Học viện sư phạm bang Leningrad được đặt theo tên. A. I. Herzen

57

$$\frac{\sqrt{x^{-1}}-1}{\sqrt{x}+1} \cdot \sqrt{x}(1-\sqrt{x})^{-1}.$$

4. Ở đáy của paramid tam giác $SABC$ có một tam giác đều $ABC$ có cạnh có chiều dài $\sqrt{2}$. Tìm thể tích của paramid này nếu biết rằng $ASC=ASB = \frac{\pi}{6}, SAB = \frac{\pi}{4}$.

Vật lý
Bài toán thi vấn đáp

Bài toán 2, 4 đạt điểm trong kỳ thi tuyển sinh Khoa Vật lý Cơ học, 5 điểm vào Khoa Vật lý vô tuyến, 6, 8 vào Khoa Cơ điện, 1, 7 vào Khoa Thủy lực và 3 vào Khoa Buổi tối.

1. Người đi xe đạp đi một phần ba đầu tiên của hành trình với tốc độ $v_1=2,0$ m/s, phần thứ hai với tốc độ $v_2=3,0$ m/s và phần ba cuối cùng với tốc độ $v_3=5,0$ m/s. Tìm vận tốc trung bình của người đi xe đạp.

2. Một vòng đệm kim loại trượt dọc theo một sợi dây cao su không trọng lượng có chiều dài $l_0$. Lực rung tác dụng giữa dây và vòng đệm là không đổi và theo mô đun $f$. Độ cứng của dây $k$. Tìm lượng nhiệt tỏa ra trong quá trình này. Phần công do lực tremiya tác dụng lên sợi dây sẽ chuyển thành nhiệt lượng?

3. Mật độ hơi là $\rho=2,4$ kg/m$^3$ ở nhiệt độ $T=295$ K và áp suất $p=10^5$ Pa. Tìm khối lượng của một kilomol và một phân tử hơi, coi đó là khí lý tưởng. Hằng số khí phổ quát được coi là bằng $R=8,3$ J/(mol K).

4. Tấm kính lấp đầy hoàn toàn khoảng trống giữa các bản của một tụ điện phẳng, điện dung của nó khi không có bản tụ là $C_0$. Tụ điện được nối với nguồn điện áp không đổi $U$. Tìm công cơ học phải thực hiện để chống lại lực điện để tháo tấm ra khỏi tụ điện.

5. Trong mạch được mô tả ở hình 1, các nguồn emf $\mathcal{E}$ và $\mathcal{E}_0$, các điện trở $R$ và $R_0$ cũng như điện dung $C$ của tụ điện đã được biết. Điện trở trong của các nguồn là không thể tránh khỏi. Tìm điện tích trên bản tụ 1.

6. Hai bóng đèn được bật đầu tiên nối tiếp rồi song song (hình 2). Điện trở của bóng đèn thứ nhất là $R_1=360$ Ohm, bóng đèn thứ hai - $R_2=240$ Ohm. Đèn nào tiêu thụ nhiều điện hơn và bao nhiêu lần trong chu kỳ thứ nhất và thứ hai?

7. Hai ma trận toán học bắt đầu dao động đồng thời. Trong cùng thời gian, ma trận thứ nhất tạo ra các dao động $N_1=16$ và ma trận thứ hai $N_2=8$. Tìm tỉ số độ dài của nam châm.

8. Góc tới của ánh sáng trên ranh giới của hai môi trường (khi nó truyền từ môi trường thứ nhất sang môi trường thứ hai) là $a=30^\circ$. Chỉ số tuyệt đối của giả định môi trường thứ hai là $n_2=2,40$. Tìm số mũ tuyệt đối của giả định của môi trường thứ hai nếu góc giữa tia phản xạ và tia giả là $\delta=90^\circ$.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi Yu. N. Volzin, Yu. O. Maksimov, V. P. Popov, S. P. Preobransky, V. A. Chikhachev

Học viện sư phạm bang Leningrad được đặt theo tên. A. I. Herzen

Matematika
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(khoa toán)

1. Tìm phạm vi của một biểu thức
   $$\frac{\sqrt{3}a+\sqrt{3}b}{a^2+b^2}:\left(\frac{a^2-1}{a+b}-\frac{b^2}{a+b}\right)^{-1}$$

và đơn giản hóa nó.

