Сведём неравенство к известному

49

Сведем неравенство к известному

П. П. ГОРНУША

Многие задачи на доказательства неравенств, предлагаемые на вступительных экзаменах, удается решить, свойства их к вспомогательным неравенствам (очевидным или ранее известным) с помощью точек детственных преобразования. Такие задачи мы рассмотрим здесь*). Вспомогательные неравенства выделены цветом, но не для того, чтобы их заучивать. Ими (и положими неравенствами) нужно уметь пользоваться, уметь выводить по мере надобности.

Каждай школьник знает, что квадрат числа (или сумма квадратов чисел) — число неотрицательное:

$$a^2 \geq 0, a^2 + b^2 \geq 0, a^2 + b^2 + c^2 \geq 0, \dots$$

(1)

Это простое обстоятельство является ключом к решению очень многох задач. Начнем с совсем простой.

Задача 1 (КПИ, 1981). Докажите, что при любых действительных x, y, z, t справедливо неравенство

$$4x^2 + 3y^2 + 4z^2 + 5t^2 + 4ax + 3ay + 4az + 5at + 4a^2 \geq 0.$$

Решение. Перегруппируем члены левой части неравенства так, чтобы получить сумму квадратов:

$$(4x^2 + 4ax + a^2) + (3y^2 + 3ay + 3a^2/4) + (4z^2 + 4az + a^2) + (5t^2 + 5at + 5a^2/4) \geq 0,$$

$$(2x + a)^2 + 3(y + a/2)^2 + (2z + a)^2 + 5(t + a/2)^2 \geq 0.$$

*) Задание предлагаемых в разные годы в Киевском, Ленинградском и Московском государственных университетах (КГУ, ЛГУ и МГУ); в Московских институтах электронного машиностроения и автотехническом (МИЭМ, МАТИ) и в Киевском политехническом институте (КПИ); год, когда задача предлагалась, мы указываем рядом с аббревиатурой вуза.

Посленее неравенство оченьидно (это разновидность (1)), а так как оно равносильно данному — задача решения.

Неравенство (1) выстрадает во многих разных obliquityх; например $(x + y + z)^2 \geq 0, (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0, (t - 1)^2 \geq 0$. Предпоследнее неравенство можно переписать в виде $a + b > 2\sqrt{ab}$ (при $a > 0, b > 0, a \neq b$) или

$$\frac{1}{\sqrt{ab}} > \frac{2}{a + b}$$

(2)

Важно суметь видеть это простое неравенство, когда оно появляется в «замаскированной» форме, как например, в следующей задаче.

Задача 2 (ЛГУ, 1978). Определить знак разности

$$\left( \frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1978}} + \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 1977}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k \cdot (1978 - k + 1)}} + \frac{1}{\sqrt{1978 \cdot 1}} \right) - 2 \cdot \frac{1978}{1979}.$$

Решение. Воспользовавшись неравенством (2) 1978 раз, можно написать:

$$\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1978}} > \frac{2}{1 + 1978} = \frac{2}{1979};$$

$$\frac{1}{\sqrt{2 \cdot 1977}} > \frac{2}{2 + 1977} = \frac{2}{1979};$$

$$\frac{1}{\sqrt{1978 \cdot 1}} > \frac{2}{1978 + 1} = \frac{2}{1979}.$$

Складывая эти неравенства, получим

$$\frac{1}{\sqrt{1 \cdot 1978}} + \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 1977}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k \cdot (1978 - k + 1)}} > 2 \cdot \frac{1978}{1979}.$$

Значит, данная разность — положительная.

А вот другая варнация на тему $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$. Прибавляя к обем части этого неравенства выражение $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$, получим

$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \leq (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 + (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = 2(a + b),$$

