Московский институт стали и сплавов

51

Московский институт стали и сплавов

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Упростите выражение
   $$\frac{\sqrt{(x+2)^2}-8x}{\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}}$$
   и вычислите его значение при $x=1,21$.
2. Решите уравнение
   $$\frac{8x^2-2,5}{16x}+\frac{8x}{16x^2-5}=1$$.
   В ответе запишите его больший корень.
3. Найдите расстояние от начала координат до точки пересечения графика функции $y=\sqrt{9-x}-\sqrt{4-x}$ с прямой $y=1$.
4. Решите неравенство
   $$\log_2 \frac{3x+3}{x+6} \leq 1$$.
   В ответе запишите количество целых чисел, удовлетворяющих этому неравенству.
5. Найдите двухначное число, частное от деления которого на произведение его цифр равно $2\frac{2}{3}$, а разность между искомым числом и числом, написанным теми же цифрами, но расположенными в обратном порядке, равна 18.
6. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции $f(x)=x^3-6x^2+9x+1$ на отрезке [0; 2].
7. Упростите и вычислите без таблицы
   $$\sin \frac{\pi}{5}+\sin \frac{13\pi}{15}+\sin \frac{23\pi}{15}+\sin \frac{\pi}{6}$$.
8. Решите уравнение
   $$1-\sin 3x=\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)^2$$.
   В ответе запишите число корней уравнения, принадлежих отрезку [π/2; 2π].
9. В треугольнике ABC медиана AM перpendикулярна медиана BN. Найдите площадь треугольника ABC, если длина AM равна 3, а длина BN равна 4.
10. Одна из вершин куба и середины его ребер, выходящих из противоположной вершины, служат вершинами парамиды. Найдите объем парамиды, если длина ребра куба равна 6.
    Вариант 2
11. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии равна 4, а сумма квадратов ее членов равна 48. Найдите сумму первых четырех ее членов.
12. Решите уравнение $f'(x)=0$, если $f(x)=\sqrt{2x-1}-2x$.
13. Решите уравнение
    $$\log_5(x-2)+\log_5(x^3-2)+\log_5(x-2)=4$$.
14. Решите неравенство
    $$(0,5)^{x^2+3x} \geq 0,125 \cdot 2^{-x}$$.

52

В ответе запишите количество цельх чисел, удовлетворяющих неравенству.

5. Имеется сплав меди с овлом массой 10 кг, содержащий 50 % меди. Сколько килогramмов чистого овова нужно прибавить к этому куску, чтобы получившийся сплав имел 40 % меди?

6. Найдите наименьшее значение функции
   $$f(x) = x^4 + 2x^2 + \frac{1}{(x^2 + 1)^2} + 5.$$

7. Найдите tg α · tg β, если $$\frac{\cos(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha - \beta)} = \frac{1}{3}.$$

8. Решите уравнение
   $$\sin x + \cos x - 1 = 0.$$

В ответе запишите сумму корней уравнения, принадлежих интервалу ] 0; 4 [.

9. Вершины правильно треугольника лежат на трех параллельных прямых, причем внутренняя прямая находится на расстоянии $$\sqrt{21} \text{ и } \sqrt{84} \text{ от крайних прямых. Найдите длину стороны треугольника.}$$

10. В конус вписан цилиндр набольшого объема так, что одно из оснований цилиндра лежит на основании конуса, а окружность другого основания лежит на боковой поверхности конуса. Найдите отношение объема конуса к объему цилиндра.

Физика

Писменный экзамен

Вариант 1

1. Свободно падающее тело за последнюю секунду падения прошло путь $l = 63,7$ м. С какой высоты падало тело?

2. Определите силу, действующего на стержень AB, если угол $a = 45^\circ$, а масса груза $m = 2$ кг (рис. 1).

3. Определите, какой скорость должна obладать тело в точке D, чтобы переместиться в точку A и там остановиться (рис. 2). Коэффициент треугольника при движении тела $μ = 0,2$, $|AB| = 0,5$ м, $|DB| = 10$ м.

4. Одиорный стержень массой $m = 6$ кг подвешен на двух нитях одинаковой длины $l = 0,5$ м каждая (рис. 3). Определите силу натяжения нити, если длина стержня $a = 0,8$ м.

5. В стеклянной трубке, запаянной с одной конца, находится столик воздуха, запертыстоликом ртути высотой $h = 200$ мм. Если трубку держать вертикально открыть концовверх, то длина воздушного столика $l_1 = 6$ см, а если перевернуть трубку на 180°, то длина воздушного столика станет $l_2 = 15$ см. Чему равно атмосферное давление? Температур считать постоянной.

6. После сторания горючей смеси температура продуктов сторания в цилиндре подпоршнем повышалась до $t_1 = 600^\circ\text{C}$, а расстояние между поршнем и дом цилиндра увеличилось до $l = 50$ см. На какое расстояние

Puc. 1. Puc. 2.

переместится поршень при охлаждении продуктов сторания в цилиндре до температуры $t_2 = 90^\circ\text{C}$? Весом поршня и его трепнем о стенки цилиндра пребегать. Коэффициент объемного расширяния принять равным $a = 1/273$ К$^{-1}$.

7. Конденсатор емкостью $C_1 = 3$ мкФ заряжен до разности потенциалов $U_1 = 300$ В. Конденсатор емкостью $C_2 = 2$ мкФ заряжен до разности потенциалов $U_2 = 200$ В. Конденсаторы соединяются разномменьшим обкладками. Определите среднюю величину тока, возникающего при соединении конденсатора, если дилтельность его протекания $t = 1$ с.

8. Определите массу медных проводов, необходимых для монтажа двухпроводной линии передачи от источника питания с напряжением $U = 2400$ В до потребителя, находящаяся на расстоянии $l = 5$ км от источника напряжения. Мощность, передаваемая потребителю, равна $W = 60$ кВт. Падение напряжения в линии электропередачи составляет 8 %.

9. В схеме, изобравенной на рисунке 4, амплитудное значение тока до замыкания ключа равно $I_1$, а после замыкания ключа — $I_2$. Определите отношение $I_1/I_2$, если ключ был замкнут, когда напряжение на конденсаторы было максимальным. Емкость всех конденсаторов одинакова: $C_1 = C_2 = C_3$, а индутивность катушки постоянна и равна $L$. До замыкания ключа конденсаторы емкостью $C_1$ и $C_2$ заряжены не были.

10. Сероуглерод с показателем преломления $n = 1,63$ налинт в шириной сосуду до высоты $h = 10$ см, считая от дна сосуда. На дне сосуда в центре помещен точчный источник света. Найдите площадь поверхности сероуглерода на границе с воздухом, через которой свет выходит наружу.

Вариант 2

1. Двигаясь равноускоренно, материальная точка в первые два равных последовательных промежутках времени по $t = 4$ с каждой проходит путь $l_1 = 20$ м и $l_2 = 30$ м. Определите начальное расстояние по окружности со скоростью $v = 10$ м/c. Определите модель изменения импульса материальной точки за одну четверть периода врашения.