Гармонические колебания. Сложение колебаний

21

соответствие и приводит к переходу вещества из одного состояния в другое.

Твердое состояние — это состояние, в котором потенциальная энергия $W_p$ взаимодействия молекул подавляющее вещека по сравнению с кинетической $W_k$:

$$W_p \gg W_k.$$

Как можно изменить это состояние? Например, нагрева твердое тело. Ясно, что при нагревании увеличивается кинетическая энергия части тела, а их потенциальная энергия при этом praktически не изменяется. Таким образом можно добиться того, чтобы кинетическая энергия стала примерно равной потенциальной. Тогда и произойдет переход из твердого состояния в жидкое, для которого характерно примерное равенство $W_p$ и $W_k$:

$$W_p \approx W_k.$$

В этом состоянии потенциальная энергия еще достаточно велика, чтобы молекуры не могли разлетаться друг от друга, а кинетическая энергия уже достигло велика, чтобы молекуры прибрели определенную подвижность, то есть возможность перемещаться внутри объема. Жидкость сохраняет свой объем, но становится текущей и поэтому не сохраняет свой формуы.

Будем продолжать поставлять энергию, нагрева теперь уже жидкость. Кинетическая энергия молекул будет расти и в какой-то момент превышает потенциальную энергию их взаимодействия настоящего, что его (потенциальной энергей) можно будет пребежать:

$$W_p \ll W_k.$$

Вшестью перейдет в состояние, которое соответствует идеальному газу («Физика 9», § 6).

А что если продолжать нагрев, теперь уже газа? Приведет ли дальнейший рост кинетической энергии молекул к еще одному агрегатному переходу? Оказывается, да. Но только потом, что молекуры (атомы) это не просто очень маленькие шарики. Они представляют собой сложные системы заряженных части, еще меньшех, чем atoms, размеров. При достичению высокой температуре газа стольновения его части приводят к тому, что молекуры развалиются на atoms, а atoms — на составляющие их заряженные частицы.

В результате получается особого рода вещество, состоящее из одинакового числа положительного и отрицательно заряженных частицы (в целом — электронские нейтральное). Это и есть четверое состояние вещества — плазма.

В отличие от других агрегатных состояний плазма состоит из электронских взаимодействия двух с другой части. Вот почему свойства плазмы существенно отличаются от свойств вещества в других состояниях.

Гармоническая колбанная.

Колбательное движение — это периодическая движение, то есть такое, при котором координата тела через определенные промежутки времени (минimalный промежуток называют периодом колбаний) повторяется. Типичный пример колбаний — движение тела, прикрепленного кружине («Физика 10», §§ 2 и 4). Вызывает такое движение слая упруgosity $F_x = -kx$, изменяющаяся от точки к точке, поэтому изменяющимся оказывается иускорение тела. При движении колблющеся тело проходит и через такое положение, в котором действующая на него сила обращается в нуль. Это — положение равновесия, оно служит центром колбания. Максимальное отклонение тела от положения равновесия называется амплитудой колбания.

Так как сила упруgosти — сила переменная, то решить уравнение второго закона Ньютона

$$-kx = ma_x$$

и найти, как координата $x$ изменяется со временем, средствами общей алгебры нельзя. Поэтому мы заменим на время физику геометрией и рассмотрим движение совсем другое, но «как две капли воды» похоже на движение тела, скрепленного сружиной.

Пусть некоторое тело (materialная точка) движется с постоянной угловой скоростью $\omega$ по окружности радиуса $A$ (рис. 1). Движение по окружности — это тоже периодическое движение, поскольку через определенные промежутки времени $T = 2\pi/\omega$ (перiod обращения) тело оказывается в одном и том же месте на окружности. Рассмотрим, однako, движение не самой точки, а ее

22

проекции на диаметр XX окружности. Сразу видно, что при движении точки по окружности ее проекция движется вдоль диаметра XX и это движение действительное положение на движение тела, скрепленного с пружиной. Двигаясь вдоль диаметра, проекция удаляется от центра окружности на расстояние, не большее, чем радиус A. Можно, значит, сказать, что проекция совершает колбания с амплитудой A. Центр окружности O играет здесь такую же роль, как положение равновесия в опыте с пружиной. Перiod обращения точки по окружности — это в то же время и период колбаний ее проекции. Но если для точки, движущейся по окружности, $\omega$ — это угловая скорость, то для проекции $\omega$ — это так называемая циклическая частота, то есть число колбаний за 2π секунд:

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi v.$$

Здесь $v$ — частота колбаний, то есть число колбаний за одну секунду.

Предположим, что в некоторых момент времени, который мы примем за начальный ($t=0$), движущаяся по окружности точка находится в положении $M_0$ (рис. 2). Проведем из центра окружности как из начала координат вектор $\overrightarrow{OM_0}$. Его называют радиус-вектором (модуль этого вектора равен A). Радиус-вектор определяет положение точки на окружности, а проекция его конца на диаметр XX определяет положение проекции $M'_0$ точки, то есть координат $x_0$ этой проекции, отчисываемого от центра окружности O. Двигаение точки по окружности означает в то же время вращение радиус-вектора вокруг центра O с той же угловой скоростью $\omega$. Из рисунка 2 видно, что начальная координата $x_0$ проекции равна A cos $\varphi_0$, где $\varphi_0$ — угол, отсчитанный от оси X против часовой стрелки до вектора $\overrightarrow{OM_0}$.

