Trường học yêu thích bài toán

27

Trong bài toán này, một lần nữa, chúng tôi sử dụng các cấu trúc phụ trợ để xây dựng một loạt các hình tam giác cho phép chúng tôi thực hiện các phép tính cần thiết.

Bài tập

1. Đảm bảo rằng các phương trình trong các bài toán trong bài «Kvant», 1983, số 2 thu được bằng phương pháp hoàn toàn trùng khớp với sơ đồ đã cho.

2. Chiều cao của một paramid hình tam giác đều là $h$. Giao điểm của chiều cao của mỗi mặt bên và các đỉnh của paramid nằm trên bề mặt của một quả cầu có bán kính $r$. Tìm thể tích của paramid.

3. Trong hình thang $ABCD$ điểm $K$ là trung điểm của đáy $AB, M$ là trung điểm của đáy $CD$. Tìm diện tích hình thang nếu biết $DK$ là bissertis của góc $D, BM$ - bissertis của góc $B$, góc lớn nhất ở đáy dưới $AB$ bằng $60^\circ$, và chu vi hình thang là 30.

4. Trong mặt phẳng dan có một góc vuông. Một đường tròn có tâm nằm trong góc này tiếp xúc với một cạnh của góc, cắt cạnh kia tại các điểm $A$ và $B$, đồng thời cắt các bissertis của góc tại các điểm $C$ và $D$. Độ dài của dây $AB$ là $\sqrt{6}$ cm, độ dài của dây $CD$ là $\sqrt{7}$ cm. Tìm bán kính của hình tròn.

5. Trong tam giác $ABC$, góc $A$ bằng $a$ và cạnh đối diện bằng $a$. Tìm hai cạnh còn lại nếu biết cạnh $a$ là trung bình hình học của bán kính các đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác này.

6. Cạnh của hình lập phương $ABCDA_1B_1C_1D_1$ bằng $a$, điểm $E$ là điểm giữa của cạnh $AA_1$. Khi tiếp tục cạnh $DA$, điểm $F$ được lấy sao cho $|FA|=a/2$. Tìm bán kính của hình cầu nhỏ hơn đi qua các điểm $E$ và $F$ và chạm vào các mặt phẳng $BB_1C_1C$ và $DD_1C_1C$.

7. Trong một tham số tứ giác đều, tâm của quả cầu nội tiếp chia chiều cao của tham số đó theo tỷ lệ $p:q (p<q)$. Xác định góc nghiêng của sườn so với đế.

8. Qua điểm $O$, nằm trên cạnh của hai góc có độ lớn $\varphi$ vẽ một đường thẳng $OA$, nằm ở một góc và tạo thành một góc $a$ với cạnh ở hai góc, và một đường thẳng $OB$, nằm ở góc còn lại và tạo thành một góc $\beta$ với cạnh. Tìm góc $\lambda$ giữa các đường thẳng này (hình 8).

9. Lấy 6 phần tử tùy ý được cho bởi một bộ tứ (không đều) và tính tất cả các phần tử khác của nó.

L. F. Sternber

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

1. Số nào lớn hơn
   $$\frac{55555553}{55555557} \text{ или } \frac{666666664}{666666669}?$$

2. (Nhiệm vụ của Newton). Cỏ khắp đồng cỏ mọc dày và nhanh như nhau. Biết rằng 60 con bò sẽ ăn hết cỏ trong 24 ngày và 30 con bò sẽ ăn hết cỏ trong 60 ngày. Có bao nhiêu con bò sẽ ăn hết cỏ trong 100 ngày?

3. Dựa vào sự xuất hiện của đồ thị hàm số bậc hai $y=ax^2+bx+c$ hãy xác định dấu của các hệ số $a, b$ và $c$ (hình 1).

4. Đường trung tuyến và đường cao vẽ từ một đỉnh của một tam giác chia góc của nó thành ba phần bằng nhau. Tìm các góc của tam giác.

5. a) Chứng minh rằng góc có một đỉnh bên trong đường tròn thay đổi, ta thu được độ lớn của các cung nằm giữa các cạnh của nó và độ lớn của các cung nằm giữa các phần kéo dài của cạnh nó và góc có đỉnh ở ngoài đường tròn - độ lớn thu được của các cung nằm giữa các cạnh (hình 2):

28

$$\alpha = \frac{1}{2} (\cup AB + \cup CD),$$

$$\beta = \frac{1}{2} (\cup AB - \cup CD).$$

Đối với lời giải bài toán 6) và c) chúng ta có thể sử dụng công thức (1) và (2).

6. Trong tứ giác nội tiếp $ABCD$, các góc $\alpha$ và $\beta$ giữa phần kéo dài của các cạnh đối diện (hình 3) đã biết. Tìm các góc của tứ giác.

c) Trong tam giác $ABC$, điểm $O$ là tâm đường tròn nội tiếp, điểm $A_1$ là giao điểm của đường thẳng $AO$ với đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng $|BA_1| = |OA_1| = |CA_1|$.

lớp chín

6. Tính toán sản phẩm

$$\left(1 + \frac{1}{1 \cdot 3}\right)\left(1 + \frac{1}{2 \cdot 4}\right)\left(1 + \frac{1}{3 \cdot 5}\right) \dots \left(1 + \frac{1}{99 \cdot 101}\right).$$

7. Tìm phương trình tiếp tuyến chung của parabol

$$y = x^2 + 4x + 8 \text{ и } y = x^2 + 8x + 4.$$

8. Hình chiếu trực giao của góc vuông $AOB$ lên mặt phẳng $\alpha$ lại là góc vuông. Chứng minh rằng ($AO$) hoặc ($BO$) song song với mặt phẳng $\alpha$.

9. Tìm một mảnh:

a) $\sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ$;

b) $\cos \frac{\pi}{15} \cos \frac{2\pi}{15} \dots \cos \frac{7\pi}{15}$.

10. Trong một tam giác $ABCD$ có độ dài đáy $|AD| = a$ và $|BC| = b$, một đoạn được vẽ với các đầu ở các cạnh bên của hình thang, song song với đáy và chia nó thành hai hình thang bằng nhau. Tìm độ dài của đoạn này.

lớp mười

11. Một mặt phẳng vẽ qua tâm của một quả cầu nội tiếp một hình nón song song với đáy chia hình nón này thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tìm góc ở đỉnh của hình nón.

12. Giải các phương trình:

a) $(x^2 - x + 1)^2 + 2(x^3 + 1) = (x + 1)^2$;

b) $\sqrt[3]{(x + 1)^2} - 2\sqrt[3]{x^2 - 1} = 8\sqrt[3]{(x - 1)^2}$.

13. Tìm diện tích được bao quanh bởi một sin “nửa sóng” $y = \sin x$ và các đường tiếp tuyến được vẽ với đồ thị của sin tại các điểm hoành độ 0 và $\pi$ (hình 4).

14. Được biết, $\log_7 12 = a$, $\log_{12} 24 = b$. Tìm $\log_{54} 168$.

15. a) Cho ví dụ chứng tỏ hai đường cao của một tứ diện (hoặc phần kéo dài của chúng) không thể cắt nhau.

6. Trong tứ diện $ABCD$ các độ cao $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ và $DD_1$ được rút ra. Chứng minh rằng nếu đường thẳng $AA_1$ và $BB_1$ cắt nhau thì đường thẳng $CC_1$ và $DD_1$ cũng cắt nhau.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi B. M. Ivlev