QALT

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Các nhà khoa học và đại diện của các ngành khoa học chính xác trên khắp thế giới vừa kỷ niệm 275 năm ngày sinh và 200 năm ngày mất của thiên tài thế kỷ 18, thành viên Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg, Leonard Euler. 31 năm hoạt động khoa học của ông diễn ra ở St. Petersburg (1727-1741 và 1766-1783), 25 năm ở Berlin (1741-1766). Trong số thứ năm, trên trang bìa thứ tư, chúng tôi đã đưa thông tin về một số sự kiện tưởng nhớ Euler.

Hai cuốn sách nhỏ về Euler cũng đã được xuất bản. Giáo sư A.P. Yushkevich tóm tắt ngắn gọn những sự kiện chính trong cuộc đời Euler và những thành tựu quan trọng nhất của ông trong nhiều lĩnh vực toán học.

Phần đầu tiên trong cuốn sách của A. Ykovlev trình bày một số lượng đáng kể các bản sao của nhà khoa học; trong phần thứ hai, ông nói về một số vấn đề và nhiệm vụ toán học mà Euler giải quyết và dễ hiểu đối với học sinh lớp IX-X.

Độc giả của chúng tôi có thể chọn bất kỳ cuốn sách nào tùy theo nền tảng và sở thích của họ.

A. P. Yushkevich. Leonardo Euler. M.: Kiến thức, 1982.
A. Vâng. Ykovlev. Leonardo Euler. M.: Giáo dục, 1983 (Loạt bài “Con người của khoa học” - cẩm nang dành cho sinh viên).

rika từ chiều rộng $x$ của vỏ sò giữa các xương sườn: $a = j(x)$ . Đặt $x = 0,1D - 0,7D$ và $tg\alpha = 0,01 - 0,6$ , trong đó $D$ là đường kính của quả bóng. Một quả bóng bi-a ( $D = 5$ cm) đã được cung cấp cho các thí nghiệm.

“Tụ điện”. Hãy nêu phương pháp và đo điện dung của tụ điện. Đối với các thí nghiệm, một tụ điện EGC 500 μF 30 V đã được cung cấp.
“Trứng đà điểu.” Tính xem thời gian luộc một quả trứng đà điểu dài hơn bao nhiêu lần so với một quả trứng gà.
“Hiệu suất”. Một buổi biểu diễn theo chủ đề thể chất sẽ được dàn dựng có tính đến các thành viên trong nhóm và người hâm mộ. Thời lượng biểu diễn: 5 phút. Thể loại là tùy ý.

Cuộc thi chính bài toán

Tại lời giải những bài toán này, các đội có hai giờ để gửi báo cáo bằng văn bản.

“Bộ cộng hưởng Helmholtz”. Tính và đo tần số cộng hưởng của dao động âm trong bình cầu có đáy hẹp. Thể tích của bình là 0,5 l, diện tích mặt cắt ngang của bình là 4 cm2, chiều cao của bình là 2 cm, tốc độ truyền âm là 330 m/s.
“Tia lửa”. Khi mạch điện một chiều có độ tự cảm cao được mở ra, tia lửa điện sẽ xuất hiện giữa các tiếp điểm của công tắc mở. Nếu bạn nối một tụ điện song song với công tắc thì khả năng phóng điện của tia lửa điện sẽ yếu đi đáng kể. Nghiên cứu và giải thích hiện tượng tắt tia lửa điện khi nối tụ điện.
“Hiệu ứng Doppler”. Nguồn và bộ tạo dao động âm thanh (bộ lặp và micrô) được gắn ở hai đầu của mặt phẳng, được treo trên bo mạch chủ và có thể dao động (một hình có dạng chữ T ngược được tạo thành). Tín hiệu đến loa từ bộ tạo âm thanh được đưa đến các tấm $X$ của máy hiện sóng. Tín hiệu khuếch đại từ micrô được cung cấp cho các tấm $Y$ của máy hiện sóng. Do đó, trên màn hình máy hiện sóng, sử dụng phương pháp hình elip, bạn có thể quan sát độ lệch pha giữa tín hiệu của bộ tạo âm thanh và tín hiệu micrô được khuếch đại. Trước đây, khi con lắc đứng yên, bằng cách thay đổi một chút tần số của máy phát, sẽ thu được hình ảnh của một đường thẳng nghiêng trên màn hình máy hiện sóng. Sau đó, với con lắc dao động tự do, sự biến đổi tuần hoàn của đường thẳng thành hình elip được quan sát trên màn hình dao động ký (nếu con lắc nằm trong mặt phẳng dao động).

