Bài toán M911—M915; F923—F927

25

Nhiệm vụ

M911—M915; F923—F927

M911. Trên các cạnh AB và CD của tứ giác lồi ABCD lần lượt chọn các điểm E và F tùy ý. Chứng minh rằng trung điểm của các đoạn thẳng AF, BF, CE, DE là các đỉnh của một tứ giác và diện tích của nó không phụ thuộc vào việc chọn các điểm E và F.

M912. Chứng minh rằng a) đa thức $x^2$, b) bất kỳ đa thức nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng hiệu của hai đa thức, mỗi đa thức là một hàm tăng đơn điệu.

B. P. Pikulin

M913. Các đường tròn tiếp tuyến của tam giác ABC vẽ tại các điểm A và B cắt nhau tại điểm P. Chứng minh rằng đường thẳng PC a) cắt cạnh AB tại điểm K và chia nó theo tỷ lệ $AC^2:BC^2$;
b) đối xứng với đường trung tuyến vẽ từ C so với đường phân giác góc C của tam giác.

S. Litovchenko, học sinh lớp 10.

M914. Trên đảo Seroburomalin có 13 con tắc kè hoa màu xám, 15 con màu nâu và 17 con tắc kè hoa màu đỏ thẫm. Nếu hai con tắc kè hoa có màu khác nhau gặp nhau, chúng đồng thời đổi màu thành màu thứ ba (cả màu xám và nâu đều trở thành màu đỏ thẫm, v.v.). Có thể tuân theo để sau một thời gian tất cả các con tắc kè hoa sẽ có cùng màu không?

V. G. Ilchev

M915*. Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d bất đẳng thức đều đúng

$$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a} + \frac{d}{a+b} \geq 2.$$

L. D. Kurlyandchik

F923. Trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn, hai đĩa chạm vào nhau được buộc chặt bằng một sợi chỉ không giãn (hình 1). Một đĩa có bán kính R bắt đầu quay quanh một trục thẳng đứng cố định đi qua tâm của nó và tốc độ quay tuyến tính tăng dần theo thời gian. Tại một số thời điểm, một đĩa nhỏ hơn bán kính r tách ra khỏi đĩa lớn (không còn chạm vào nó nữa). Lúc này đĩa lớn sẽ quay một góc bằng bao nhiêu? Không có ma sát giữa các đĩa.

26

Giả sử toàn bộ khối lượng của đĩa tập trung ở tâm của nó.

L. G. Markovich

F924. Khi trời nóng, để làm nguội nhanh nước, bạn hãy đổ vào khuôn đã phủ đá lấy từ ngăn đá của tủ lạnh. Nước được “cuộn” từ mép khuôn này sang mép khuôn khác rồi đổ ra ngoài. Đánh giá xem lượng nước nhiều hay ít trong quá trình vận hành này.

L. A. Ashkinazi

F925. Hai ống lớn giống hệt nhau lăn xuống các cầu trượt có cùng chiều cao nhưng có hình dáng khác nhau (hình 2). Dọc theo đường trượt đầu tiên, đường ống di chuyển suốt toàn bộ phần mà không bị trượt; trên đường trượt thứ hai có một đoạn hoàn toàn bằng phẳng (đoạn 1-2), nhưng đến cuối đường dẫn (dưới chân đường trượt) đường ống lại di chuyển mà không bị trượt. Ống nào ở cuối đường trượt có tốc độ nhanh nhất?

A. I. Buzdin

F926. Trong không gian có 1985 quả cầu kim loại không tiếp xúc với điện tích của chúng lần lượt bằng $q, -2q, 3q, -4q, ..., -1984q, 1985q$ ($q > 0$). Chứng minh rằng trong số đó có một quả cầu có mật độ điện tích bề mặt không âm. Khoảng cách giữa các quả bóng là hữu hạn.

V. A. Yasinsky

F927. Một hạt tích điện di chuyển qua một bộ đếm nhấp nháy, có hình dạng song song và các phân tử nhấp nháy nằm dọc theo quỹ đạo của nó sẽ phát ra ánh sáng. Ánh sáng tại mỗi điểm được phát ra một cách đẳng hướng, nghĩa là phát ra đều theo mọi hướng. Phần năng lượng ánh sáng nào được giải phóng từ chất phát sáng trong không khí nếu chiết suất của chất phát sáng là $n=1,6$? Bỏ qua sự hấp thụ ánh sáng trong scinitillor.

Lưu ý: góc khối tại đỉnh của hình nón bằng $\Omega=2\pi(1-\cos \theta)$, trong đó $\theta$ là góc giữa trục của hình nón và ma trận của nó.

S. A. Khoroshov

Problems

M911—M915; P923—P927

M911. Arbitrary points $E$ and $F$ are chosen on sides $AB$ and $CD$ respectively of the quadrilateral $ABCD$. Prove that the midpoints of the segments $AF, BF, CE,$ and $DE$ are the vertices of a convex quadrilateral whose area does not depend on the choice of the points $E$ and $F$.

M. V. Stark

M912. Prove that a) the polynomial $x^2$, b) any polynomial may be represented as the difference of two polynomials, each of which is a monotonic increasing function.

V. P. Pikulin