Советуем прочесть

56

Советуем прочесть

Учены — представители точных наук всего мира отмечали недавно 275-летие со дня рождения и 200-летие со дня смерти гения XVIII века, члена Петербургской Академии наук Леонардя Эйлера. 31 год его научной деятельности протекал в Петербурге (1727—1741 и 1766—1783), 25 лет — в Берлине (1741—1766). В пятом номере на четвертой странице обложки мы помещили информацию о некоторых мероприятиях в память Эйлера.

Изданы и две небольшие книжки об Эйлере. Профессор А. П. Юшкевич кратко изложил основные события из жизни Эйлера и его важнейшие достижения в различных областях математики.

Первая часть книжки А. Яковлева представляет собой значительное количество экземпляров ученого; во второй части рассказывает о некоторых математических проблемах и задачах, которые занимаются Эйлер и которые доступны понимать учащихся IX—X классов.

Наши читатели могут выбрать любую из этих книжек — в соответствии со своей подготовкой и интересами.

1. А. П. Юшкевич. Леонардо Эйлер. М.: Знание, 1982.
2. А. Я. Яковлев. Леонардо Эйлер. М.: Просвещение, 1983 (Серия «Люди науки» — пособие для учащихся).

59

рика от ширины $x$ шелли между ребрами: $a = j(x)$. Пусть $x = 0,1D - 0,7D$ и $tg\alpha = 0,01 - 0,6$, где $D$ — диаметр шарика. Для экспериментов был выдан биллиардный шарик ($D = 5$ см).

3. «Конденсатор». Предложить способ и измерить емкость электропитческого конденсатора. Для экспериментов был выдан конденсатор ЭГЦ 500 мкФ 30 В.

4. «Страусинове яйцо». Оцените, во сколько раз страусинове яйцо варится долше куриного.

5. «Представление». Разыграт с учетом членов команды и болельщиков представление на физическую тему. Длительность представления — 5 мин. Жанр произвольный.

Конкурс главных задач

На решение этих задач с представлением письменных отчетов командам отводилось два часа.

1. «Резонатор Гельмгольца». Расчитать и измерить резонансную частоту звуковых колбаний вферической колбе с узким горышком. Объем колбы 0,5 л, площадь сечения горышка 4 см², высота горышка 2 см, скорость звука 330 м/c.

2. «Искра». При размыкании цепи постоянного тока, содержащей большую индуктивность, между контактими размыкающего ключа возникает искровой разряд. Если параллельно ключу подсоединить конденсатор, то искровой разряд значительно ослабнет. Исследовать и объяснить явление гашения искры при подключении конденсатора.

3. «Эффект Доплера». Источник и применик звуковых колбаний (репродуктор и микрофон) укреплены на концах плаanks, которая подвешена к маттнику и может совершать колбания (образуется фигура в виде перевернутой буквы T). Сигнал, поступающий на репродуктор от звукового генератора, подается на $X$-пластины осциллографа. На $Y$-пластины осциллографа подается усиленный сигнал от микрофона. Таким образом, на экране осциллографа методом элипса можно наблюдать разность фаз между сигналом звукового генератора и усиленным сигналом микрофона. Предварительно, при покоящем мятнике, небольшим изменением частоты генератора на экране осциллографа получают изображение наклонной прямой. Затем при свободно колблющемся мятнике на экране осциллографа наблюдают периодическое превращение прямой в элипс (если плаанка находится в плоскости качаний).

Рис. 4.

3. «Машина катстроф Зимана». Объяснить качественно, как изменится кривая катстроф машины Зимана, если укоротить резинку $L1$ (описание машины Зимана см. в заданиях заочного конкурса).

4. «Машина». Что будет, если отпустить тормоза (рис. 5)?

5. «Сифон». Будет ли действовать сфон, если его поместить под колокол вакуумного насоса и откачать воздуха (рис. 6)?

60

6. «Световые пятна». Фонарь, состоящий из кожуха и обчиной лампы (220 В, 150 Вт), закрыт спереди светопропринимаемой черной бумагой. Длина спирали лампочки 3 см, расстояние от спирали до черной бумагии 6 см. На большом расстоянии от фонаря (5 м) находится экран. Что будет на экран, если в черной бумаге проколить отверстия диаметром 1 мм? 2 мм? 3 мм? Что будет, если проколить много отверстий?