2. Giải phương trình
   $$\log_3(2x+21)-\log_3(4-x)=2^{\log_2 6-1}.$$

3. Chứng minh danh tính
   $$\sin^2\left(\frac{5\pi}{2}+\beta\right)+\sin(\pi-\beta)\cdot(1+\text{ctg}\beta)+\frac{\sin^2\beta}{\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\beta\right)(1+\text{tg}\beta)}=\cos\beta-\sin\beta.$$

4. Hai đường tròn tiếp xúc với cạnh trong tại điểm $N$. Đoạn $MN$ là đường kính của hình tròn lớn hơn. Dây cung $MK$ của vòng tròn lớn tiếp xúc với vòng tròn nhỏ hơn tại điểm $C$. Chứng minh rằng $NC$ là phân giác của $\angle MNK$.

5. Trong một tham số tam giác đều, độ lớn của góc phẳng tại đỉnh là $a$ và khoảng cách ngắn nhất giữa cạnh bên và cạnh đối diện của đáy là $l$. Tìm thể tích của paramid.

Hình 1.
Hình 2.

58

Tùy chọn 2
(Khoa Vật lý)

1. Đơn giản hóa biểu thức
   $$\frac{a-a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}-1}-2a^{\frac{1}{3}}+1) \cdot \frac{1+a^{\frac{1}{3}}}{1-a^{\frac{2}{3}}}.$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$\left(\frac{2}{5}\right)^{x^2-5x+6} < 1.$$
3. Giải phương trình
   $$1+\log_2(x^2-1)=\frac{1+\log_2x \cdot \log_32}{\log_32}.$$
4. Chứng minh tính đúng đắn của đẳng thức
   $$\frac{\sin^2 a}{\cos a(1+tg a)}-\frac{\cos^2 a}{\sin a(1+ctg a)}=\sin a-\cos a.$$
5. Xác định thể tích của một giải thưởng hình lục giác đều nếu biết đường chéo lớn nhất của nó có d và tạo một góc a với cạnh bên của giải thưởng.
   Bài thi vấn đáp
6. Tính toán không có bảng
   $$\frac{\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ}.$$
7. Tìm miền hàm
   $$y=\lg(x^2-x-2)+\frac{x^2-9}{x-3}.$$
8. Tính toán
   $$16^{0,5 \log_4 25-1} \cdot 5^{\log_1\frac{5}{5}}.$$
9. Giải phương trình
   a) $81x=3^{2-\log_3 x};$ 6) $5^x-5^{3-x}=20;$
   b) $\log_3(1+\log_2(1+3\log_2 x))=1.$
10. Giải bất đẳng thức
    a) $\sqrt{x^2-3x-10}>x-2;$ 6) $(3x-1)\log_2 x>0;$
    b) $(0,4)^{4x^2-2x-2}<(0,4)^{3+2x};$
    r) $\log_{\frac{1}{2}}\log_3 x>1.$
11. Tìm giá trị lớn nhất và lớn nhất của hàm y=4x^3-6x^2 trên khoảng [0; 3].
12. Đáy của hình trụ là một hình tam giác chữ nhật; tất cả các cạnh bên của phần gốc có chiều dài bằng nhau. Chứng minh rằng đỉnh của hình gốc chiếu vào giữa cạnh huyền của đáy nó.
13. Cái nào lớn hơn: thể tích của hình cầu có bán kính 1 đối với thể tích của một tứ diện đều có cạnh 4 dm?
14. Tìm thể tích của phễu có bề mặt bên là hình bán nguyệt bán kính R.
15. Chứng minh rằng diện tích của một hình thang hình chữ nhật trong đó có thể mô tả một hình tròn bằng tích của chiều dài hai đáy của nó.
    Vật lý
    Bài thi vấn đáp
    Khoa Vật lý
