Đến nội dung

Tại sao sức đề kháng không giảm?

Ляшко О. В.

Kvant 1985, số 1 tr. 10, 11, 13, 14, 15 Thẻ 55GE

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

10

Tại sao sức đề kháng không giảm?

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
O. V. LYASHKO

Mặc dù bài viết này chỉ giải bài toán vật lý thuần túy nhưng trước mắt bạn là một bài toán. Để hiểu nó, không cần có kiến thức vật lý về máy chủ; Bài viết không đặt mục tiêu mô tả chi tiết các hiện tượng vật lý sâu sắc đến mức nào. Như thường thấy trong các ứng dụng của khoa học toán học, ở đây một mô hình toán học của tình huống đang được xem xét được xây dựng và một công cụ toán học được phát triển, việc sử dụng nó mang lại một lời giải đơn giản cho bài toán ban đầu và cũng cho phép chúng ta trả lời nhiều câu hỏi khác, không chỉ trong vật lý - mà còn trong kinh tế và hình học.

Hãy xem xét một mục tiêu điện bao gồm các điện trở và thay đổi tổng điện trở $R$ của mạch giữa hai điểm $A$ và $B$ của nó. Bây giờ chúng ta giả sử rằng một trong các điện trở đã cháy hết và điện trở của nó tăng lên *). Chúng ta hãy thay đổi điện trở $R$ một lần nữa giữa $A$ và $B$ . Bạn có nghĩ rằng khi đó điện trở $R$ 1) có thể đã tăng lên không? 2) không thay đổi? 3) nó có giảm không?

Rõ ràng là sức đề kháng có thể tăng lên. Ví dụ: nếu mục tiêu bao gồm một hoặc nhiều điện trở mắc nối tiếp thì tổng điện trở của mạch bằng tổng các điện trở có trong mạch; do đó, nếu một trong các số hạng tăng lên thì tổng cũng sẽ được trả về (Hình 1).
Sau khi suy nghĩ một chút, bạn có thể nghĩ ra một ví dụ trong đó tổng điện trở không thay đổi. Hai mạch điện cũng được hiển thị trong Hình 2. Trong cả hai mạch, việc tăng điện trở $R_0$ không làm thay đổi tổng điện trở (hãy nghĩ xem tại sao).
Nhưng những nỗ lực đưa ra một ví dụ khi sức đề kháng tổng thể giảm đi không dẫn đến thành công. Vậy có thể được không?

“Tất nhiên là không,” một người đọc tỉnh táo sẽ trả lời đúng (trong mọi trường hợp, đó là cách tất cả các dấu hiệu của tôi trả lời). Nhưng khi được hỏi tại sao điều này không thể xảy ra, tôi chắc chắn không nghe thấy đáp số từ họ. Điều này không có gì đáng ngạc nhiên. Đáp số cho câu hỏi này, tức là một bằng chứng toán học nghiêm ngặt rằng khi một trong các điện trở của bất kỳ mạch điện trở nào tăng thì tổng điện trở của nó sẽ giảm

11

Nó không thể khâu được, nó không đơn giản chút nào. Nó dựa trên một nguyên tắc sâu sắc, có thể gọi là nguyên tắc hành động tối thiểu).

Bản chất của nó là thế này: nhiều quá trình vật lý xảy ra theo cách mà một số đại lượng đạt giá trị tối thiểu. Vì vậy, ví dụ, một màng xà phòng trải dài trên một mạch dây trong không gian sẽ chọn từ tất cả các định dạng có thể có một định dạng có diện tích tối thiểu. Một tia sáng trong môi trường có chiết suất thay đổi sẽ chọn trong số tất cả các quỹ đạo có thể có một quỹ đạo mà tại đó thời gian truyền đi của nó là nhỏ nhất (“Nguyên lý Fermat”). Một giọt nước thích hợp chảy xuống từ một ngọn núi lồi sẽ chọn đường đi giữa các cấp độ nhất định có chiều dài ngắn nhất, v.v.

Do đó, để giải bài toán tương ứng (tìm hình dạng của phim, hoặc quỹ đạo của tia hoặc đường đi của giọt nước), bạn cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm tương ứng (diện tích, thời gian hoặc độ dài). Tất nhiên, đây là lúc cần đến toán học: một công thức toán học dựa trên nguyên tắc các kỹ thuật toán học tối thiểu để sử dụng nó.

