Bài toán M896—M900; F908—F912

32

Nhiệm vụ

M896 — M900; F908 — F912
M896. Cho tứ giác lồi ABCD, biết đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường thẳng CD. Chứng minh rằng đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB khi và chỉ khi BC và AD song song.

M897. Tìm ít nhất một cặp số nguyên (x, y) sao cho số $(x+y)^7-x^7-y^7$ chia hết cho 7 nhưng số $(x+y)xy$ không chia hết cho 7.

M898*. Đối với các số tự nhiên lẻ $a<b<c<d$, các điều kiện sau được thỏa mãn: $ad=bc; a+d=2^k$ và $b+c=2^m$, trong đó $k$ và $m$ là các số tự nhiên không toric. Chứng minh rằng a) $a=1$; b) với mỗi $m \geqslant 3$ có và chỉ một bộ số $a, b, c, d, k$ thỏa mãn các điều kiện này.

M899. Hãy gọi môi trường của một số không nguyên $x$ thay thế nó bằng một trong hai số nguyên gần nhất ([x] hoặc [x]+1).
a) Chứng minh rằng trong mọi đẳng thức $x_1+x_2+\ldots+x_m=y_1+y_2+\ldots+y_n$ tất cả các số hạng không nguyên đều có thể làm tròn sao cho đẳng thức vẫn đúng.
b) Một bảng gồm $m$ hàng và $n$ hàng chứa các số không phải toric và tổng của chúng trên các hàng $a_1, a_2, \ldots, a_m$ trở lên trên các hàng $b_1, b_2, \ldots, b_n$ là số nguyên. Chứng minh rằng tất cả các số không nguyên trong bảng đều có thể làm tròn sao cho tổng hàng và hàng được làm tròn bằng tổng tương ứng $a_1, a_2, \ldots, a_m, b_1, b_2, \ldots, b_n$.

A. P. Savin

M900. Có thể hình chiếu lên mặt phẳng của một khối đa diện lồi có 6 mặt là a) một hình bát giác không? b) 9-giác?
b)* Hình chiếu của một khối đa diện lồi có các mặt $n$ có thể có số cạnh lớn nhất là bao nhiêu?
M. D. Kovalev

F908. Máy bay bay theo một đường thẳng về phía nhau với cùng tốc độ $v$. Phạm vi phát hiện tối đa là $l$. Một chiếc máy bay sau

33

phát hiện một chiếc khác, quay đầu mà không thay đổi giá trị tốc độ và bay song song với mặt phẳng thứ hai, tiếp tục bay với tốc độ $\vec{v}$. Các máy bay sẽ mất dấu nhau sau khi rẽ nếu gia tốc trong khi rẽ là $a$? Sau bao lâu kể từ khi phát hiện thì việc rẽ phải bắt đầu sao cho khi kết thúc lượt rẽ, khoảng cách giữa các máy bay là nhỏ nhất?

I. I. Vorobiev

F909. Có hai quả bóng đặt trên một cầu trượt không trọng lượng được tạo thành bởi hai mặt phẳng nhẵn, mỗi quả bóng tạo một góc $\alpha$ với mặt phẳng nằm ngang (Hình 1). Bàn trượt có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang. Quả bóng phía trên có khối lượng $m_1$, chuyển động ra xa. Trong những điều kiện nào thì quả bóng phía dưới có khối lượng $m_2$ bắt đầu “leo” lên đồi?

A. I. Buzdin

F910. Một miếng cao su căng đều có khối lượng $m$ được đặt trên một hình trụ có bán kính $R$. Chiều dài của vòng ở trạng thái không giãn là $lR$, độ cứng của dây thun là $k$. Hình trụ bắt đầu quay với gia tốc góc không đổi $\beta$. Sau bao lâu thì vòng bắt đầu trượt so với hình trụ, nếu hệ số ma sát giữa vòng và hình trụ là $\mu$? Vận tốc góc của vòng sẽ là bao nhiêu?

A. A. Lapides

F911. Hình 2 cho thấy biểu đồ về sự thay đổi áp suất của khí bột trong nòng súng khi viên đạn di chuyển vào nòng súng. Xác định tốc độ mài mòn của thuốc súng (kg/s) ở áp suất $p_{\text{max}}$, nếu tốc độ của viên đạn lúc này là $v$. Diện tích mặt cắt ngang của bếp là $s$. Nhiệt độ của khí bột được coi là không đổi. Người ta biết rằng khí bột, tạo thành khối thuốc súng $M$ trong quá trình cạo, tạo ra áp suất $p_0$ trong thể tích $V_0$.

L. G. Markovich

F912. Dòng điện một chiều được tạo ra trong cuộn dây siêu dẫn bằng cách kết nối nó với nguồn dòng điện thông qua công tắc $K_1$ (Hình 3). Sau đó, một cục pin gồm hai tụ điện giống hệt nhau mắc song song được nối vào hai đầu của cuộn dây. Phím $K_1$ được mở, sau đó dòng điện bắt đầu chạy qua các tụ điện, sạc chúng. Tại thời điểm điện áp trên các tụ đạt cực đại và dòng điện bằng 0, công tắc kép $K_2$ được chuyển từ vị trí 1 sang vị trí 2, sao cho các tụ điện mắc nối tiếp và điện áp trên cuộn dây tăng gấp đôi. Vì chỉ số của cuộn dây không thay đổi nhưng điện áp tăng lên nên dòng điện cực đại qua cuộn dây và do đó năng lượng dự trữ sẽ lớn hơn dòng điện bằng nhau đầu tiên. Tìm lỗi sai trong lập luận trên.

D. V. Pavlov