Сколько корней имеет уравнение?

43

Сколько корней имеет уравнение?

И. Г. ГАБОВИЧ,
П. И. ГОРНИТЕЙН

Наступительных экзаменах вузы нередко предлагаются примеры, в которых требуется определить, сколько корней имеет то или иное данное уравнение. Заметим, что в этих примерах требуется чаще всего найти лишь число корней, а не сами корни.

Более сложным является анализный вопрос в отношении уравнения, содержащого параметр. В этом случае предлагается определить, при каком значении параметра данные уравнение имеет один, два или другие конечное число корней.

Решению таких примеров посылана данная статья.

Пример 1 (КГУ, мехмат, 1981). Сколько корней имеет уравнение
$$x^2 - 2x - \log_2|1-x| = 3?$$
(1)

Решение. Перепишем уравнение (1) в виде
$$x^2 - 2x - 3 = \log_2|x - 1|.$$
(2)

Ясно, что (2) ⇔ (1). Заметим, также, что знак выражения, стоящего под знаком абсциссной величины, можно изменить на противоположный.

Число корней уравнения (2) равно числу точек пересечения графиков функций, являющихся левой и правой части уравнения (2). Графики этих функций (рис. 1) пересекаются в четырех точках ($A, B, C$ и $D$). Следовательно, уравнение (2), а значит и эквивалентное ему уравнение (1), имеет четые корня (равные абсциссам точек пересечения).

Пример 2 (МГУ, ВМК, 1980). При каких значениях параметра а уравнение
$$(a+1)x^2 - ax + (a-3) = 0$$
(3)
имеет не более одного действительного корня?

Решение. 1) Пусть $a \neq -1$. Тогда уравнение (3) квадратное и имеет не более одного действительного корня, если $D \leqslant 0$, то есть
$$a^2 - 4(a+1)(a-3) \leqslant 0 \Leftrightarrow 3a^2 - 8a - 12 \geqslant 0.$$
(4)

Квадратный трехчлен $3a^2 - 8a - 12$ имеет корни: $a_1 = (4-2\sqrt{13})/3$ и $a_2 = (4+2\sqrt{13})/3$. Ясно, что $a_2 > -1$. Покажем, что $a_1 < -1$:
$$-1 - (4-2\sqrt{13})/3 = (2\sqrt{13} - 7)/3 = (\sqrt{52} - 7)/3 > 0;$$
это и означает, что $a_1 < -1$.

Следовательно, решением (4) будет обедининие промежутков:
$$] -\infty; (4-2\sqrt{13})/3] \cup \cup[(4+2\sqrt{13})/3; \infty[.$$
2) При $a = -1$ уравнение (3) обращается в уравнение первого степени: $x - 4 = 0$, имеющее один действительный корень.

Таким образом, получаем следующий ответ:
$$a \in ] -\infty; (4-2\sqrt{13})/3] \cup \cup\{-1\} \cup [(4+2\sqrt{13})/3; \infty[.$$
Пример 3 (МИЭМ, 1982). Решить уравнение
$$|2x+2| = ax^2 + 4$$
(5)
и определить значения $a$, при которых оно имеет единственное решение.

Решение. Уравнение (5) эквивалентно совокупности двух смешанных систем:
$$\begin{cases} x < -1; \\ -2x - 2 = ax^2 + 4; \\ x \geqslant -1; \\ 2x + 2 = ax^2 + 4; \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x < -1; \\ ax^2 + 2x + 6 = 0; \\ x \geqslant -1; \\ ax^2 - 2x + 2 = 0. \end{cases}$$

44

Учитывая, что $x \neq 0$, получаем зависимость $a=f(x)$, имеющий на каждом из расстатриваемых промежутков разные аналогичные выражения:

$$a = (-2x - 6)/x^2 = f_1(x) \text{ при } x < -1 \text{ и } a = (2x - 2)/x^2 = f_2(x) \text{ при } x \geq -1.$$

Построим график этой зависимости в системе координат $xOa$ (рис. 2). Графиками функции $f_1(x)$ и $f_2(x)$ являются «сплошные» синяя и красная кривые соответственно. Объединение этих линей является графиком зависимости $a=f(x)$. (Пунктирные синяя и красная кривые есть графики зависимости $f_1(x)$ и $f_2(x)$ вне промежутков, на которых они расстатриваются. Эти пунктирные линии попадаются ниже при отборе решений.) Синяя и красная кривые пересекаются в точке с координатами $(-1; -4)$.