Tôi nghĩ người đọc sẽ không quan tâm nhiều đến việc xác lập sự thật mà đến những kỹ thuật và nguyên tắc này. Tuy nhiên, một độc giả tò mò có lẽ sẽ tự hỏi mình câu hỏi sau: làm thế nào người ta có thể đưa ra một “bằng chứng toán học chính xác” về một sự kiện (trong trường hợp này là một sự kiện vật lý) không liên quan gì đến toán học?

Cơm. 3.

mặc? Chúng ta hãy thử nhìn về phía trước để phác thảo đáp số đầu tiên cho câu hỏi này.

Khi một nhà toán học xử lý lời giải áp dụng bài toán, anh ta thường bắt đầu bằng việc xây dựng một mô hình toán học về nó. Để làm được điều này, anh ta phải nêu bật những khái niệm cơ bản cần thiết để mô tả bài toán và loại bỏ những khía cạnh của hiện tượng không cần thiết cho lời giải của nó. Kết quả là, một mô tả trừu tượng bài toán sẽ xuất hiện, trong đó nó được hiện thực hóa và thay thế bằng các trừu tượng toán học (điểm, đường, số, hàm) và các định luật chi phối những hiện tượng này được thể hiện dưới dạng phương trình. Như vậy, mạch điện của chúng ta sẽ biến thành một “đồ thị căng”, điện trở sẽ trở thành những con số, định luật Ohm và các quy tắc Kirchhoff sẽ được viết dưới dạng một “hệ phương trình cơ bản”. Chúng ta sẽ quên rằng lớp cách điện của dây dẫn được làm bằng nhựa màu vàng, dây dẫn và điện trở được làm bằng một loại kim loại nào đó, dòng điện là “các electron chạy”: tất cả những điều này sẽ trở nên không đáng kể đối với chúng ta. Nhưng có lẽ tôi đã đi quá xa. Điều đầu tiên trước tiên.

Một đồ thị căng thẳng (hoặc mạch điện)

Chúng ta hãy liên kết với mỗi mạch điện một đồ thị căng, nghĩa là một tập hợp hữu hạn các điểm trên một mặt phẳng hoặc không gian (chúng được gọi là các đỉnh) và một số tập hợp các điểm nối với nhau (các cạnh của đồ thị), trên đó các số được viết (các cạnh bị căng). Ví dụ, các mạch điện ở Hình 2 được liên kết với các đồ thị ở Hình 3; một ví dụ phức tạp hơn về đồ thị được hiển thị trong Hình 4.

Ta đánh số các đỉnh từ 1 đến n; đỉnh có số i sẽ được ký hiệu là ⟨i⟩. Chúng tôi sẽ xem xét

13

đến đỉnh thứ nhất $\langle 1 \rangle$ , $\varphi_1 - \varphi_n$ là hiệu điện thế ở đầu vào và đầu ra, do đó, theo định luật Ohm, $R$ là tổng điện trở của mạch.

Sự tồn tại của điện thế hài (hoặc tính toán mạch điện trở)

Phép tính toán học bài toán của mạch điện trở được cấp điện như sau. Cho một biểu đồ Г có tải $R_{ij}$ và các giá trị tiềm năng được chọn $\varphi_1, \varphi_n$ ở đầu vào và đầu ra; cần phải tìm một điện thế hài với các giá trị đã cho này ở đầu vào và đầu ra, tức là giải hệ cơ bản (1) đối với các ẩn số $\varphi_2, \varphi_3, \dots, \varphi_{n-1}$ với $\varphi_1, \varphi_n$ đã cho.

Qua thực tế, các nhà vật lý biết rằng quy tắc đầu tiên của Kirchhoff (tức là hệ (1)) là đủ để tính bất kỳ mạch điện trở nào. Tất nhiên, đối với các nhà toán học, điều này là chưa đủ - họ cần một định lý tổng quát tương ứng. Và nó đây:

Định lý 1. Đối với mọi đồ thị Г có tải dương $R_{ij}$ và mọi giá trị của điện thế $\varphi_1, \varphi_n$ ở đầu vào và đầu ra đều có điện thế hài $\varphi$ .