Hình 4.

“Cỗ máy thảm họa của Zieman.” Giải thích một cách định tính đường cong thảm họa của máy Ziman sẽ thay đổi như thế nào nếu dây thun $L1$ bị rút ngắn (để biết mô tả về máy Ziman, xem nhiệm vụ của cuộc thi tương ứng).
“Xe hơi”. Điều gì xảy ra nếu bạn nhả phanh (Hình 5)?
“Siphon”. Sphon có hoạt động không nếu nó được đặt dưới chuông của máy bơm chân không và không khí được bơm ra ngoài (Hình 6)?

“Điểm sáng” Đèn lồng bao gồm vỏ và khung đèn (220 V, 150 W), được phủ một lớp giấy đen truyền ánh sáng ở phía trước. Chiều dài hình xoắn ốc của bóng đèn là 3 cm, khoảng cách từ hình xoắn ốc đến tờ giấy đen là 6 cm. Có một màn ảnh đặt cách đèn rất xa (5m). Điều gì sẽ xuất hiện trên màn hình nếu người ta đục lỗ có đường kính 1 mm trên giấy đen? 2mm? 3mm? Điều gì xảy ra nếu bạn đục nhiều lỗ?
“Oryol Trotter” Trong hai phút, một người có thể di chuyển với tốc độ: chạy - 28 km/h, trượt băng - 47 km/h. Ngựa chạy nước kiệu Oryol đạt tốc độ 48 km/h trong vòng hai phút. Tốc độ chạy nước kiệu Oryol có thể phát triển trên giày trượt là bao nhiêu? Để tham khảo, đây là bảng kỷ lục thế giới (số đầu tiên là thời gian, số thứ hai là tốc độ tính bằng km/h):

| chạy 800m | chồng. những người vợ | 1.43,5 | 27,83 |
| :— | :— | :— | :— |
| Giày trượt 1500 m | chồng. những người vợ | 1.54,26 | 47,26 |
| Giày trượt 1500 m | chồng. những người vợ | 2.04,04 | 43,53 |
| Chạy 1600 m | Ngựa Oryol | 1.59,75 | 48,10 |

“Một chân.” Một thí nghiệm động vật học nhất định đã phát hiện ra trong rừng rậm sông Amazon một loài động vật có vú mới - Monopodus sferoidus (Hình 7, nói chung - một chân).

Hãy ước tính khối lượng và chiều cao tổng thể của sinh vật một chân. Đối với lời giải bài toán, hãy sử dụng dữ liệu nhân trắc học trung bình của một người.

Phó Chủ tịch Turin Orkometet
E. N. Yunosov

Đáp số, gợi ý, lời giải

Hãy sử dụng sự đơn giản trong các nhiệm vụ phức tạp

$-\infty < x < -2$ , $-2 < x < 2 - \sqrt{15}$ , $6 \leq x < +\infty$ .
$x = 3$ .
$x \in [6, 25; +\infty]$ .
$y_{\max} = -\frac{3}{4}; y_{\min} = -3$ .

Ai đúng?
Điều kiện đặc trưng để tăng (giảm) trên một khoảng của hàm khả vi là đẳng thức $f'(x) \geq 0$ , không $f'(x) > 0$ (giảm dần $f'(x) \leq 0$ , không $f'(x) < 0$ ), miễn là các điểm tới hạn của hàm không lấp đầy bất kỳ khoảng trống nào. Nếu Fedya và Vasya cùng nhau xây dựng sự bất bình đẳng $2x + a > 0$ Và $2x + a < 0$ được viết bởi những người rẻ tiền $2x + a \geq 0$ Và $2x + a \leq 0$ , thì họ sẽ có nó $a = -2$ , tức là parabol do Dusya vẽ.
Điều kiện đặc trưng cho tính đơn điệu của hàm số không được đề cập trong sách giáo khoa, nhưng nó rất quan trọng.

Và cuối cùng là tin nhắn này. Theo ghi chú trong sách giáo khoa, nếu một hàm số liên tục ở cuối khoảng thì nó - điểm cuối của khoảng - có thể nối với hàm số tương ứng

khoảng mở khi nghiên cứu hàm số đơn điệu. Nhưng sau đó parabol của chúng ta quay trở lại ở mức $x \geqslant 1$ và dừng ở mức $x \leqslant 1$ , có nghĩa là ở mức $x=1$ là mức tối thiểu của nó. Từ đây người ta tìm thấy (bằng cách nào?) rằng $a=-2$ .