Исследование функции $f_1(x)$ и $f_2(x)$ показывает (что видно также и на рисунке 2), что $\max f_1(x) = f_1(-6) = \frac{1}{6}$, а $\max f_2(x) = f_2(2) = \frac{1}{2}$.

Абсциссы точек, в которых пряма, паралельная оси $Ox$, пересекает сплошные линии, являются решениями уравнения (5).

Из приведенного рисунка и сделанных выше замечаний следует, что уравнение (5) имеет:

a) При $a \in ]-\infty; -4]$ — два решения: $x_{1,2} = (1 \pm \sqrt{1-2a})/a$, определяемые из уравнения

$$ax^2 - 2x + 2 = 0.$$

6. При $a \in ]-4; 0[$ — два решения: $x_1 = (-1 + \sqrt{1-6a})/a$ и $x_2 = (1 - \sqrt{1-2a})/a$

Таблица

| Значения $a$ | Число решений | Решения |
| :— | :— | :— |
| $a \in ]-\infty; -4]$ | два | $x_{1,2} = (1 \pm \sqrt{1-2a})/a$ |
| $a \in ]-4; 0[$ | два | $x_1 = (-1 + \sqrt{1-6a})/a; x_2 = (1 - \sqrt{1-2a})/a$ |
| $a=0$ | два | $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$ |
| $a \in ]0; 1/6[$ | четыре | $x_{1,2} = (-1 \pm \sqrt{1-6a})/a; x_{3,4} = (1 \pm \sqrt{1-2a})/a$ |
| $a=1/6$ | три | $x_1 = -6; x_{2,3} = 6 \pm 2\sqrt{6}$ |
| $a \in ]1/6; 1/2[$ | два | $x_{1,2} = (1 \pm \sqrt{1-2a})/a$ |
| $a=1/2$ | одно | $x=2$ |
| $a \in ]1/2; \infty[$ | 0 | - |

46

]1; ∞[, то есть при
$$0 < a < a_m,$$
(12)

уравнение (11) имеет три корня. Это обусловливается тем, что при указанных в (12) значениях $a$ прямая $y = ax$ пересекает график функции $f(x)$ в трех точках: в одной точке — ветвь кривой на промежутке ]0; 1[ и в двух точках — на промежутке ]1; ∞[. Абсциссы этих точек и будут корнями уравнения (11).

Может показаться, что при малых положительных $a$ прямая $y = ax$ пересечет ветвь графика функции $f(x)$ на промежутке ]1; ∞[ только в одной точке, абсцисса которой близка к единице. Но такое мнение ошибочно. Известно, что степенная функция при возрастании $x$ растет быстрое логарифмической («Алгебра и начала анализа 9-10» 1980, п. 70, с. 214). Поэтому при любом $a > 0$ и как угодно малом по абсциссной величины прямая $y = ax$ дважды пересечет ветвь $f(x)$, соответствующее промежутку ]1; ∞[.

Определим теперь, при каком значении $a$ прямая $y = ax$ касается упомянутой ветви.

Пусть $A(x_0, y_0)$ — точка касания. Тогда искомое значение $a$ находится из системы
$$\begin{cases} f(x_0) = g_a(x_0), \\ f'(x_0) = g'_a(x_0) \end{cases}$$ или $$\begin{cases} \ln x_0 = ax_0, \\ \frac{1}{x_0} = a, \end{cases}$$

откуда $x_0 = 1/a$; $\ln(1/a) = 1 \Rightarrow a = e^{-1}$.

Итак, $a_m = e^{-1}$. Следовательно, при $a \in ]0; e^{-1}$[ уравнение (10) имеет три корня.

