Được chọn bài toán Olympic Toán học Thành phố Leningrad lần thứ 50

54

Đã chọn bài toán Thế vận hội thành phố Leningrad lần thứ 50

Nhiệm vụ kỷ niệm Olympic Leningrad được bao gồm trong “Bài toán Kvant của số trước và số này (M876—M882 và M883 6).” Dưới đây chúng tôi công bố một số bài toán thú vị hơn của Olympic này. Gợi ý đến lời giải trong số đó được đặt ở cuối số (tr. 62). Nhiệm vụ cho Olympic được đề xuất bởi S. A. Genkin (số 2, 13), A. G. Goldberg (số 5), Yu. I. Nonin (số 3, 4, 15), A. S. Merkuryev (số 7, 10, 12, 14, 16), S. E. Rukshiin (số 8, 9), G. Perelman (số 11), D. V. Fomin (số 1), S. V. Fomin (số 17).

1. Vòng tròn được chia thành 6 khu vực, trong đó có các số 1, 0, 1, 0, 0, 0 (theo thứ tự đó). Cho phép tăng đồng thời hai số liền kề lên 1. Chứng minh rằng sử dụng các phép tính như vậy không thể cộng tất cả các số bằng nhau. (5 lớp)

2. Đường thẳng nằm ngoài đoạn AB có 45 điểm. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ các điểm này đến điểm A không bằng tổng khoảng cách từ các điểm này đến điểm B. (5-7 ô)

3. Tìm số nguyên nhỏ nhất có thể biểu diễn dưới dạng 13x+73y, trong đó x và y là các số tự nhiên.

4. Chứng minh rằng tập hợp các số (2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15) không thể là tập hợp độ dài các cạnh và đường chéo của một hình ngũ giác. (7 lớp)

5. Tìm những con số
   $$(1+x^2)^{-1} + (1+y^2)^{-1},$$
   nếu biết rằng chúng bằng nhau và $x \neq y$. (7 lớp)

6. Trong hình ngũ giác lồi ABCDE tương ứng: $AE=AD, AB=AC, \angle CAD=\angle AEB+\angle ABE$. Chứng minh rằng cạnh CD gấp đôi trung tuyến AM của tam giác ABE. (7 lớp)

7. Các số dương $a_1,a_2,...,a_n$ và $b_1,b_2,...,b_n$ sao cho $a_1+a_2+...+a_k=b_1+b_2+...+b_n$. Chứng minh rằng trong một bảng hình chữ nhật gồm $k \times n$ ô có thể sắp xếp các số không âm, trong đó có ít nhất $(k-1)(n-1)$ số 0, sao cho tổng các số ở các hàng bằng $a_1,...,a_k$ và trong các cột - $b_1,...,b_n$. (lớp 8-9)

8. Cho các điểm E và H trên các cạnh AB và CD của tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng nếu tam giác ABH và CDE có kích thước bằng nhau và $AE:BE=DH:CH$ thì $BC \parallel AD$. (lớp 8-9)

9. Hai người chơi trò chơi này. Người chơi đầu tiên viết một số; người chơi thứ hai thêm một số khác vào bên trái hoặc bên phải; (lớp 8-9)

10. Trên mặt phẳng tọa độ có 4 điểm có tọa độ nguyên. Được phép thay thế bất kỳ điểm nào trong số này bằng một điểm đối xứng với nó so với bất kỳ điểm nào khác trong số này. Có thể thực hiện một số thao tác như vậy từ các đỉnh của một hình vuông đơn vị (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) đến các điểm có tọa độ (0; 0). (1; 1), (3; 0), (2; -1)? (lớp 8-10)

11. Cho các số: 1 và chín số không. Bạn được phép chọn hai số và thay thế mỗi số bằng giá trị trung bình số học. Số nhỏ nhất có thể thay thế một số sau một loạt các phép toán như vậy là bao nhiêu? (lớp 8-10)

12. Chứng minh rằng tồn tại một tập hợp $A$ gồm các số tự nhiên sao cho mọi số tự nhiên không thuộc tập hợp $A$ là trung bình số học của hai phần tử khác nhau của tập hợp $A$ và không có số nào trong tập hợp $A$ có tính chất này. (lớp 8-10)

13. Con chip có thể được đặt tại một trong các điểm $13 \times 13$ $(x, y)$, trong đó $x$ và $y$ là số nguyên, $0 \leq x \leq 12$, $0 \leq y \leq 12$. Một con chip có thể tìm từ điểm $(x_1,y_1)$ đến điểm $(x_2,y_2)$ nếu mỗi số $|x_1-x_2|, |y_1-y_2|, |y_1-y_2|$ ít nhất là 2 và nhiều nhất là 9. Chứng minh rằng nó không thể đi vòng quanh tất cả 169 điểm bằng cách nâng mỗi số đó đúng một lần. (lớp 8-9)

14. Hiệu của các số có sáu chữ số $abcdef$ và $fdebca$ chia hết cho 271. Chứng minh rằng $b=d$ và $c=e$. (lớp 8-10)

15. Các số 1, 2,…, 100 được xếp ở 50 vị trí đầu. Chứng minh rằng có hai số ở cuối một cạnh không lớn hơn 48. (10 ô)

16. Số nguyên $a$ sao cho số $3a$ được biểu thị dưới dạng $x^2+2y^2$, trong đó $x$ và $y$ là số nguyên. Chứng minh rằng số $a$ cũng có thể biểu diễn dưới dạng này. (10 lớp)

17. Sau một số phép tính phân biệt và nhân với $x+1$, được thực hiện theo thứ tự bất kỳ, đa thức $x^8+x^7$ trở thành $ax+b$. Chứng minh rằng hiệu của các số nguyên $a-b$ chia hết cho 49.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi Yu. I. Nonin, S. V. Fomin