Пусть через промежуток времени $t$ движущаяся по окружности точка оказалась в M, а ее проекция — в $M'$. Угол поворота радиус-вектора увеличился на $\Delta\varphi=\omega t$ и стал равным $\Delta\varphi+\varphi_0$. Koордината $x$ проекции точки теперь равна

$$x=A \cos(\Delta\varphi+\varphi_0)=A \cos(\omega t+\varphi_0).$$

Формула

$$x=A \cos(\omega t+\varphi_0)$$

и показывает, как координата $x$ проекции движущаяся по окружности точки, то есть координата точки, совершающего колбания, зависит от времени. Колбания, при которых координата колбающегося тела (точки) зависит от времени по закону (*), называются гармоничскими. Величина $\varphi=\omega t+\varphi_0$ называется фазой колбания, а $\varphi_0$ — начальное фазой.

Как мы уже говорили, движение проекции конца радиус-вектора на диаметр окружности во всем положке на движение тела, скрепленного с пружиной. Верно и обратное: движение тела, прикрепленного к пружине, совершенное подобно движению проекции точки, движущейся по окружности, на диаметр этой окружности. Поэтому каждому колбающемуся телу можно сопоставить врашающая радиус-вектор, проекция конца которой есть колбающемся тело (точка). Это и показано на рисунке 3 для случая тела, прикрепленного к горизонтальнойружине.

Только что высказанное сообщение позволяет решить важную задачу о сложении колбаний, произходящих вдоль одной прямой и с одинаковыми частотами. Например, когда положение равновесия, около которого тело совершен

23

шает колебания, само совершает колебания с такой же частотой и вдоль той же прямой. Складем, тело, скрепленное с пружиной, совершает колебания на платформе, которая сама колебляется относительно неподвижной системы отчета.

Предположим, что нужно сложить такие два колебания:

$$x_1 = A_1 \cos(\omega t + \varphi_0),$$
$$x_2 = A_2 \cos(\omega t + \varphi_0).$$

Как видно из написанных формул, колебания могут различаться амплитудами ($A_1$ и $A_2$) и начальные фазами ($\varphi_01$ и $\varphi_02$). Чтобы узнать, что получится в результате сложения, изобразим соответствующие складываемым колебаниям врашающего радиус-векторы $\vec{A}_1$ и $\vec{A}_2$ как бы заступили в начальной момент времени и покажем окружности, по которым движутся их концы (рис. 4; для упрощения на рисунке приведены не полные окружности). Очевидно, что результатрушее колебание будет произходить с той же частотой $\omega$, но с другой амплитудой и другой начальной фазой:

$$x = A \cos(\omega t + \varphi_0).$$

Значения $A$ и $\varphi_0$ мы получим, если сложим векторы $\vec{A}_1$ и $\vec{A}_2$ по правилам параллелограмма. Диагональ параллелограмма $A = |\vec{A}|$ и есть амплитуда суммарного колебания, а угол $\varphi_0$, который вектор $\vec{A}$ образует с осью $X$, — начальная фаза этого колебания.

Согласно известной теореме косинусов, мы можем написать

$$A^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2 \cos OA_1A,$$

где $OA_1A = 180^\circ - A_2OA_1 = 180^\circ - (\varphi_02 - \varphi_01)$. Так как $\cos(180^\circ - (\varphi_02 - \varphi_01)) = -\cos(\varphi_02 - \varphi_01)$, то

$$A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\varphi_02 - \varphi_01).$$

Результат сложения двух колебаний зависит, таким образом, от разности фаз колебаний-слагаемых. Поскольку колебания произходит с одной и той же частотой, разность фаз $\varphi_2 - \varphi_1$ колебаний в любой момент времени равна разности $\varphi_02 - \varphi_01$ начальных фаз.

Представляют особый интерес два крайних случая:

1. Разность фаз $\varphi_2 - \varphi_1 = 0$ (или $2\pi$, $4\pi$ и т. д.). Колебания, фазы которых в любой момент времени одинаковы, называются синфазными. В таком случае $\cos(\varphi_02 - \varphi_01) = \cos(\varphi_2 - \varphi_1) = 0$, и $A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2$, или $A = A_1 + A_2$ — амплитуда результатрушшего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний. Другими словами, колебания в результате сложения осуществляется.

2. Разность фаз $\varphi_2 - \varphi_1 = \pi$ (или $3\pi$, $5\pi$ и т. д.). О таких колебаниях говорят, что их фазы противоположны (колебания антифазные). В этом случае $\cos(\varphi_02 - \varphi_01) = \cos(\varphi_2 - \varphi_1) = -1$, и $A^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2$, или $A = A_1 - A_2$ — результатрушшее колебание оказывается ослабленным: амплитуда равна разности амплитуд колебаний-слагаемых. Если $A_1 = A_2$, то амплитуда результатрушнего колебания равна нулю, то есть колебаний вовсе нет: одно колебание «погасило» другое.

В этом состоянии одно из самых важных свойств колебания — при сложении они могут успливаться или ослабляться. Это свойство играет важную роль в волновых процесах («Физика 10», § 36).

Из рисунка 4 легко получить и значение начальной фазы $\varphi_0$ результатрушшего колебания:

$$tg \varphi_0 = \frac{A_1 \sin \varphi_01 + A_2 \sin \varphi_02}{A_1 \cos \varphi_01 + A_2 \cos \varphi_02}.$$