Trường học yêu thích bài toán

Đáp số: các hàm $5\frac{1}{2}, 6\frac{1}{2}, 7, 4\frac{1}{2}$ và $3\frac{1}{2}$ .
Gợi ý. Tổng kết quả của tất cả các lần cân - 61 hàm - bằng tổng gấp đôi trọng lượng của túi thứ nhất, thứ hai, thứ tư và thứ năm với gấp đôi trọng lượng của túi thứ ba. Do đó, trọng lượng của túi thứ ba gấp ba lần là $61-2(12+8)=21$ . Phần còn lại là rõ ràng.
Lời giải. $3(a^2+b^2+c^2)=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2+(a+b+c)^2$ .
Gợi ý. Đặt $DE$ là một phân đoạn bị loại trừ (Hình 1). Hãy đặt đoạn $|CF|=|CD|$ trên $BC$ . Sau đó $|FB|=|EB|$ . Các hình tam giác $CDF$ và $BEF$ là các tam giác bằng nhau và vì $(DE)\parallel(BC)$ nên các đoạn $DF$ và $EF$ lần lượt là bissertis của các góc $CDE$ và $DEB$ . Do đó, điểm $F$ cách đều $AC$ , $DE$ và $AB$ , tức là $AF$ là bissertis của góc $A$ .
Đáp số: 0 cho $\alpha+\beta+\gamma \leqslant 2$ , $\alpha+\beta+\gamma-2$ cho $\alpha+\beta+\gamma>2$ . Gợi ý. Gọi $N$ là số học sinh trong lớp. Khi đó $aN$ , $\beta N$ và $\gamma N$ là số học sinh trong các câu lạc bộ giỏi, kịch, ảnh. Nếu $\alpha+\beta \leqslant 1$ thì có thể không có học sinh nào tham gia cả ba câu lạc bộ. Nếu $\alpha+\beta>1$ thì số học sinh tham gia vào mỗi vòng trong số hai vòng tròn đầu tiên nhỏ nhất là $(\alpha+\beta-1)N$ . Hãy để $\delta=\alpha+\beta-1$ . Lập luận tương tự cho thấy tại $\delta+\gamma \leqslant 1$ có thể không có học sinh nào tham dự cả ba vòng tròn, và tại $\delta+\gamma>1$ số nhỏ nhất là $(\delta+\gamma-1)N$ , tức là $(\alpha+\beta+\gamma-2)N$ .
Đáp số: $1-\alpha-\beta$ . Gợi ý. Từ đẳng thức $\frac{S_{OBC}}{S_{ABC}}=\frac{|OD|}{|AD|};\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}=\frac{|OE|}{|BE|};\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}=\frac{|OF|}{|FC|}$ suy ra $\frac{|OD|}{|AD|}+\frac{|OE|}{|BE|}+\frac{|OF|}{|FC|}=1$ .
Đáp số: Tổng cộng 10 loại hình tam giác có các góc: 1. $120^\circ$ , $30^\circ$ , $30^\circ$ ; 2. $120^\circ$ , $40^\circ$ , $20^\circ$ ; 3. $120^\circ$ , $45^\circ$ , $15^\circ$ ; 4. $120^\circ$ , $36^\circ$ , $24^\circ$ ;
$120^\circ$ , $\frac{360^\circ}{7}$ , $\frac{60^\circ}{7}$ ; 6. $90^\circ$ , $45^\circ$ , $45^\circ$ ; 7. $90^\circ$ , $30^\circ$ , $60^\circ$ ;
$90^\circ$ , $72^\circ$ , $18^\circ$ ; 9. $72^\circ$ , $72^\circ$ , $36^\circ$ ; 10. $60^\circ$ , $60^\circ$ , $60^\circ$ . Gợi ý. Bài toán rút gọn thành lời giải với số tự nhiên của phương trình $\frac{1}{k}+\frac{1}{l}+\frac{1}{m}=\frac{1}{2}$ . Tiếp theo, hãy để $k \leqslant l \leqslant m$ . Sau đó $3 \leqslant k \leqslant 6$ . (Nếu $k \geqslant 7$ thì $\frac{1}{k}+\frac{1}{l}+\frac{1}{m}<\frac{3}{7}<\frac{1}{2}$ .) Các trường hợp còn lại $k=3$ , $k=4$ , $k=5$ và $k=6$ đã được làm lại.
Gợi ý. Khi phân phối lại cho $(AP)$ (Hình 2) tại điểm $A$ ở cả hai phía của $A$ , chúng ta cắt các đoạn $GA$ và $AH$ , đồng thời thông qua các điểm $G$ và $H$ chúng ta vẽ các đường thẳng song song với $AP$ . Các đường thẳng này sẽ cắt các cạnh của góc tại các điểm $G'$ và $H'$ . Đặt $K$ là giao điểm bất kỳ của $AP$ với đường tròn được tạo bằng đường kính $G'H'$ . Tất cả những gì còn lại là vẽ các đường thẳng đi qua điểm $P$ , song song với $G'K$ và $H'K$ , cắt các cạnh tương ứng của góc tại các điểm $E$ và $F$ .
Đáp số: $a=\frac{2}{3}\sqrt{2(m^2_b+m^2_c)-m^2_a}$ ; $b=\frac{2}{3}\sqrt{2(m^2_a+m^2_c)-m^2_b}$ ;
Gợi ý. Tiếp tục trung tuyến $AM$ (Hình 3) đến khoảng cách $|MO'|=|OM|$ , chúng ta thu được $BOCO' a^2+\left(\frac{2}{3} m_a\right)^2=2\left(\frac{2}{3} m_b\right)^2+2\left(\frac{2}{3} m_c\right)^2$ từ hình bình hành.
Đáp số: $x<0$ ; $x \geqslant 4$ . Gợi ý. Trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình đầu tiên, chúng ta dễ dàng thu được $y=z$ , $y \neq 0$ $y \neq 1$ , $x=\frac{y^2}{y-1}$ . Vẫn còn phải tìm ra $x$ phương trình $y^2-xy+x=0$ có nghiệm khác 0.
Đáp số: a) $S_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ ; 6) $S_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{4}$ ;
b) $S_n=\frac{n(n+1)(n+4)}{4}$ .
Gợi ý. a) Đặt $a_k=k(k+1)$ . Lưu ý rằng $k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)=3k(k+1)=3a_k$ .

Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.

bộ sưu tập số chỉ có thể được giảm bằng cách sử dụng tính trung bình bằng 0. Trong trường hợp này, số lượng số 0 sẽ giảm đi 1 và phần tử nhỏ nhất khác 0 sẽ giảm không quá hai lần.

Hãy xem xét tập hợp các số tự nhiên có ký hiệu bậc ba chỉ chứa các chữ số 0 và 1. (Xem thêm lời giải bài toán M839 trong «Kvant» số 3 cho năm nay.)
Xét một tập hợp gồm 88 điểm, một trong các điểm đó có tọa độ là 0,1, 11 hoặc 12.
Tận dụng thực tế rằng 271 là ước số nguyên tố của 99999.
Sử dụng chính xác

$\frac{x^2+2y^2}{3} = \left( \frac{x \pm y}{3} \right)^2 + 2 \left( \frac{x \mp y}{3} \right)^2.$

Theo dõi sự thay đổi của biến $y=x+1$ và quan sát sự thay đổi của hai hệ số cao nhất.

Chuyến tham quan Olympic Vật lý Thành phố Leningrad

lớp 8

Quỹ đạo của tâm ống là một chuỗi gồm hai đường tròn có bán kính $l$ góc phụ nhau $\alpha=\pi/3$ . Tâm ống di chuyển theo chiều ngang với tốc độ trung bình $v=3\omega l/\pi$ .
a) Nếu bề mặt của cả hai hình trụ và đáy bình được “đánh bóng” với nhau để nước không thể lọt vào giữa chúng thì các hình trụ sẽ giữ nguyên vị trí.

Nếu chỉ có đế dưới của hình trụ dưới được “đánh bóng” lên trên bình thì hình trụ phía trên sẽ nổi lên, còn hình trụ phía dưới vẫn giữ nguyên vị trí.

c) Trong các trường hợp khác, cả hai xi lanh đều nổi.

Tốc độ bóng tối đa $v \sim 12v_0$ ; việc này sẽ mất thời gian $t \sim (137/120)(L/v_0)$ .

