Viện năng lượng Moscow

53

4. Một thanh đồng nhất $AB$ nằm trên sàn gồ ghề và được giữ cho không rơi nhờ một sợi dây nằm ngang $BC$ (hình 5) gắn vào bức tường thẳng đứng. Hệ số ma sát giữa thanh và sàn là $\mu=0,5$. Hỏi thanh nghiêng một góc bao nhiêu so với phương ngang thì thanh ở trạng thái cân bằng?

5. Một xi lanh đóng kín bằng pít-tông chứa $m=0,2$ kg khí cacbonic. Xác định công thực hiện khi khí được nung nóng đẳng áp thêm $\Delta T=88$ K.

6. Xác định áp suất của hơi nước bão hòa ở nhiệt độ $t=17$ °C nếu có $m=0,476$ kg hơi nước trong phòng có thể tích $V=50$ m³ ở độ ẩm tương đối $\varphi=65\%$ và nhiệt độ được chỉ định.

7. Trong mạch đẳng áp ở hình 6, công tắc $K_1$ đóng và tụ điện được tích điện. Sau đó phím $K_1$ mở ra và phím $K_2$ đóng lại. Tìm suất điện động của pin nếu hướng của tụ điện đầu tiên bên trái sau khi đóng công tắc $K_2$ trở thành $U=0,5$ V. Điện dung của tất cả các tụ điện là như nhau.

8. Ma trận toán học là một quả bóng có khối lượng $m=1$ g, được treo trên các sợi dây có chiều dài $l=36$ cm. Chu kì của ma trận bình sẽ là bao nhiêu nếu sau khi cho quả bóng mang điện dương $q=6,7 \cdot 10^{-9}$ C, ma trận được đặt trong một điện trường đều theo hướng $E(E=3 \cdot 10^5$ V/m), các đường đơn của ma trận đó hướng thẳng đứng xuống dưới?

9. Một khung hình vuông có cạnh $a=50$ cm được đặt trong từ trường đều vuông góc với các đường sức từ. Xác định cảm ứng từ trường nếu biết khi từ trường biến mất trong khoảng $\tau=0,01$ s thì giá trị trung bình của emf cảm ứng phát sinh trong khung là $\delta=50$ mV.

10. Một chùm tia sáng song song rộng $b=20$ cm phát ra từ một tấm thủy tinh trong không khí xuyên qua mặt phẳng của tấm thủy tinh. Xác định độ rộng của chùm tia trong không khí nếu góc tới của chùm tia trên mặt phân cách thủy tinh-không khí là $a=30^\circ$ và chiết suất của ống khói là $n=1,8$.

Đã chuẩn bị xuất bản
V. I. Bashkirov, V. A. Karasev

Viện năng lượng Moscow

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Rút gọn biểu thức cho $f(x)$, tìm $f'(x)$ nếu $f(x) = \left[ \frac{(\sqrt{3}+x)(\sqrt{3}-\sqrt{3}x)^{-1}}{(\sqrt{3}-\sqrt{3}x)(\sqrt{3}x-1)} \right]^{-1} + \frac{\sin x-\cos x}{\cos x} - \left( \sin \frac{\pi}{6} \right)^{-1}$ thỏa mãn bất đẳng thức $\sqrt{(3\pi^2-\pi x-4x^2)^{-1}} \geq \log_\pi(1/e)$.

2. Đường chéo của hình bình hành vuông tạo một góc $a$ với mặt phẳng đáy và một góc $\beta$ với đường biên lớn hơn. Tìm thể tích của hình bình hành nếu diện tích đáy của nó là $S$.

Bài toán thi vấn đáp

1. Gọi $M$ là trực tâm của tam giác $ABC$ (tức là giao điểm của các đường cao của tam giác $ABC$). Chứng minh rằng điểm $M'$, đối xứng với điểm $M$ đối với một cạnh bất kỳ của tam giác $ABC$, nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác này.

2. Chứng minh rằng hàm số $y=\cos \sqrt{3}x$ không tuần hoàn.

3. Chứng minh rằng với mọi $a<4$ thì phương trình $\frac{\sin^2 x}{\sin^2 2x} + \frac{\sin^2 3x}{\sin^2 4x} + \frac{\sin^2 4x}{\sin^2 x} = a$ không có lời giải.

