Избранные школьные задачи

22

лен к красному и инфракрасному свету, то лиминесцирующий анод излучает голубые, филотовые и даже ультрафилотовые лучи. Другими словами, при процирования на фотокатод невидимого инфракрасного изображения на аноде наблюдается видимое изображение.

Мы изложили здесь лишь принципную схему работы электроннооптического преобразования, созданного Хольстом с сотрудниками в 1933 году. В их опытах была доказана возможность преобразования длиннового нейидного изображения в коротковолновое видимое изображение с помощью фотодействического эфекта.

За прошедшие пятьдесят лет фотодействная техника ушла далеко вперед. В настоящее время она применяется не только в摄影ии, но и в научных исследованиях, военноом деле, техническе.

Избранные школьные задачи

(По мотивам книги Льюиса Кэрролла «История с узелками»)

8 класс

1. Даны длины $a$ и $b$ двух смежных сторон четырехугольника и острый угол $a$ между ними. Кроме того, известно, что углы четырехугольника, прилежащие к каждой из данных сторон, прямые. Найдите: а) остальные стороны четырехугольника; б) площадь четырехугольника.

2. Докажите, что сумму квадратов двух различных натуральных чисел, умноженную на сумму квадратов двух различных натуральных чисел, можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

3. Два путешественника выходит из гостиницы к вершине горы в 3 часа дня и возвращается в 9 часов вечера. Маршрут их по проходит поровному месту, то идет в гору или под гору. Поровному месту они идут со скоростью 4 милли в час, в гору — 3 милли в час и под гору — 6 милли в час. Какое расстояние они проходят за время прогулки? Определите также с точкистою до 30 минут момент восходения на вершину горы, считая, что при движении к вершине горы длина участков подъема большие длины участков спуска.

4. На основании данного треугольника найдите такую точку, что прямая, соединяющая перpendикularов, опущенных из этой точки на боковые стороны, параллельна основанию.

5. Внутри данного угла с вершиной $B$ дана точка $P$. Проведите через точку $P$ прямую, отскакшую от угла треугольника наименшей площади.

9 класс

6. Два путешествия в путьровно в 6 часов утра в один и тот же день. Оба идут по одной дороге и в одном направлении. Пешекод $B$ сначала опережает пешекода $A$ на 14 милли. Оба идут с 6 часов утра до 6 часов вечера. В первый день $A$, двигаясь в течение дня с постоянной скоростью, проходит 10, во второй — 9, в третьий — 8 милли и т. д. Пешекод $B$, двигаясь также с постоянной в течение дня скоростью, проходит в первый день 2, во второй — 4, в третьий — 6 милли и т. д. Где и когда пешекоды $A$ и $B$ будут договорить друг друга?

7. Две окружности пересекаются так, что их общая хорда стягивает центральные углы в 30° и 60°. Какая часть круга, ограниченной меньшей окружностью, находится внутри большей окружности?

8. В данной окружность впиште трапецю, у которой одно основание в два раза больше другого, а площадь максимальная.

9. Стакан лимонада, 3 бутерброда и 7 бисквитов стоит 1 шиллинг 2 пенса. Стакан лимонада, 4 бутерброда и 10 бисквитов стоит 1 шиллинг 5 пенсов. Сколько стоит 2 стакана лимонада, 3 бутерброда и 5 бисквитов? (1 шиллинг равен 12 пенсам)

10. В данной остроугольный треугольник впиште треугольник, стороны которого при каждом из его вершин образуют углы со стороны данного треугольника.

10 класс

11. Пусть $p$ — полуперimetр некоторого треугольника, $S$ — его площадь, а $V$ — объем прямогоного параллелепипеда, ребра которого равны сторонам треугольника. Найдите сумму квадратов стороны треугольника.

12. Несколько человек сидят вокруг круглого стола. Каждый из сидящих располагает определенным количеством шиллингов. У первого на 1 шиллинг больше, чем у второго, у второго на 1 шиллинг больше, чем у третього, и т. д. Первый из сидящих отделил шиллинг второму, второму — два шиллинга третьему и т. д. Каждый отделяет следующему на 1 шиллинг больше, чем он популял сам, до тех пор, пока это возможно. В результате у одного из сидящих оказался равносторонний. Найдите длину стороны шестиугольника, если длины стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$.

13. От данного треугольника прямыми, параллельными сторонами треугольника, отрезаются три треугольника так, что оставшийся шестиугольник оказывается равносторонний. Найдите длину сторон треугольника равны $a$, $b$ и $c$.

14. На плоскости расставлены три цилиндрические башни с радиусами оснований 1, 2, 3. Найдите точку плоскости, из которой их ширина будет казаться одинаковой.

15. Все грани треугольников парамиды — конгруэнтные треугольники со сторонами $a$, $b$, $c$. Найдите общем этой парамиды.

Публикация подготовил А. А. Егоров