lớp 9

Tất nhiên, bạn có thể vung xích đu. Lực truyền động lượng cho chuyển động theo phương nằm ngang cuối cùng là thành phần nằm ngang của phản lực từ mặt đất.
Tỷ lệ hiệu suất của chu kỳ $ABCDA$ và $ABC'D'A$ là $\eta_1/\eta_2=23/26<1$ ; do đó hiệu suất của máy thứ hai lớn hơn.
Giả sử có một vùng có mật độ điện tích bề mặt âm. Khi đó trong vùng này các đường thoát của điện trường sẽ đi vào dây dẫn. Những đường này không thể bắt đầu trên một dây dẫn (điện thế trên bề mặt của nó không đổi); do đó chúng phải bắt đầu ở vô cùng. Nhưng vì toàn bộ vật dẫn mang điện tích dương nên sẽ có các đường hợp nhất đi dọc theo bề mặt của nó đến vô cùng. Mang điện tích thử dọc theo một đường như vậy đủ xa vật dẫn và sau đó đưa nó trở lại bề mặt vật dẫn dọc theo đường mận đi vào dây dẫn trong vùng bề mặt âm với mật độ, chúng ta sẽ thực hiện công khác không, vì chúng ta sẽ di chuyển điện tích mọi lúc dọc theo đường mận. Nhưng điều này mâu thuẫn với thực tế là điện thế của các điểm dẫn là như nhau. Điều này có nghĩa là mật độ điện tích trên dây dẫn luôn không âm.

lớp 10

Ảnh $A'$ của điểm $A$ trùng với chính điểm đó, ảnh $B'$ của điểm $B$ nằm trên đường thẳng $AB$ ở phía bên kia của trục quang và $|AB|=|AB'|$ .
Tường phải được lắp đặt ở khoảng cách bằng $x_m/2$ .
Các dao động sẽ xuất hiện trong mạch có biên độ mới bằng $U_m/2$ và với tần số tròn mới bằng $1/\sqrt{2LC}$ .

Tham quan thành phố

lớp 8

Vận tốc góc của bể $\omega=(\omega_2-\omega_1)r/l$ ; bán kính của đường tròn mà tâm bể di chuyển là $R=\frac{l}{2}\left(\frac{\omega_2+\omega_1}{\omega_2-\omega_1}\right)$ .
Khoảng cách tối thiểu giữa các hạt tại $t \geq T$ là $\frac{T}{2}\left(\frac{v_0^2-2v_0^2}{v_01+v_02}\right)$ nếu $v_01>\sqrt{2}v_02$ và bằng 0 nếu $v_01 \leq \sqrt{2}v_02$ .
Tại $\mu<1/2$ khối trên sẽ di chuyển đi ngay khi đẳng thức tg $\alpha=\mu$ xảy ra. Vào $\mu>1/2$ cả hai khối đều bị lật đổ, sau đó khối trên cùng bắt đầu ăn.

lớp 9

Nội năng của chất khí và do đó nhiệt độ của nó $T$ không thay đổi. Bể chứa sẽ di chuyển theo chiều ngang một khoảng $x=mL/(4(m+M))$ .
$T \approx \frac{2d^2}{\alpha U_0 t_0}$ .
Các tấm phải được đặt song song với nhau, chồng lên nhau sao cho khoảng cách giữa các tấm liền kề bằng $d$ , tấm thứ nhất phải nối với tấm thứ ba, tấm thứ hai với tấm thứ tư. Điện dung của tụ điện như vậy là $C=3\varepsilon_0\varepsilon S/d$ .

lớp 10

Đặt độ lệch ban đầu $A$ của khối lập phương sao cho $(2n-1)b<A<(2n+1)b$ , trong đó $n$ là một số nhất định và $b=\mu mg/k$ (vì $A \leq l_0$ , phải thỏa mãn điều kiện $n \leq \left[ \frac{1}{2}\left(\frac{l_0}{b}-1\right)\right]$ , trong đó $l_0$ là chiều dài của lò xo không đóng đinh, $[x]$ nghĩa là phần nguyên của số $x$ . Sau đó $s=2n(A-nb)$ .
Chu kỳ dao động của một hệ có các lò xo nối tiếp là $T_1=2\pi \sqrt{\frac{k_1+k_2}{k_1k_2}} m$ , và một hệ có các lò xo nối tiếp “song song” là $T_2=2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}$ .

«Kvant» cho học sinh nhỏ

(cm. «Kvant» № 8)

Mặt trăng ở gần Trái đất hơn các ngôi sao nên bạn không thể nhìn thấy một ngôi sao trên đĩa Mặt trăng.
Đặt $BN=\frac{AC}{2}$ và $\angle A=75^\circ$ (Hình 5). Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó $AC=BC$ . Nếu $BC>AC$ thì $\angle B<75^\circ$ và $\angle C>30^\circ$ , nhưng sau đó là $BN>\frac{BC}{2}$ và $\frac{1}{2}AC>\frac{1}{2}BC$ , do đó, $BC<AC$ , điều này bác bỏ giả định. Nếu chúng ta giả sử rằng $BC<AC$ , thì