Задачи М911—М915; Ф923—Ф927

25

Задчи

M911—M915; Ф923—Ф927

M911. На сторонах AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD выбираются произвольные точки E и F соответственно. Докажите, что середины отрезков AF, BF, CE и DE являются вершинами четырехугольника, причем его площадь не зависит от выбора точки E и F.

M912. Докажите, что a) многочлен $x^2$, б) любой многочлен можно представить в виде разности двух многочленов, каждый из которых является монотонно возрастающей функцией.

B. П. Пикулин

M913. Касательные к описанной вокруг треугольника ABC окружности, проведенные в точках A и B, пересекаются в точке P. Докажите, что прямая PC a) пересекает сторону AB в точке K, делящее ее в отношении $AC^2:BC^2$;
б) симметрична медиане, проведенной из C, относительно биссертрисы угла C треугольника.

C. Литовченко, ученик 10 кл.

M914. На острове Серобуромалин obtaiот 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий (серый и бурый становятся оба малиновыми и т. д.). Можно ли слушаться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

B. Г. Ильчёв

M915*. Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c, d верно неравенство

$$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+d} + \frac{c}{d+a} + \frac{d}{a+b} \geq 2.$$

Л. Д. Курляндчик

Ф923. На гладкой горизонтальной плоскости лежат два касающихся друг друга диска, скрепленные нерастижной нитью (рис. 1). Диск радиуса R начинает врашаться вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр, причем скорость врашения линейного возрастает со временем. В некоторых моментах диск меньше радиуса r отрывается от большого диска (перестает его касаться). На какой угол повернет к этому моменту большой диск? Тренние между дисками отсутствует.

26

Считать, что все масса диска сосредоточена в его центре.

Л. Г. Маркович

Ф924. В жаркую погоду для быстрого охлаждения воды ее наливают в обросшую льдом формучки, вынутую из морозильной камеры холодильника. Воду «перекатывают» от одного края формучки к другому, потом выливают. Оцените, больше или меньше воды становится при этой операции.

Л. А. Ашкинази

Ф925. Две одинаковых массивных трубы скатываются с горок одинаковой высоты, но разного профиля (рис. 2). По первой горке труба на всем участке движется без просkalывания; на второй горке имеется абсолотно гладкий участок (участок 1—2), но в конце пути (у подножия горки) труба вновь движется без просkalывания. У какой трубы в конце горки скорость больше?

А. И. Буздин

Ф926. В пространстве нахождения 1985 несоприкасающийся металлический шаров, заряды которых равны, соответственно, $q, -2q, 3q, -4q, ..., -1984q, 1985q$ ($q > 0$). Доказите, что среди них есть шар, у которого поверхностная плотность заряда всуду неотрицательна. Расстояния между шарами конечны.

В. А. Ясинский

Ф927. Через сцинитилляционной счетчик, имеющий форму прямогоного параллелепипеда, пропетает заряженная частца, и молекулы сцинитиллятора, лежащие вдоль ее траектории, испускают свет. Свет в каждой точке испускается изотропно, то есть равномерно во все стороны. Какая доля световой энергии выдает из сцинитиллятора в воздухах, если коэффициент преломления вещества сцинитиллятора $n=1,6$? Поглощением света в сцинитиллоре пренебречь.

Примечание: телесный угол при вершине конуса равен $\Omega=2\pi(1-\cos \theta)$, где $\theta$ — угол между осью конуса и его образующей.

С. А. Хорошов

Problems

M911—M915; P923—P927

M911. Arbitrary points $E$ and $F$ are chosen on sides $AB$ and $CD$ respectively of the quadrilateral $ABCD$. Prove that the midpoints of the segments $AF, BF, CE,$ and $DE$ are the vertices of a convex quadrilateral whose area does not depend on the choice of the points $E$ and $F$.

M. V. Stark

M912. Prove that a) the polynomial $x^2$, b) any polynomial may be represented as the difference of two polynomials, each of which is a monotonic increasing function.

V. P. Pikulin