16. Một vật chuyển động nhanh đều từ trạng thái đứng yên đã đi được một quãng đường nhất định. Tỉ số giữa vận tốc trung bình của vật ở nửa đoạn đường sau và vận tốc trung bình ở nửa đường đầu là bao nhiêu?
17. Hai bình được gắn phía trên một bình chứa nước, từ trên xuống sao cho các bình nằm trong nước. Đổ đầy nước. Đồng thời, mực nước trong chúng là khác nhau. Giải thích hiện tượng quan sát được. Làm thế nào để thay đổi mực nước chỉ trong một bình?
18. Biểu đồ hiển thị ở hình hoặc sẽ vẽ quá trình chuyển hơi nước thành băng. Sử dụng đồ thị, hãy xác định lượng hơi nước ban đầu là bao nhiêu và bao nhiêu hơi nước biến thành băng.
19. Một tia sáng chiếu tới một góc a=30° trên mặt nước đổ vào bể cá. Có một tấm gương phẳng ở đáy bể cá. Khối lượng của nước và tia sáng phát ra thay đổi bao nhiêu lần nếu nước được thay thế bằng một chất lỏng khác có chiết suất gấp đôi nước? Mức chất lỏng là như nhau.
    Khoa Toán
20. Từ điểm A và B, hai vật thể đồng loạt gọi nhau bắt đầu chuyển động. Sau khi chúng được lặp lại, vật thứ nhất, sau t_1=10 s, tiến đến điểm B, và vật thứ hai, đi s=100 m trong t_2=40 s, tiếp cận điểm A. Xác định tốc độ chuyển động của vật nếu chuyển động đều và thẳng.
21. Một hộp thiếc đậy kín chứa đầy nước. Một lỗ nhỏ được khoét trên nắp, đáy và thành bên của lọ. Làm thế nào bạn có thể ngăn nước chảy ra khỏi bình bằng cách chỉ đóng một trong các lỗ?
22. Một nguồn dòng có EMF b=30 V và điện trở trong r=6 Ohm bị ngắn mạch bởi hai điện trở mắc song song. Trong trường hợp này, lượng nhiệt tỏa ra ở điện trở thứ nhất nhiều hơn ba lần và ở điện trở thứ hai - gấp sáu lần so với điện trở trong của nguồn. Hỏi dòng điện chạy qua mỗi điện trở và qua nguồn là bao nhiêu?
    Khoa sư phạm công nghiệp
23. Để tính toán ứng dụng theo chiều dọc, khối lượng có thể chạy được, một tải được treo: đầu tiên ở đầu tự do của nó, sau đó đến giữa. Biến dạng của ứng dụng trong trường hợp đầu tiên sẽ lớn hơn trong trường hợp thứ hai bao nhiêu lần?
24. Có hai khung cửa sổ đôi có cùng kích thước. Khoảng cách giữa các kính là như nhau. Khung thứ hai có một thanh nhảy ngang chắc chắn ở giữa. Những khung này có khác nhau về khả năng truyền nhiệt không? Đáp số bắt buộc.
25. Có một ống bọc giấy bạc treo trên một sợi tơ và hai tấm trên tay cầm cách nhiệt: một tấm bằng zonite, tấm kia bằng thủy tinh pleski. Làm thế nào chúng ta có thể xác định bằng thực nghiệm xem một hộp mực có được tích điện hay không, nếu điện tích của nó nhỏ hơn nhiều so với điện tích được tạo thành do các tấm có sẵn cọ xát với nhau?
    Ấn phẩm đã được chuẩn bị
    L. A. Biryukov, Z. I. Novoseltseva

