Добавление о векторных пространствах

5

$$k^2 = -1; \quad ki = -ik = j; \quad jk = -kj = i.$$
Таким образом, для величины $i, j, k$ (85)

выполнены все условия, имеющие место для кватернионных единиц (см. «Квант» № 2, с. 11). Если теперь любой элемент $z$ из $I$ линейно зависит от величины $i, j, k$, то $L$ совпадает с множеством всех кватернионов.

Остается рассмотреть случай, когда в $L$ имеется элемент $z$, линейно не зависящий от величины $i, j, k$. Положим (см. (59))

$$iz = a_1 + z_1; \quad jz = a_2 + z_2; \quad kz = a_3 + z_3.$$ (86)

Положим также

$$l = a(z + a_1i + a_2j + a_3k).$$ (87)

Легко проверяется, что при произвольном значении действительного числа $a \neq 0$ величина $l$ принадлежит $I$ и не равна нулю. Число $a$ выберем таким образом, чтобы выполнялось условие

$$l^2 = -1.$$ (88)

Из соответствии (80) следует, что

$$il = -li; \quad jl = -lj; \quad kl = -lk.$$ (89)

Теперь рассмотрим величины $ilj$. Мы имеем

$$ilj = i(-jl) = -kl; \quad ilj = -lij = -lk = kl.$$ (90)

Таким образом, мы приходим к выводу, что $-kl = kl$, что невозможно, так как $(kl)^2 = -1$. Итак, мы пришли к противоречию — теорема Фробенуса доказана.

Добавление о векторных пространствах

Рассмотрим множество $V_3$ всех векторов в трехмерном пространстве с началом в фиксированной точке $O$. Если в пространстве ввести систему координат $x_0, x_1, x_2$ с началом в точке $O$, то любой вектор $v \in V_3$ единственным образом представляется в виде

$$v = x_0i_0 + x_1i_1 + x_2i_2,$$ (1)

эде $i_0, i_1, i_2$ — единственные векторы осей $Ox_0, Ox_1, Ox_2$, а $x_0, x_1, x_2$ — некоторые числа (называемые координатами вектора $v$). При сложении векторов их координаты складывают, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число, то есть

$$v + v' = (x_0i_0 + x_1i_1 + x_2i_2) + (x'_0i_0 + x'_1i_1 + x'_2i_2) =$$

$$= (x_0 + x'_0)i_0 + (x_1 + x'_1)i_1 + (x_2 + x'_2)i_2;$$ (2)

$$av = a(x_0i_0 + x_1i_1 + x_2i_2) =$$

$$= (ax_0)i_0 + (ax_1)i_1 + (ax_2)i_2.$$ (3)

После того, как введены координаты, можно считать, что векторы в пространстве пространства являются тройками чисел $(x_0, x_1, x_2)$ и забыть об их геометрическом проискхдении. При та-

ком подхождение изучение становится чисто алгебраическим и базируется на формула (1) — (3).

Алгебраическая подход позволяет без труда определить и векторное пространство с числом изменений большим трех. Именно, при любом $n \geq 1$ п-мерным (артифметическим) векторным пространством называется множество наборов $v = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ из $n$ вещественных чисел, в которой введены операции сложения:

$$u + v = (x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) =$$

$$= (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n) = w$$ (4)

и умножения на число $a \in R$:

$$au = a(x_1, x_2, \dots, x_n) =$$

$$= (ax_1, ax_2, \dots, ax_n).$$ (5)

При этом наборы $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ называются $n$-мерными векторами. Их можно записывать в виде $(x_1i_1 + x_2i_2 + \dots + x_ni_n)$ или в виде $x_0 + x_1i_1 + \dots + x_{n-1}i_n$, как это сделано в статье Л. С. Понтрягина (см. с. 2).

Основным понятием при изучении $n$-мерного векторного пространства является линейной зависимости: набор векторов $v_1, v_2, \dots, v_k$ называется линейно зависящим, если существует такие числа $a_1, a_2, \dots, a_k$, не все равные нулю, что

$$a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_kv_k = 0.$$

Можно показать, что любой набор из более чем $n$ штук векторов в $n$-мерном пространстве линейно зависящим; кроме того, в этом пространстве можно указать набор из $n$ штук линейно независящих векторов (такой набор зависящая базисом), например набор $i_1 = (1, 0, 0, \dots, 0), i_2 = (0, 1, 0, \dots, 0), \dots, i_n = (0, 0, \dots, 0, 1).$

Уражнения

1. Докажите утверждение о $V_3$, выделенные курсивом в начале этого Добавления.
2. Докажите, что два вектора в пространстве линейно зависящим тогда и только тогда, когда они лежат на одной прямой, а три вектора — когда они лежат в одной плоскости.
3. Докажите (геометрические), что любые четыре в пространстве линейно зависящим.
   4*. Докажите, что любые $n+1$ векторы в $n$-мерном пространстве линейно зависящим.
   5*. Покажите, что совокупность многочленов степени меньше или равной тем объеме априфметической векторное пространство размерности четыре, базисом которого могут служить многочлены $x^3, x^2, x, 1$.

О. М.