Рассмотренные в стате примеры различны по содержанию. В решении одних мы пользовались, наглядности ради, графиками, другие же решались только анализически.

Вместе с тем, ознакомившись с приведенными решениями, вы прибрели некоторые навыки, которые сумете применить в решении других аналогичных примеров и, в частности, приведенных в упражнениях.

Упражнения
1 (МГУ, химак, 1982). При каких значениях параметра $p$ уравнение
$$(x - p)^2 \cdot [p(x - p)^2 - p - 1] = -1$$ имеет больше положительных корней, чем отрицательных?
2 (ЛГУ, матем, 1979). Сколько корней имеет уравнение
$$(x + 2)e^{-x/2} - x^4/6 - x^8/20 = x^2 + 1$$

3 (НГУ, механи, 1977). Определить, при каких значениях $a$ уравнение $\log_2(x + 1) = 1/2$ имеет единственное решение.
4 (ЛГУ, матем, 1980). При каких значениях параметра $a$ уравнение
$$\sin x \cdot \cos 2x \cdot \sin 3x = a$$ имеетровно два корня на отрезке $[\pi/4; \pi/2]$?
5 (МГУ, ВМК, 1980). При каких значениях параметра $a$ уравнение
$$(3a - 1)x^2 + 2ax + 3a - 2 = 0$$ имеет два действительных корня?
6 (МГУ, механи, 1980). При каких значениях параметра $a$ уравнение
$$4^{-|x - a|} \cdot \log_3(x^2 - 2x + 3) + 2^{-x^2 + 2x} \times \log_1/3(2|x - a| + 2) = 0$$ имеетровно три различных корня?
7 (МГУ, общеая геология, 1979). Найти все значения $a$, при которых уравнение
$$x^2 + 6x/(\sqrt{\sin a} + 9\sqrt{3}/\cos a + 36) = 0$$ имеет единственное решение.
8 (УрГУ, матем, 1981). При каких значениях параметра $a$ уравнение
$$\log_{\sqrt{ax - 6}}(2x^2 - 3x + 2) = 2\log_{ax - 6}(x^2 + 2x - 4)$$ имеет единственное решение?
9 (МГУ, химак, 1980). Найти все такие значения $k$, для каждого из которых число решений относительно $x$ уравнения
$$2x^3 + 6x = (3^6k - 9)\sqrt{2^8k - 1/6} - (3k - 1)^2 \cdot 12^x$$ не меньше числа решений относительно $y$ уравнения
$$3(5y^2 - k^4) - 2y = 2k^2(6y - 1).$$
10 (МИФИ, 1980). Найти значение $c$, при которых уравнение
$$2\log_7(cx - 2) = \log_7(-x^2 - 9x - 18)$$ имеет только одно решение.
11 (МИЭМ, 1980). Найти при $a = 1$ все решения уравнения
$$\sin(2(x - \pi)) - \sin(3x - \pi) = a \sin x$$ расположенные на отрезке $[0; \pi/2]$, и выяснить, при каких значениях уравнение имеет единственное решение на этом отрезке.
12 (ЛЭТИ, 1982). Дана функция $y = f(x)$, где
$$f(x) = x^2 + x + 9/(x^2 + x + 1).$$ При каких значениях $f(x) = a$ имеет 4 корня?
13 (ЛЭТИ, 1982). Сколько корней имеет уравнение
$$\log_2\sin x = x^2 - 36?$$
14 (ЛЭТИ, 1982). При каких значениях $a$ уравнение
$$\sqrt{x + a} = x$$ имеет 2 корня?
15 (МИСиС, 1983). При каком $a$ уравнение
$$|x + 2| - |2x + 8| = a^2$$ имеет единственное решение?
16 (МИСиС, 1983). При каких значениях параметра $a$ уравнение $|x^2 - 6x + 8| + |x^2 - 6x + 5| = a$ имеет больше трех решений?
17 (МГУ, ВМК, 1983). При всех $a$ решите уравнение
$$(x + 2)(x + 4) + 5(x + 2)\sqrt{\frac{x + 4}{x + 2}} = (a + 2)(a - 3).$$