Tôi không đưa ra cách chứng minh trực tiếp định lý bằng hai kỹ thuật. Những câu hỏi, chúng ta sẽ không cần nó trong tương lai. Thứ hai, để chứng minh chặt chẽ, cần có một số khái niệm về “đại số tuyến tính”, một môn học không được học ở trường trung học thông thường. Ý tưởng của chứng minh là hệ chính chỉ có $n-2$ ẩn số $\varphi_2, \varphi_3, \dots, \varphi_{n-1}$ và cùng số phương trình (tuyến tính), hơn nữa, các phương trình này độc lập nên chỉ có lời giải.

Trận chiến

Tìm một cách chứng minh khác cho Định lý 1 dựa trên định lý chính (xem trang 14).
Kiểm tra xem trong trường hợp đồ thị $2,a$ và $2,6$ dòng điện thực lẻ dọc theo các cạnh có điện trở $R_0$ (nghĩa là hiệu điện thế ở hai đầu của các cạnh này bằng 0).
Chứng minh trong trường hợp tổng quát rằng tại $\varphi_1 = \varphi_n$ dòng điện tổng (xem công thức 2)) bằng không.
Soạn hệ phương trình cơ bản cho đồ thị trong Hình 4 và ước tính bằng tay khoảng thời gian cần thiết để thực hiện lời giải. Nếu bạn có lập trình, hãy nghĩ cách kết nối máy tính của bạn với bài toán này.
Nhân đôi một trong các điện trở trên biểu đồ $2,a$ và đếm tổng điện trở của nó được thông báo là bao nhiêu.
Chứng minh rằng phương trình (1), (2) và định luật Ohm bao hàm (2).

Đối với bất kỳ đồ thị tải (mạch điện) Г nào có đỉnh $\langle 1 \rangle, \langle 2 \rangle, \dots, \langle n \rangle$ và tải dương (điện trở) $R_{ij}$ trên các cạnh, chúng ta biết rằng chúng ta có thể tính được điện thế hài $\varphi$ của đồ thị này, tức là đối với các giá trị tùy ý của điện thế $\varphi_1, \varphi_n$ ở đầu vào và đầu ra, hãy tìm các giá trị còn lại của điện thế $\varphi_2, \varphi_3, \dots, \varphi_{n-1}$ bằng cách giải hệ phương trình (1). Tiếp theo, thay các giá trị tiềm năng thu được theo (2), chúng ta có thể tìm được tổng điện trở của mạch $R$ . Để làm cho mạch cụ thể hơn, luôn có thể cho biết liệu điện trở tổng thể có giảm khi một trong các $R_{ij}$ s được thông báo hay không. Nhưng điều này là chưa đủ đối với chúng tôi - chúng tôi muốn chứng minh một thực tế chung, để chứng minh rằng khi đặt một điện trở vào, tổng điện trở không giảm theo bất kỳ cách nào, bất kể sự lựa chọn cụ thể của mạch điện.

Thật không may, không thể chứng minh điều này bằng phương trình (1) và công thức (2) (!). Như họ nói, bạn cần một ý tưởng!

Hàm vuông (hoặc mạch nhiệt điện)

Ý tưởng này được gợi ý cho chúng ta không phải bằng trực giác toán học, mà bởi một trong những nguyên tắc tối thiểu đã thảo luận ở đầu bài viết: hướng trong mạch điện trở được phân bố theo những nguyên tắc đó. Hóa ra anh ta quá “lười biếng”: trong tất cả các lựa chọn hành vi có thể có, anh ta chọn phương án mà mức tiêu thụ năng lượng của anh ta (công suất giải phóng trên dây dẫn của mạch điện) là tối thiểu. Giả sử rằng khi đi qua một dây dẫn có điện trở $R_{ij}$

14

chẳng hạn $I_{ij}$ , tương ứng với hiệu điện thế $U_{ij} = \varphi_i - \varphi_j$ , nhiệt năng (nghĩa là lượng nhiệt trên một đơn vị thời gian) bằng $q_{ij} = R_{ij} I_{ij}^2 = U_{ij} I_{ij} = U_{ij}^2 / R_{ij}$ được phân bổ để dẫn $\langle i, j \rangle$ và trên toàn bộ mạch - công suất $Q = \Sigma q_{ij}$ , trong đó tổng được lấy trên tất cả các cạnh $\langle i, j \rangle$ của biểu đồ của chúng tôi. Tổng công suất $Q$ phụ thuộc vào giá trị của điện thế $\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n$ ; Do đó, chúng ta sẽ viết tổng công suất là $Q[\varphi]$ .