7. «Орловский рысак». В течение двух минут человек может двигаться со скоростью: бегом — 28 км/ч, на коньках — 47 км/ч. Орловский рысак в течение двух минут развивается скорость 48 км/ч. Какую скорость мог бы развить орловский рысак на коньках? Для спраки дана таблица мировых рекордов (первое число — время, второе — скорость в км/ч):

| Бег 800 м | муж. жен. | 1.43,5 | 27,83 |
| :— | :— | :— | :— |
| Коньки 1500 м | муж. жен. | 1.54,26 | 47,26 |
| Коньки 1500 м | муж. жен. | 2.04,04 | 43,53 |
| Бег 1600 м | орловский рысак | 1.59,75 | 48,10 |

8. «Оdnоног». Некая зоологическая экспериментя обнаружила в джунглях реки Амазонки новый вид млекопитающего животного — Monopodus sferoidus (рис. 7, в просторении — одноног).

Оцените массу и полный рост однонога. При решении задачи используйте средние антропометрические данные для человека.

Зам. председателя оркотметета турина
Е. Н. Юносов

Ответы, указания, решения

Простой примем в непростых задачах

1. $-\infty < x < -2$, $-2 < x < 2 - \sqrt{15}$, $6 \leq x < +\infty$.
2. $x = 3$.
3. $x \in [6, 25; +\infty]$.
4. $y_{\max} = -\frac{3}{4}; y_{\min} = -3$.

Кто же прав?
Характеристиским условиям возрастания (убывания) на промежутке дифференцируемой функции является наравенство $f'(x) \geq 0$, а не $f'(x) > 0$ (для убывания $f'(x) \leq 0$, а не $f'(x) < 0$), лишь бы только критические точки функции не заполняли какого-либо промежутка. Если бы Федя и Вася вместе строих неравенств $2x + a > 0$ и $2x + a < 0$ написали несторогие $2x + a \geq 0$ и $2x + a \leq 0$, то у них получилось бы, что $a = -2$, то есть парабола, нарисованная Дусей.
О таком характеристическом условиям монotonности функции в учебнике не сказано, но оно совершеннено очень.

И наконец, такое сообщение. Согласно замечанию в учебнике, если функция непрерывна на конце промежутка, то его — конец промежутка — можно подключит к соответствующему

61

открытому промежутку при исследовании функций на монотносты. Но тогда наша парабола возвращает при $x \geqslant 1$ и убивает при $x \leqslant 1$, откуда следует, что при $x=1$ имеется ее минимум. Отсюда находится (как?), что $a=-2$.

