Olympic Toán quốc tế XXV

44

XXV
Olympic Toán quốc tế

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. P. SAVIN

Lễ kỷ niệm Olympic Toán quốc tế XXV được tổ chức từ ngày 29/6 đến ngày 10/7 tại thủ đô Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Tiệp Khắc, Praha. Cô đã thu thập các đề xuất để tích hợp nhiều hơn các tài liệu triển lãm vào bài tập trên lớp từ nhiều quốc gia. Gian hàng của Liên Xô đã thành công rực rỡ, nơi tạp chí «Kvant» được trình bày bằng phông chữ, cũng như thư viện «Kvant».

Vào cuối hội thảo, ban giám khảo, bao gồm các nhà lãnh đạo khoa học của nhóm, đã có mặt để sử dụng nghĩa vụ trực tiếp - lựa chọn bài toán để cải tiến. Công việc này rất khó khăn vì cần phải tính đến mức độ chuẩn bị khác nhau giữa học sinh các nước đang phát triển và các nước trẻ ở Châu Á, Châu Phi và Châu Mỹ Latinh. Đồng thời, cần xử lý bài toán thật phức tạp để có thể xác định được người chiến thắng.

Ban giám khảo, đứng đầu là Giáo sư F. Zitek, đã làm việc rất xuất sắc. Điều này có thể được đánh giá bằng cả kết quả của Thế vận hội và kết quả của một cuộc khảo sát do phóng viên của tạp chí thực hiện «Kvant»: mỗi thành viên ban giám khảo được yêu cầu sắp xếp bài toán được trưng bày theo thứ tự độ khó tăng dần. Mặc dù các thành viên ban giám khảo riêng lẻ rất khác nhau, nhưng thứ tự thành công bài toán về độ khó của họ phù hợp với thứ tự thu được từ việc phân tích công việc của những người tham gia.

Mỗi bài toán được quyết định rất nhanh chóng và phù hợp với truyền thống lâu đời là tổ chức cuộc thi trong hai ngày, cung cấp 3 bài toán cho 4,55 giờ làm việc mỗi ngày. Như vậy, số điểm tối đa mà một người tham gia có thể ghi được là 42 điểm, duy trì trong 5 năm qua.

Bài toán nơi cuộc thi được tổ chức như sau.

Ngày đầu tiên
1 (Đức). Cho x, y, z là các số thực không âm sao cho x+y+z=1. Chứng minh rằng
$$0 \leq xy+yz+xz-2xyz \leq \frac{7}{27}.$$

2 (Hà Lan). Cho biết cặp số tự nhiên (a, b) sao cho:

1. số ab ​​(a+b) không chia hết cho 7,
2. $(a+b)^7-a^7-b^7$ chia hết cho $7^7$.
   Đáp số biện minh.

45

Từ trái sang phải: F. Nazarov, L. Oridoroza, S. Strukov, K. Ignatsev, A. Astrelin, E. Abakumov, trưởng nhóm sư phạm T. A. Sarycheva, trưởng nhóm khoa học A. A. Fomin, phóng viên tạp chí «Kvant» A. P. Savin.

3 (SRR). Cho hai điểm O và A khác nhau trên mặt phẳng. Đối với mỗi điểm X của mặt phẳng này, khác với điểm O, chúng ta biểu thị bằng a(X) độ lớn của góc AOX, biểu thị bằng radian (0≤a(x)<2π), trong đó góc a(x) được đo ngược chiều kim đồng hồ tính từ điểm OA ​​và bằng C(X) là đường tròn có tâm O và bán kính OX+a(X)/OX.

Cho một tập hữu hạn các màu và mỗi điểm trên mặt phẳng được bao quanh bởi một trong số chúng. Chứng minh rằng tồn tại một điểm Y sao cho a(Y)>0 và trên đường tròn C(Y) có ít nhất một điểm cùng màu với điểm Y.

Ngày thứ hai

4 (SRR). Cho đường thẳng CD của tứ giác lồi ABCD tiếp xúc với đường tròn đường kính AB. Chứng minh rằng đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD khi và chỉ khi các đường thẳng BC và AD song song.

5 (MPR). Gọi d là tổng chiều dài của các đường chéo và p là chu vi của một n-giác lồi phẳng (n>3). Chứng minh rằng

$$n-3 < \frac{2d}{p} < \left[ \frac{n}{2} \right] \left[ \frac{n+1}{2} \right] - 2$$

([x] là phần nguyên của x, tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá x).

6 (Ba Lan). Cho a, b, c, d là các số nguyên lẻ thỏa mãn các điều kiện sau:

1. 0<a<b<c<d;
2. ad=bc;
3. a+d=2^k, b+c=2^m đối với một số số nguyên k và m. Chứng minh rằng a=1.

(Trong ngoặc sau số bài toán là quốc gia đề xuất bài toán.)

Olympida đã biết đến thành công rực rỡ của đội Liên Xô và các đội của các nước xã hội chủ nghĩa khác. Đội của chúng tôi đã ghi được 235 điểm trên tổng số 252 điểm có thể, đội Bulgaria đứng ở vị trí thứ hai (203 điểm), Romania đứng thứ ba (199), vị trí thứ tư và thứ năm