Vì vậy, chúng tôi đã giới thiệu xem xét các chức năng

$Q[\varphi] = \Sigma q_{ij}, \quad \text{где } q_{ij} = \frac{(\varphi_i - \varphi_j)^2}{R_{ij}},$

mà chúng ta sẽ gọi là hình vuông. (Tổng trong biểu thức (3) được lấy trên tất cả các cạnh $\langle i, j \rangle$ của đồ thị của chúng tôi.)

Chúng tôi nhấn mạnh rằng từ quan điểm toán học, chúng tôi chỉ cần xác định một số hàm $Q$ trên tập hợp tất cả các thế năng $\varphi$ của đồ thị $\Gamma$ và (dựa trên các cân nhắc vật lý) chúng tôi quan tâm đến mức tối thiểu của nó.

Bản thân hàm bình phương $Q$ không phụ thuộc vào một biến số mà phụ thuộc vào một hàm khác - thế năng $\varphi$ . Các nhà toán học gọi những “hàm của hàm” như vậy là hàm chức năng. Việc tìm kiếm cực trị của chúng là một trong những phép tính bài toán vartzation quan trọng, một nhánh thay thế của toán học bắt nguồn từ các tác phẩm của J. Bernoulli, Euler và Lagrange.

Bài tập 7. Viết hàm bình phương $Q$ cho đồ thị trong Hình 4. Xem xét liệu bạn có phương pháp tìm giá trị cực tiểu của nó hay không.

Gợi ý. Hàm $Q$ phụ thuộc vào $\varphi_2, \varphi_3, \dots, \varphi_{11} (= \varphi_{n-1})$ , tức là vào một số biến. Ở trường người ta chỉ học phương pháp tìm cực trị của hàm một biến nên việc tìm cực tiểu $Q$ vẫn chưa có sẵn cho bạn bài toán.

Nguyên tắc tối thiểu (hoặc nguyên tắc hành động tối thiểu)

Mục tiêu trước mắt của chúng ta là tìm mức tối thiểu của hàm bậc hai $Q$ . Nhưng liệu cô ấy có mức tối thiểu không? Hãy bắt đầu với đáp số cho câu hỏi này. Tất nhiên, độc giả của chúng tôi đoán rằng đáp số là tích cực (đây cũng là những “đánh giá thể chất”). Những ai sẵn sàng chấp nhận phát biểu này một cách tin tưởng có thể bỏ qua việc chứng minh định lý sau đây.

Định lý 2. Đối với hàm $Q$ có một tập giá trị của các biến $\varphi_2, \dots, \varphi_{n-1}$ tại đó nó đạt giá trị nhỏ nhất.

Bằng chứng. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng $\varphi_1 \geqslant \varphi_n$ . Ta biểu thị bằng $M$ tập giá trị của các biến $\varphi_2, \dots, \varphi_{n-1}$ thỏa mãn điều kiện $\varphi_1 \geqslant \varphi_i \geqslant \varphi_n$ với mọi $i$ . Hãy xem xét một số tập hợp giá trị ( $\varphi_2', \dots, \varphi_{n-1}$ ) $M$ và xây dựng một tập hợp giá trị mới ( $\varphi_2'', \dots, \varphi_{n-1}$ ) $M$ từ đó, thay thế tất cả các giá trị lớn hơn $\varphi_1$ bằng $\varphi_1$ và tất cả các giá trị nhỏ hơn $\varphi_n$ bằng $\varphi_n$ . Trong trường hợp này, dễ dàng nhận thấy, giá trị của hàm $Q$ sẽ giảm:

$Q(\varphi_2', \dots, \varphi_{n-1}) \leqslant Q(\varphi_2', \dots, \varphi_n).$

Như vậy, giá trị nhỏ nhất là $Q$ trên tập giá trị $Q$ trên toàn bộ tập hợp thế năng. Đây là sự thống nhất về định lý Weierstrass từ phân tích, trong đó phát biểu rằng hàm liên tục ( $Q$ ) trên một tập giới hạn đóng ( $M$ ) đạt đến giá trị tối thiểu của nó. (Định lý này không được dạy ở trường: một lời giải thích chính xác về tính liên tục, tính đóng và giới hạn dễ hiểu được sử dụng trong đó, sự hoàn thiện của chúng ta còn quá xa nên chúng ta sẽ không đề cập đến nó ở đây.)