Избранные школьные задачи

1. Ответ: $5\frac{1}{2}, 6\frac{1}{2}, 7, 4\frac{1}{2}$ и $3\frac{1}{2}$ функта.
   Указание. Сумма результатов всех взвешиваний — 61 функция — равна сумме удвоенных весов первого, второго, четвертого и пятого мешков с утроенным весом третього мешка. Поэтому утроенный вес третього мешка равен $61-2(12+8)=21$. Дальнейшее ясно.
2. Решение. $3(a^2+b^2+c^2)=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2+(a+b+c)^2$.
3. Указание. Пусть $DE$ — исключый отрезок (рис. 1). Отложим на $BC$ отрезок $|CF|=|CD|$. Тогда $|FB|=|EB|$. Треугольники $CDF$ и $BEF$ равноведенные, а так как $(DE)\parallel(BC)$, отрезки $DF$ и $EF$ — биссертисы углов $CDE$ и $DEB$ соответственно. Поэтому точка $F$ одинаково удалена от $AC$, $DE$ и $AB$, то есть $AF$ — биссертиса угла $A$.
4. Ответ: 0 при $\alpha+\beta+\gamma \leqslant 2$, $\alpha+\beta+\gamma-2$ при $\alpha+\beta+\gamma>2$. Указание. Пусть $N$ — число учеников в классе. Тогда $aN$, $\beta N$ и $\gamma N$ — число учеников хорошего, драматического и фото-кружков. Если $\alpha+\beta \leqslant 1$, то учеников, посещаюших все три кружка, может и не быть. Если $\alpha+\beta>1$, то наименьшее число учеников, участвующих в каждом из первых двух кружков, равно $(\alpha+\beta-1)N$. Пусть $\delta=\alpha+\beta-1$. Аналогично рассужделе показывает, что при $\delta+\gamma \leqslant 1$ учеников, посещаюших все три кружка, может и не быть, а при $\delta+\gamma>1$ наименьшее их число равно $(\delta+\gamma-1)N$, то есть $(\alpha+\beta+\gamma-2)N$.
5. Ответ: $1-\alpha-\beta$. Указание. Из равенств $\frac{S_{OBC}}{S_{ABC}}=\frac{|OD|}{|AD|};\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}=\frac{|OE|}{|BE|};\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}=\frac{|OF|}{|FC|}$ следует, что $\frac{|OD|}{|AD|}+\frac{|OE|}{|BE|}+\frac{|OF|}{|FC|}=1$.
6. Ответ: Всего 10 видов треугольников с углами: 1. $120^\circ$, $30^\circ$, $30^\circ$; 2. $120^\circ$, $40^\circ$, $20^\circ$; 3. $120^\circ$, $45^\circ$, $15^\circ$; 4. $120^\circ$, $36^\circ$, $24^\circ$;
7. $120^\circ$, $\frac{360^\circ}{7}$, $\frac{60^\circ}{7}$; 6. $90^\circ$, $45^\circ$, $45^\circ$; 7. $90^\circ$, $30^\circ$, $60^\circ$;
8. $90^\circ$, $72^\circ$, $18^\circ$; 9. $72^\circ$, $72^\circ$, $36^\circ$; 10. $60^\circ$, $60^\circ$, $60^\circ$. Указание. Задча сводится к решению в натуральных числах уравнения $\frac{1}{k}+\frac{1}{l}+\frac{1}{m}=\frac{1}{2}$. Далее, пусть $k \leqslant l \leqslant m$. Тогда $3 \leqslant k \leqslant 6$. (Если $k \geqslant 7$, то $\frac{1}{k}+\frac{1}{l}+\frac{1}{m}<\frac{3}{7}<\frac{1}{2}$.) Остается переработ случан $k=3$, $k=4$, $k=5$ и $k=6$.
9. Указание. На перепределкуле к $(AP)$ (рис. 2) в точке $A$ по обе стороны от $A$ откходим отрезки $GA$ и $AH$, и через точки $G$ и $H$ проведем прямые, параллельные $AP$. Эти прямые пересекут стороны угла в точках $G'$ и $H'$. Пусть $K$ — любая из точек пересечения $AP$ с окружностью, построенной на $G'H'$ как на диаметре. Ostалось проведи через точку $P$ прямые, параллельные $G'K$ и $H'K$, пересекающие соответствующие стороны угла в точках $E$ и $F$.
10. Ответ: $a=\frac{2}{3}\sqrt{2(m^2_b+m^2_c)-m^2_a}$; $b=\frac{2}{3}\sqrt{2(m^2_a+m^2_c)-m^2_b}$;
    Указание. Продолжив медиану $AM$ (рис. 3) на расстояние $|MO'|=|OM|$, получим из паралелограмма $BOCO' a^2+\left(\frac{2}{3} m_a\right)^2=2\left(\frac{2}{3} m_b\right)^2+2\left(\frac{2}{3} m_c\right)^2$.
11. Ответ: $x<0$; $x \geqslant 4$. Указание. Вычитая из первого уравнения второе, без труда получим, что $y=z$, $y \neq 0$ $y \neq 1$, $x=\frac{y^2}{y-1}$. Остается выяснить, при каких $x$ имеет ненулевые корни уравнения $y^2-xy+x=0$.
12. Ответ: a) $S_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$; 6) $S_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{4}$;
    b) $S_n=\frac{n(n+1)(n+4)}{4}$.
    Указание. a) Пусть $a_k=k(k+1)$. Заметим, что $k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)=3k(k+1)=3a_k$.

Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.

63

совокупности чисел можно уменшить, лишь использовав уреднение с нулем. При этом количество нулей уменшится на 1, а наименьший ненулевой элемент — не более чем в два раза.

12. Рассмотрите множество натуральных чисел, в троинной записи которых встречаются только цифры 0 и 1. (См. также решение задачи М839 в «Кванте» № 3 за этот год.)

13. Рассмотрите множество из 88 точек, одна из координат которых равна 0,1, 11 или 12.

14. Воспользовитесь тем, что 271 — простой делитель 99999.

15. Используйте точное

$$\frac{x^2+2y^2}{3} = \left( \frac{x \pm y}{3} \right)^2 + 2 \left( \frac{x \mp y}{3} \right)^2.$$

17. Следайте замену переменной $y=x+1$ и проследите за изменениями двух старших коэффициентов.

Ленинградская городская олимпиада по физике Районный тур

8 класс

1. Траектория центра трубы представляется собой последовательность двух окружностей с радиусом $l$, стягивающих угол $\alpha=\pi/3$. Центр трубы перемещается в горизонтальном направлении со средней скоростью $v=3\omega l/\pi$.

2. а) Если соррикасаошнеся поверхности обихих цилиндров и дна сосуда «пришлифованы» друг к другу, так что между ними вода попасть не может, то цилиндры останутся на месте.