4. Chứng minh rằng với mọi $a \in ]0; \pi/2[$ bất đẳng thức sau đúng:

$$\text{ctg} \frac{a}{2} > 1 + \text{ctg} a.$$

5. Vẽ đồ thị hàm số

a) $y = \frac{x-1}{|x-1|}$; b) $y = 10^{\lg(-x)}$.

6. Tìm giá trị của hàm tùy ý

a) $f(x)=2^{|x|}$; b) $f(x)=\frac{x|x-2|}{2(x-2)}$ tại điểm $x=1$.

54

7. Tìm miền xác định của hàm $f(x) = \sqrt{\sin^{-4}x + \sin^4x + 2^{-x} - 3}$.

8. Chứng minh rằng $\lg 1 - \lg 2 + \lg 3 - \lg 4 + \lg 5 - \lg 6 + \ldots + \lg 99 - \lg 100 < -1$.

9. Đơn giản hóa biểu thức
   $$\left[ 2 + \lg \frac{x^2}{y^2} - 2 \lg (-x) + 2 \lg (-y) \right]^{\lg_2 3}.$$

10. Tính toán không có bảng
    $$\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ.$$

Từ năm 1982, một thí nghiệm đã được tiến hành tại Viện Năng lượng Mátxcơva để tiến hành bài kiểm tra vấn đáp môn toán bằng máy tính. Năm 1984, một kỳ thi như vậy được tổ chức tại một trong các khoa. Chúng tôi tiến hành một phiên bản của bài thi, bao gồm 20 ví dụ và bài toán. Người nộp đơn viết đáp số vào một mẫu đơn đặc biệt. Việc kiểm tra tính chính xác của đáp số được thực hiện bằng máy tính.

Tùy chọn 1

1. Có bao nhiêu chữ số trong số $2^{100}$, nếu chúng ta giả sử rằng $\lg 2=0,301$?
2. Tìm giá trị của hàm tùy ý $f(x)=2 \cdot \sin \left(x+\frac{1}{x}\right)$ cho $x=1$.
3. Tìm một số có 7,5% là $A$, trong đó
   $$A = \frac{\left(8 \frac{7}{55} - 6 \frac{17}{110}\right) \cdot 1 \frac{3}{217}}{\left(\frac{2}{5} - \frac{3}{20}\right) \cdot 1 \frac{7}{8}}.$$
4. Được biết, các số $x$, $\sin 2x$, $\sin 3x$ theo thứ tự này tạo thành một cấp số cộng. Tìm giá trị của $y = \lg 2x - 0,21$.
5. Trong một hình chữ nhật tứ giác đều, đường chéo của đáy bằng cạnh bên của nó. Tìm thể tích của hình chữ nhật nếu cạnh bên của nó là $\sqrt{3}$ cm.
6. Giải phương trình
   $$\frac{x}{2} - 2 = \frac{x^2}{2(\sqrt{x} + 1) + 1)^2}.$$
7. Tìm chu kỳ dương nhỏ nhất của hàm $f(x)=5 \sin (xx-1)$.
8. Số nào lớn hơn: số thứ nhất hay số thứ hai?

1. $(\log_2 5)^2$; 2) $\log_2 20$. đáp số cho biết số của số.