Chứng minh—điển hình của một “định lý tồn tại” toán học—không cho chúng ta cách tìm ra sự tương tác tối thiểu cũng như không cách nào mô tả nó theo bất kỳ cách nào. Tuy nhiên, sau đây có một định lý biểu thị nguyên lý tối thiểu cho tình huống của chúng ta, đặc trưng cho mức tối thiểu độc quyền.

Định lý chính. Điện thế tại đó đạt được giá trị tối thiểu của hàm $Q$ là điều hòa.

Bằng chứng. Gọi $\varphi^0$ là thế năng tại đó đạt được giá trị tối thiểu. Chúng ta cần chứng minh rằng các số $\varphi_1^0, \varphi_2^0, \varphi_3^0, \dots, \varphi_{n-1}^0, \varphi_n^0$ , trong đó $\varphi_1^0 = \varphi_1, \varphi_n^0 = \varphi_n$ , là nghiệm của hệ phương trình (1). Hãy sửa tất cả các biến ngoại trừ một biến - $\varphi_j$ . Sau đó, chức năng

$Q(\varphi_2^0, \dots, \varphi_{j-1}^0, \varphi_j, \varphi_j^0+1, \varphi_j^0-1)$

của một biến $\varphi_j$ cũng đạt mức tối thiểu tại $\varphi_j = \varphi_j^0$ .

Hàm này là một hình vuông gấp ba lần trong $\varphi_j$ : $Q = a\varphi_j^2 + b\varphi_j + c$ và các hệ số $a$ và $b$ nằm ở trên, mở ngoặc trong biểu thức (3):

$a = \sum \frac{1}{R_{ij}}, \quad b = -2\sum \frac{\varphi_i^0}{R_{ij}}$

(ở đây tổng được lấy trên tất cả $i$ mà $\langle i \rangle \in S_j$ ).

Vì mức tối thiểu của hàm $a\varphi_j^2 + b\varphi_j + c$ ( $a > 0$ ) đạt được tại điểm $\varphi_j^0$ , thỏa mãn phương trình $a\varphi_j^0 + b/2 = 0$ , nên chúng ta thu được, bằng cách thay thế vào đó các biểu thức cho các hệ số $a$ và $b$ ,

15

Σφ₁ᵢ/Rᵢᵢ — Σφ₁ᵢ/Rᵢᵢ = Σ(φ₁ᵢ−φ₁ᵢ)/Rᵢᵢ = 0.
Như vậy, φ₁ᵢ, φ₂ᵢ, …, φₙᵢ−1, φₙᵢ là lời giải của hệ (1), điều này bắt buộc phải được chứng minh.

Và cuối cùng, câu hỏi cuối cùng chúng ta sẽ trả lời: giá trị nhỏ nhất của hàm Q là gì. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - chức năng quan trọng đáng kinh ngạc Q. Làm thế nào để làm gì? - Lỗi điện trở mạch điện.

Bằng chứng. Đặt φ₂, …, φₙ−1 là một tập hợp các số mà hàm Q có thể truy cập được cực tiểu. Khi đó, theo định lý chính, đây là các hệ phương trình lời giải (1). Do đó, chúng ta cần chứng minh rằng (φ₁−φₙ)²/R = (φ₁−φₙ)I bằng biểu thức

Σ(φ₁−φₙ)Iᵢᵢ (tổng trên tất cả các cạnh〈ij〉), trong đó cường độ của dòng điện I và Iᵢᵢ tuân theo quy tắc đầu tiên của Kirchhoff (1), (2). Hãy mở dấu ngoặc ở (1) và tính hệ số cho φ₁. Giá trị tiềm năng φ₁ được nhân với giá trị của tất cả các dòng điện Iᵢᵢ đi dọc theo các cạnh〈i, j〉 phát ra từ đỉnh〈i〉 (nếu số j nhỏ hơn số i thì φ₁ được nhân với −Iᵢᵢ=Iᵢᵢ). Do đó, hệ số của φ₁ bằng

ΣIᵢᵢ (tổng kết〈j〉 ∈ Sᵢᵢ)
và do đó, bằng 0 với mọi i≠1, n, từ (1). Các hệ số của φ₁ và φₙ bằng sự tương ứng của I và −I từ (2) và (2′), do đó, chúng ta tính tổng trên tất cả các cạnh,

Σ(φ₁−φₙ)Iᵢᵢ = φ₁·I + φₙ(-I) = (φ₁−φₙ)I.

