Trường học yêu thích bài toán

34

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

1. Có bao nhiêu số 0 trong một số bằng tích của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 1984?
2. Chứng minh rằng với mọi số $a, b, c$ bất đẳng thức sau đúng:
   $$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca.$$
3. Một số sinh vật đơn giản sinh sản bằng cách phân chia thành hai sinh vật, xảy ra sau một phút. Một mẫu vật của sinh vật mới xuất hiện được đặt vào một ống nghiệm rỗng và quá trình đếm ngược bắt đầu; Sau 1 giờ, ống nghiệm chứa đầy tổ chức. Vào thời điểm nào một nửa số container chứa đầy các tổ chức?
4. Một đường thẳng và hai điểm $A, B$ nằm trên mặt phẳng, nằm về một phía của đường thẳng này. Chỉ vào một đường thẳng một điểm $M$ sao cho tổng các khoảng cách $AM + MB$ là nhỏ nhất trong tất cả các khoảng cách có thể có.
5. Qua giao điểm của các đường chéo của hình thang, vẽ một đường thẳng song song với đáy hình thang. Tính độ dài đoạn thẳng này nằm giữa các cạnh bên của hình thang nếu hai đáy của hình thang có độ dài $a$ và $b$.

lớp chín
6. Chứng minh rằng số $\log_4 18$ là số hữu tỉ.

7. Vẽ đồ thị của hàm $y = \text{tg} x \cdot \text{ctg} x$.
8. Giải phương trình sin $x + \sin 2x + \dots + \sin nx = n$, trong đó $n \in N, n > 1$.
9. Hai góc nhọn nằm trong không gian sao cho các cạnh của chúng vuông góc với nhau có nhất thiết phải bằng nhau không?
10. Có bao nhiêu đường xiên có thể tồn tại trong không gian, trong đó có hai đường thẳng vuông góc với nhau?

lớp mười
11. Có thể tìm được 1984 số tự nhiên liên tiếp sao cho không có một số nguyên tố nào trong số đó không?
12. Tính sự khác biệt $2^{\log_3 5} - 5^{\log_3 2}$.
13. Giải bất đẳng thức $\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x} > 1$.
14. Bốn điểm tùy ý $A, B, C, D$ nằm trong không gian được kết nối với nhau bằng các đoạn $AB, BC, CD, DA$; điểm giữa của các đoạn này được biểu thị bằng $M, N, P, Q$ tương ứng. Bạn sẽ nhận được hình gì nếu vẽ các đoạn $MN, NP, PQ, QM$?
15. Bóng của hình lập phương có hình dạng như thế nào trên mặt phẳng vuông góc với đường chéo của nó trước một chùm tia sáng song song với đường chéo này?

Đã chuẩn bị xuất bản
N. Kh. Rozov