6. Если «пришлифованы» только до сосуда и нижнее основание нижнего цилиндра, то верхний цилиндр всплыет, а нижний останется на месте.

в) В остальных случаях оба цилиндра всплыют.

3. Максимальная скорость шарика $v \sim 12v_0$; для этого потребуется время $t \sim (137/120)(L/v_0)$.

9 класс

1. Раскачать качели, конечно, можно. Сила, которая сообщит качелям импульс в горизонтальном направлении, это, в конечном итоге, горизонтальная составляющая силы реакции со стороны земли.

2. Отношение КПД циклов $ABCDA$ и $ABC'D'A$ равно $\eta_1/\eta_2=23/26<1$; следовательно, КПД второй машины больше.

3. Пусть есть область с отрицательной поверхностью плотностью заряда. Тогда в этой области сливые линии электрического поля должны входить в проводник. Начинается на проводнике эти линии не могут (потенциаль его поверхности постоянен); следовательно, они должны начинаться на бесконечности. Но поскольку проводник в целом имеет положительный заряд, будут сливые линии, уходящие с его поверхностью на бесконечность. Унося пробный заряд по такой линии достаточно далеко от проводника и возвращая его потом на поверхность проводника по сливой линии, входящей в проводник в области срицательной поверхности плотностью, мы совершили бы отнулную от нуля работу, так как движали бы заряд все время вдоль сливой линии. Но это противоречит тому, что потенциаль точек проводника один и тот же. Значит, плотность заряда на проводнике всегда неотрицательна.

10 класс

1. Изображение $A'$ точки $A$ совпадает с самой точкой, изображение $B'$ точки $B$ расположено на прямой $AB$ по другую сторону оптической оси, причем $|AB|=|AB'|$.

2. Стенку нужно установить на расстоянии, равном $x_m/2$.

3. В контуре возникнут колебания с новой амплитудой, равной $U_m/2$, и с новой круговой частотой, равной $1/\sqrt{2LC}$.

Городской тур

8 класс

1. Угловая скорость танка $\omega=(\omega_2-\omega_1)r/l$; радиус okружности, по которой движется центр танка, $R=\frac{l}{2}\left(\frac{\omega_2+\omega_1}{\omega_2-\omega_1}\right)$.

2. Minimalное расстояние между частицами при $t \geq T$ равно $\frac{T}{2}\left(\frac{v_0^2-2v_0^2}{v_01+v_02}\right)$, если $v_01>\sqrt{2}v_02$, и равно нулю, если $v_01 \leq \sqrt{2}v_02$.

3. При $\mu<1/2$ верхний кубик съедет, как только наступит равенство tg $\alpha=\mu$. При $\mu>1/2$ оба кубика опрокинуются, затем верхний кубик начинает съедать.

9 класс

1. Внутренняя энергия газа, а следовательно, и его температура $T$ не меняются. Резерверар переместится в горизонтальном направлении на расстояние $x=mL/(4(m+M))$.

2. $T \approx \frac{2d^2}{\alpha U_0 t_0}$.

3. Пластины надо разместить параллельно друг друга одна над другой так, чтобы расстояние между соседними пластинами было равно $d$, и соединить первый пластину с третьей, а вторую — с четвертой. Емкость такого конденсатора $C=3\varepsilon_0\varepsilon S/d$.

10 класс

2. Пусть начальное отклонение $A$ кубика таково, что $(2n-1)b<A<(2n+1)b$, где $n$ — неокоторое число число, а $b=\mu mg/k$ (поскольку $A \leq l_0$, должно выполнять условие $n \leq \left[ \frac{1}{2}\left(\frac{l_0}{b}-1\right)\right]$, где $l_0$ — длина нераспятой пружины, $[x]$ означает целую часть числа $x$. Тогда $s=2n(A-nb)$.

3. Перiod колебаний системы с последовательными пружинами $T_1=2\pi \sqrt{\frac{k_1+k_2}{k_1k_2}} m$, а системы с «параллельно» соединенными — $T_2=2\pi \sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}$.

«Квант» для младших школьников

(cm. «Квант» № 8)

1. Луна находится близке к Земле, чем звезды, поэтому нельзя увидеть звезду на диске Луны.

2. Пусть $BN=\frac{AC}{2}$ и $\angle A=75^\circ$ (рис. 5). Покажем, что $AC=BC$. Если $BC>AC$, то $\angle B<75^\circ$ и $\angle C>30^\circ$, но тогда $BN>\frac{BC}{2}$ и $\frac{1}{2}AC>\frac{1}{2}BC$, следовательно, $BC<AC$, что проигрычит предположению. Если же предположим, что $BC<AC$, то