Lời giải nguyên bản bài toán

Hãy để chúng tôi thông báo một (hoặc không xoắn) về điện trở cạnh: Rᵢᵢ′ ≥ Rᵢᵢ. Khi đó, đối với hàm Q = Σ(φ₁−φₙ)²/Rᵢᵢ′ và Q′ = Σ(φ₁−φₙ)²/Rᵢᵢ′ (tổng trên tất cả các cạnh〈ij〉 của đồ thị của chúng ta), bất đẳng thức sau là đúng: Q′[φ] ≤ Q[φ] với mọi điện thế φ, với dữ liệu φ₁ và φ₂ ở đầu vào và đầu ra. Rõ ràng, bất đẳng thức này cũng đúng với các giá trị cực tiểu của chúng:

min Q′ = (φ₁−φₙ)²/R′ ≤ min Q = (φ₁−φₙ)²/R′,
nghĩa là R′ ≤ R′, đây là điều cần chứng minh.

Công dụng khác
mô hình toán học của chúng tôi

Trò chơi có đáng nến không? - người đọc có thể hỏi. Có cần thiết phải phát triển một công thức toán học như vậy vì lợi ích của bài toán, vốn đã rất thú vị về mặt vật lý không?

Các mô hình toán học được tạo ra không chỉ để giúp các nhà toán học làm việc thuận tiện hơn. Loại bỏ thông số kỹ thuật cụ thể của bài toán được áp dụng, người ta thường nghĩ đến các mô hình hóa ra có thể áp dụng cho các nhiệm vụ hoàn toàn khác nhau, từ các lĩnh vực hoạt động hoàn toàn khác nhau của con người. Việc nghiên cứu các mô hình như vậy cho phép, nói một cách hình tượng, có thể giết chết nhiều con chim chỉ bằng một hòn đá.

Ở đây chúng tôi sẽ giới hạn việc liệt kê một số tình huống trong đó bộ máy biểu đồ được tải của chúng tôi (hoặc các sửa đổi của nó) hoạt động thành công.

Một mạng dây cao su trên một đường thẳng. Trong một hệ gồm n điểm trên một đường thẳng, các cặp được nối với nhau bằng dây đàn hồi có độ cứng đã biết; các điểm cuối bị kéo căng (các lực đã biết tác dụng lên chúng); cần xác định vị trí cân bằng của điểm.
Quy tắc thứ hai của Kirchhoff và công thức Euler. Quy tắc này (xem trang 27 trong số này) cũng thuận tiện khi sử dụng khi tính toán mạch điện. Hóa ra lý thuyết toán học tương ứng có liên quan đến công thức Euler B−P+Γ=1, trong đó B, P, Γ là số đỉnh, cạnh và diện tích được giới hạn bởi một đồ thị phẳng.
Dòng chảy vận chuyển. Biểu đồ Plok có thể mô tả mạng lưới đường bộ (hàng không, đường sắt) giữa các thành phố, tải trọng - các khía cạnh nhất định của giao thông giữa các thành phố lân cận; cần phải tìm sự phân bổ chi phí tối thiểu của việc vận chuyển dòng chảy. Điều thú vị là trong thực tế, bài toán kinh tế như vậy được giải quyết bằng cách mô hình hóa mạng lưới vận chuyển bằng mạng điện: người vận hành nhập dữ liệu về số lượng hàng hóa được vận chuyển và chi phí vận chuyển, đặt mình dưới điện áp và đọc đáp số với ampe tương ứng!
Những đường thẳng hoàn hảo. Đây là tên của các đường thẳng có thể chia thành một số hữu hạn các ô vuông có kích thước khác nhau. Thật kỳ lạ, tất cả các đường thẳng hoàn hảo đều được tìm thấy bằng cách xây dựng và tính toán một số đồ thị đã được tải!

Danh sách này có thể được tiếp tục, nhưng «Kvant» hy vọng sẽ sớm quay lại những câu hỏi này.