51

решение которого сразу находится.
Ответ: $p=3; t=\pi+2k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$.
Монotonное убывание ксинуса от 0 до π многократно обыгрывается в следующей задаче (каждый раз, когда мы им пользовемся, мы виделием цветом соответствующей неравенство).
Задача 6 (МИЭМ, 1980). При $n=1, 2, 3$, сравните числа
$\sin^2 1^\circ + \sin^2 4^\circ$ и $\sin^2 2^\circ + \sin^2 3^\circ$.
Решение. 1) $n=1$. Преобразуем сумму синусов в произведение:
$\sin 1^\circ + \sin 4^\circ = 2 \sin 2, 5^\circ \cos 1, 5^\circ$,
$\sin 2^\circ + \sin 3^\circ = 2 \sin 2, 5^\circ \cos 0, 5^\circ$.
Тепер видно, что второе число больше первого, либо $\sin 2, 5^\circ > 0$ и
$\cos 0, 5^\circ > \cos 1, 5^\circ$.
2) $n=2$. Выразим квадрат синуса через косинус двойного угла
$\sin^2 1^\circ + \sin^2 4^\circ = \frac{1-\cos 2^\circ}{2} + \frac{1-\cos 8^\circ}{2}$,
$\sin^2 2^\circ + \sin^2 3^\circ = \frac{1-\cos 4^\circ}{2} + \frac{1-\cos 6^\circ}{2}$.
Покажем, что теперь уже первое число больше. Для этого достаточно установить неравенство
$\cos 4^\circ + \cos 6^\circ > \cos 2^\circ + \cos 8^\circ$,
а оно равносильно неравенству
$2 \cos 5^\circ \cos 1^\circ > 2 \cos 5^\circ \cos 3^\circ$,
которое сразу следует из того, что $\cos 5^\circ > 0$ и
$\cos 1^\circ > \cos 3^\circ$.
3) $n=3$. Покажем, что здесь снова первого число больше. Воспользуемся формулой
$\sin^3 \alpha = \frac{3 \sin \alpha - \sin 3 \alpha}{4}$, (6)
которая легко проверяется (раскройте $\sin 3\alpha$ как $\sin(2\alpha + \alpha)$, затем примените формулы для $\cos 2\alpha$ и $\sin 2\alpha$). Тогда задача сводится к доказательству (равносильных) неравенств
$\sin 9^\circ - \sin 3^\circ + \sin 6^\circ - \sin 12^\circ >$
$> 3 \sin 3^\circ - 3 \sin 1^\circ + 3 \sin 2^\circ - 3 \sin 4^\circ$;
$2 \cos 6^\circ \sin 3^\circ - 2 \cos 9^\circ \sin 3^\circ >$
$> 6 \cos 2^\circ \sin 1^\circ - 6 \cos 3^\circ \sin 1^\circ$;
$\sin 3^\circ \sin 7, 5^\circ \sin 1, 5^\circ >$
$> 3 \sin 1^\circ \sin 2, 5^\circ \sin 0, 5^\circ$.
Преобразуя синусы утроенных углов влевой части по формуле (6) и пользоваться положительностью $\sin 1^\circ$, $\sin 2, 5^\circ$, $\sin 0, 5^\circ$, мы видим, что достаточно доказать неравенство
$(3 - 4 \sin^2 1^\circ) (3 - 4 \sin^2 2, 5^\circ) \times (3 - 4 \sin^2 0, 5^\circ) > 3,$
которая преобразуется к равносильному виду
$(1 + 2 \cos 2^\circ) (1 + 2 \cos 5^\circ) \times (1 + 2 \cos 1^\circ) > 3,$
а это завершимо верно — левая часть даже больше 8, ибо
$\cos 1^\circ > \cos 2^\circ > \cos 5^\circ > \frac{1}{2}$.
Возможно, разобранные примеры неудрено—ведь перед каждой задачей мы заганнее задовольли то неравенство, которое решаются обозрам сравотало в ее решении. Искусство и трудность решения подобных задач состоит как раз в том, чтобы увидеть нужное неравенство в процессе разбора задачи. Поэтому мы предлагаем несколько задач для самостоятельного решения (к наиболее трудным, отмещенных звездочек, в конце журнала данных указания). Но прежде, чем приступить к их решению, мы советуем вам снова просмотрить подобные примеры, чтобы понять, как по их виду можно было дадаться до хода решения.

Задачи
7 (КПИ, 1981). Найдите наименьшее значение выражения
$x^2 + 4y^2 + 3z^2 + t^2 - 2x - 12y - 6z - 2t$
при условии, что $x, y, z$ и $t$ принимают любые действительные значения.
8 (КПИ, 1981). Найдите наибольшее значение функции
$y = \frac{11}{2} - \frac{1}{2} \cos 4x - \frac{4 \mathrm{tg} x}{1 + \mathrm{tg}^2 x}$.
9 (МИЭМ, 1980). При $n=1, 2, 3$ сравните числа
$\cos^2 1^\circ + \cos^2 4^\circ$ и $\cos^2 2^\circ + \cos^2 3^\circ$.
10 (МГУ, 1980). Докажите, что для любых действительных $p$ и $q$ справедливо неравенство
$2(2p - 1)^4 + 1 + (1 - 2(2p - 1))^4 \sin 2t \geq 0$,
и найдите все пары чисел $(p, t)$, для которых это неравенство превращается в равенство.
11* (КПИ, 1976). Докажите, что многочлен $a^4 - 5a^3 - 6a^2 - a + 9$
не может иметь отрицательных корней.
12* (МИЭМ, 1982). Какому из промежутков [2; 3], [3,1; 3,3], [3,6; 4,5] принадлежит число
$a = \log_6 7 \sqrt[3]{6} - \log_7 \frac{1}{8 \sqrt[3]{49}} + \log_8 \frac{9}{8}$?
13 (МИЭМ, 1979). Расположите в порядке числа
a) $0; \sqrt{0,8}; 1,2; \frac{11}{30}; 0,91846; \ln \frac{7}{5}$;
b) $1; 0,37; \frac{65}{63}; \frac{61}{59}; \tg 33^\circ; \tg(-314^\circ).$