Hình học giúp giải phương trình

22

Toán học
8, 9, 10

Bài báo đăng dưới đây “Petya và Vova đã sai ở đâu?” dành cho lớp 8, “Hình học giúp giải phương trình” - Học sinh lớp 9 và đường tam giác - Học sinh lớp 10. Sự phân chia này ở một mức độ nào đó là tùy tiện, vì mỗi ghi chú này có thể hữu ích không chỉ cho học sinh trong các lớp được chỉ định.

Petya và Vova đã sai ở đâu?

Hai người bạn Petya và Vova đang giải hệ phương trình tối ưu
$$\begin{cases} (x^2 - xy + y^2)(x - y) = 1 + y^3, \\ (x^2 + xy + y^2)(x + y) = 1 - y^3. \end{cases}$$

Petya thay thế phương trình thứ hai bằng tích của các phương trình:
$$\begin{cases} (x^2 - xy + y^2)(x - y) = 1 + y^3, \\ (x^3 - y^3)(x^3 + y^3) = 1 - y^6, \end{cases}$$

đó là
$$\begin{cases} (x^2 - xy + y^2)(x - y) = 1 + y^3, \\ x^6 - y^6 = 1 - y^6. \end{cases}$$

Từ phương trình thứ hai $x = \pm 1$, tôi mở nó ra đáp số: $(1; 0); (-1; -1)$.

Vova đã thay thế phương trình đầu tiên bằng tích của các phương trình:
$$\begin{cases} x^6 - y^6 = 1 - y^6, \\ (x^2 + xy + y^2)(x + y) = 1 - y^3, \end{cases}$$

Ở đâu
$$\begin{cases} x = \pm 1, \\ (x^2 + xy + y^2)(x + y) = 1 - y^3. \end{cases}$$

Điều này mang lại cho chúng tôi đáp số: $(1; 0); (-1; 1)$.

Sau Thế vận hội, họ đã khoan đáp số và rất ngạc nhiên. Ai đã sai?
P. P. Gornusha

Hình học giúp giải phương trình

Trong một số trường hợp, thay vì chuyển đổi phương trình, bạn có thể làm như sau: dịch bài toán sang ngôn ngữ hình học, sau đó viết điều kiện hình học thu được theo một cách khác; KẾT QUẢ: MỘT KẾT QUẢ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN GIẢN. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét hai ví dụ như vậy, và trong mỗi ví dụ đó, phương trình ban đầu tương đương với điều kiện “một số điểm nằm trên cùng một đường thẳng”; Bằng cách viết điều kiện này một cách thích hợp, chúng ta thu được một phương trình đơn giản hơn mà chúng ta sẽ giải được.

Bài 1. Giải phương trình $\sqrt{15 - 12\cos x} + \sqrt{7 - 4\sqrt{3}\sin x} = 4$, trong đó $0^\circ < x < 90^\circ$.

Lời giải. Hãy cho phương trình có dạng:
$$\sqrt{(\sqrt{12})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2\cdot\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}\cos x} + \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2\cdot\sqrt{3}\cdot2\cdot\cos(90^\circ - x)} = 4.$$ (1)

Hình 1 hiển thị một hình chữ nhật chứa $|AC| = \sqrt{12}, |BC| = 2, ACD = x, DCB = 90^\circ - x; |CD| = \sqrt{3}, |AB| = 4$. Số hạng đầu tiên ở bên trái của (1) bằng $|AD|$, số hạng thứ hai là $|DB|$. Nhưng vì $|AD| + |DB| = |AB|$ nên nó có nghĩa là $D \in [AB]$. Do đó, phương trình này có thể được thay thế bằng phương trình $\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}\sin x + \sqrt{3}\cdot2\cdot\sin(90^\circ - x) = 2\cdot\sqrt{12}$ (2)

(kể từ $S_{ACD} + S_{DCB} = S_{ACB}$), hoặc
$$6\sin x + 2\sqrt{3}\cos x = 4\sqrt{3},$$

dễ giải quyết hơn bản gốc.

Chúng ta có: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = 1$, tức là $\sin(x + 30^\circ) = 1$, từ đó $x = 60^\circ$.

Rồi những thứ khác. Nói đúng ra, cần phải chứng minh phương trình (2) suy ra từ phương trình (1). Hãy thể hiện nó. Từ phương trình (2) suy ra $S_{ACD} + S_{DCB} = S_{ACB}$, do đó $|AD| + |DB| = |AB|$, và điều này được viết trong phương trình (1).

Hình 1.
Hình 2.