9. Tìm giá trị của $x$ từ tỷ lệ
   $$\frac{3^{1/3} \cdot x}{\left(\frac{1}{9}\right)^{-2}} = \frac{81^{-4} \cdot (\sqrt{3} \sqrt{9})^2}{\left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \sqrt[8]{81}}.$$
10. Giải phương trình
    $$\log_\pi \cos x = x^2.$$
11. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $f(x)=\sin \frac{x}{2} - 2 \sin \frac{x}{2} \cdot \sin^2 \frac{x}{4}$.
12. Trong một cấp số nhân, số hạng thứ ba là 16, số hạng thứ bảy là 1. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân này.
13. Với giá trị nào của $a$ thì phương trình $\sin x = \frac{1}{2} (a+2)$ thừa nhận lời giải $x = \frac{\pi}{6}$?
14. Trong phương trình $5x^2 + bx - 28 = 0$, tìm giá trị của hệ số $b$, nếu bạn biết rằng số $b$ là một số nguyên và các nghiệm của phương trình $x_1$ và $x_2$ có liên hệ với nhau bởi hệ thức $5x_1 + 2x_2 = 1$.
15. Tính toán không cần bảng $(\lg 10^{\sin 1})^2 + (\log_3 3^{\cos 1})^2$.
16. Một hình thang cân bằng có góc nhọn $30^\circ$ được vẽ xung quanh một hình tròn bán kính 2 cm. Tìm độ dài đường trung bình của hình thang.
17. Giải hệ phương trình
    $$\begin{cases} \lg(x) = 0, \\ x^2 - x \sqrt{3} = 0. \end{cases}$$
18. Tìm nghiệm lớn nhất của phương trình $\log_2(9^{x-1} + 7) = 2 + \log_2(3^{x-1} + 1)$.
19. Tính giá trị của $\sin^6 a + \cos^6 a$ nếu bạn biết rằng $\sin 2a = \frac{1}{5}$.
20. Có bao nhiêu giá trị nguyên $x$ thỏa mãn bất đẳng thức
    $$\left| \frac{3}{x+4} \right| > 1?$$

Vật lý
Ở một số khoa, bài kiểm tra vật lý được thực hiện dưới hình thức viết, ở những khoa khác - bằng miệng.

Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Cảm ứng điện từ. Thông lượng cảm ứng từ. Sức điện động cảm ứng. Quy tắc Lenz.
2. Điện tích +Q chuyển động trong điện trường của tụ điện phẳng dọc theo quỹ đạo $ABCDA$ (hình 1). Công mà trường thực hiện để làm di chuyển điện tích âm ở những khu vực nào? tích cực? bằng 0? Công thực hiện để di chuyển điện tích dọc theo toàn bộ quỹ đạo $ABCDA$ là bao nhiêu?
3. Một khẩu đại bác đứng trên bệ bắn về phía đường ray một góc $a=30^\circ$ so với đường chân trời. Khối lượng của đạn là $m=50$ kg, vận tốc ban đầu của đạn là $v_0=600$ m/s. Bệ sẽ đạt được tốc độ bao nhiêu khi bắn nếu khối lượng của nó với súng là $M=5 \cdot 10^4$ kg? Nền tảng không bị chậm lại.
4. Một tia sáng chiếu một góc $a$ lên một tấm phẳng song song có độ dày $d$. Tính giá trị trung bình của chùm tia khi nó đi qua tấm. Điểm đoán xếp chồng $n$.
5. Với các loại nước sốt giống hệt nhau, được nối với nhau bằng các ống dẫn điện mỏng, được đổ đầy ở nhiệt độ $T_1=10$ K một lượng khí helium nhất định. Sau đó, một trong các bình được đun nóng đến $T_2=40$ K, và bình thứ hai đến $T_3=100$ K. Nhiệt độ của nước sốt thứ ba không thay đổi. Áp suất trong hệ thay đổi bao nhiêu lần?
   Tùy chọn 2
6. Định luật Archimedes cho chất lỏng và chất khí. Lực nổi. Tình trạng cơ thể nổi.
7. Xây dựng đường đi của chùm tia 1 và 2 giả định bởi thấu kính phân kỳ; $F_1$ và $F_2$ là tiêu điểm của thấu kính (hình 2).
8. Hai quả bóng dẫn điện giống hệt nhau có điện tích $Q_1=5 \cdot 10^{-8}$ C và $Q_2=1 \cdot 10^{-8}$ C đặt cách nhau $l=4$ cm. Chúng được đưa vào tiếp xúc và đưa ra cùng một khoảng cách. Tìm lực tương tác trước và sau khi hai quả bóng chạm nhau. Hằng số điện $\varepsilon_0=8,85 \cdot 10^{-12}$ F/m.
9. Từ độ cao nào $H$ một vật có khối lượng $m$ rơi xuống một vật cứng không trọng lượng $k$, nếu