Bài toán M901—M905; F913—F917

42

Bài toán

M901—M905; F913—F917

M901. Bisquetrix AK và BM của tam giác ABC cắt nhau tại điểm O. Chứng minh rằng nếu OK=OM thì góc A và B của tam giác bằng nhau hoặc góc C bằng 60°.

M902. Dãy số tự nhiên 1, 2, 3,… được chia thành nhiều cấp số cộng. Chứng minh rằng ít nhất một trong các cấp số này có số hạng thứ nhất chia hết cho hiệu của nó.

A. B. Kelarev

M903. Có một khối đa diện lồi hay phần của nó theo mặt phẳng không đi qua đỉnh là một đa giác có a) số chẵn, b) số cạnh lẻ?

A. A. Dorogovtsev

M904. Với mọi số tự nhiên
$$A=10^n a_n+10^{n-1} a_{n-1}+\dots+10 a_1+a_0$$
(với ký hiệu thập phân $a_n a_{n-1}...a_1 a_0$) đặt $D(A)=a_n+2 a_{n-1}+2^2 a_{n-2}+\dots+2^{n-1} a_1+2^n a_0$.
Ví dụ: $D(1985)=1+2 \cdot 9+2^2 \cdot 8+2^3 \cdot 5=91$, $D(91)=9+2 \cdot 1=11$, $D(11)=3$.
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $A=A_0$ trong dãy $A_1=D(A_0)$, $A_2=D(A_1)$,… luôn tồn tại số $A^*=A_k<20$ thỏa mãn $D(A^*)=A^*$.
b) * $A^*$ bằng $A=19^{85}$ là bao nhiêu?

E. I. Gurvits, A. L. Fedorov

M905. Chứng minh rằng phương trình $4x^n+(x+1)^2=y^2$ cho các số tự nhiên x và y a) không có lời giải cho n=1, 6) có ít nhất hai lời giải cho n=2, c)* có vô số lời giải cho n=2, d)* không có lời giải cho n=3 tự nhiên.

M. Garayev (học sinh lớp 10)

F913. Một cục đất sét pho mát được ném từ bề mặt nằm ngang của trái đất theo một góc α=60° so với đường chân trời với tốc độ $v_1=12$ m/s. Nó tạm thời bị ném vào một khối có khối lượng gấp đôi

43

về phía khối đầu tiên một góc β=30° so với đường chân trời, và vận tốc ban đầu của các khối hóa ra nằm trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng. Hậu quả của vụ va chạm là các khối dính chặt vào nhau. Tìm vận tốc (modulo) của một cục dính rơi xuống đất.

V. I. Chivilev

F914. Một bình kín có thể tích V = 33,6 dm³ chứa nitơ và = 1 mol nước. Ở nhiệt độ t=100 °C, áp suất trong bình là p=2·10⁵ Pa. Xác định lượng nitơ có trong bình.

S. M. Korshunov

F815. Một chất lỏng có điện dung ε chảy giữa các bản của một tụ điện song song cách điện với tốc độ v. Một từ trường có cảm ứng B có hướng vuông góc với tốc độ $\vec{v}$ và song song với các bản. Xác định điện áp trên các bản tụ điện. Khoảng cách giữa các tấm a.

A. I. Kirkinsky

F916. Trong mạch như hình 1 (D là một diode lý tưởng), công tắc K đóng trong một thời gian τ rồi mở ra. Tại thời điểm mở, dòng điện trong cuộn cảm bằng I₀. Sau khi mở công tắc bao lâu thì dòng điện Iₙ trong cuộn dây đạt giá trị cực đại nếu nó bằng 2I₀? Xây dựng đồ thị Iₙ theo thời gian t (0<t<∞).

A. I. Kirkinsky, E. A. Romishchevsky

F917. Vật nằm giữa thấu kính và gương phẳng, vuông góc với trục quang chính của thấu kính. Gương, thấu kính và vật thể được đặt trong một vỏ làm bằng nhựa mờ mờ (Hình 2). Một hệ thống như vậy tạo ra hai ảnh của một vật và một ảnh của thấu kính. Hai ảnh của một vật có cùng kích thước, bất kể khoảng cách giữa thấu kính và vật. Ống kính xuất hiện với thông báo gì?

E. P. Kuznetsov

Problems

M901—M905; P913—P917

M901. The bisectors AK and BM of triangle ABC intersect at the point O. Prove that OK=OM implies that either angles A and B of the triangle are congruent, or that the angle C is 60°.

M902. The natural numbers 1, 2, 3,… are partitioned into several arithmetical progressions. Prove that at least one of them has an initial term divisible by the progression’s difference.

A. V. Kelarev

M903. Does there exist a convex polyhedron every section of which by a plane not containing any