59

Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova
Toán học
Tùy chọn 1

1. $x = \frac{4}{7}; y = \frac{3}{7}$. Gợi ý. Theo các điều kiện, $\frac{x'}{y'} = \frac{40}{33}(*)$, $x+y=1$. Thay thế $k=1/2$ vào (*), sau khi đơn giản hóa hệ thống, chúng ta thu được $\frac{x(x+2y)}{y(2x+2y)} = \frac{40}{33}, x+y=1$.
2. $x_1 = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}, x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{l\pi}{2} (k, l \in \mathbb{Z})$. Gợi ý. Sử dụng danh tính
   $$\text{ctg} \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \text{ctg} \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{1-2 \cos 2x}{1+2 \cos 2x}.$$
3. $\frac{7}{47}$. Gợi ý. Khám phá sự khác biệt giữa vế trái và vế phải của một đẳng thức gần đúng bằng cách sử dụng một đẳng thức tùy ý.
4. Điểm mong muốn nằm ở khoảng cách $\frac{L \pm \sqrt{12R^2 - 3L^2}}{2}$ với một trong hai đỉnh gần nhau của tam giác ($\sqrt{3}R \leq L \leq 2R$).
5. $\arccos \left( \frac{7}{25} \frac{1}{\cos a/2} \right)$ tại $0 < a < 2 \arccos 7/25$.
   Tùy chọn 2
6. $\frac{7}{64}$. Gợi ý. Trong các khoảng $\frac{1}{4} \leq x < 1; 1 \leq x < 4; 4 \leq x < 9; 9 \leq x \leq 10$, hãy sử dụng một khoảng tùy ý để nghiên cứu sự khác biệt giữa bên trái và bên phải của đẳng thức gần đúng.
7. $x = \frac{\pi}{14} (2k+1) (k \in \mathbb{Z})$.
8. $a^3 + b^3 = 1$. Gợi ý. Thay thế biểu thức $x^3 + y^3 + 2^3 - 3xyz$ với $x, y$ và $z$ biểu thức của chúng thông qua $X, Y, Z$, ta thu được
   $$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (a^3 + b^3)(X^3 + Y^3 + Z^3 - 3XYZ).$$
9. $\frac{2-\sqrt{3}}{4} a$.
10. $|BE| = \frac{2a-p+2\sqrt{(p+a)(p-2a)}}{3}$ nếu $2a<p<3a$; $|BE|=0$ nếu $p=2a$; $|BE|=a$ nếu $p=3a$.
    Tùy chọn 3
11. $\frac{4P}{M} (1+\cos a)$. Gợi ý. Gọi $m_1$ và $m_2$ là khối lượng của các hạt $(m_1+m_2=M)$, và $v_1$ và $v_2$ là tốc độ chúng di chuyển. Từ định luật bảo toàn động lượng suy ra rằng
    $$m_1v_1 - P = \frac{MP \cos a}{M-m_1}.$$
    Ở phía bên kia,

$$v_2 = \frac{P}{M-m_1}.$$
Bởi vì
$$v_1 + v_2 = \frac{MP(1+\cos a)}{(M-m_1)m_1}.$$
Vì đạt được giá trị cao nhất ở $m_1=m_2=\frac{M}{2}$ nên tốc độ hợp nhất thấp nhất là $\frac{4P}{M}(1+\cos a)$.
2. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$.
3. $\{(9, 3)\}$. 4. Tỷ lệ của đoạn lớn nhất và đoạn nhỏ hơn là $k = \frac{p+\sqrt{2p-1}}{1-p}$ nếu $\frac{1}{2} \leq p < 1$. Tại $p=1$ các hình vuông trùng nhau.
5. $\frac{\sin^4 a}{3 \sin \frac{a}{2} \sqrt{4 \sin^2 \frac{a}{2} - 1}} R^3$ tại $\frac{\pi}{3} < a \leq \frac{\pi}{2}$.
Tùy chọn 4

1. 0,6; 0,8.
2. $x = \frac{3}{2}$.
3. $a < -1$. Gợi ý. Gọi $f_a(x)$ là vế trái của bất đẳng thức. Phải là $f_a(1)>1$, $f_a\left(\frac{1}{4}\right)>1$. Theo sau $a<-1$, nhưng với $a<-1$, tất cả $x$ từ khoảng $\left[\frac{1}{4}:1\right]$ đều thỏa mãn bất đẳng thức ban đầu.
4. $x_1 = \pm \frac{\pi}{6} + 2k\pi$; $x_2 = \pm \frac{5\pi}{6} + 2l\pi (k, l \in \mathbb{Z})$.
5. $\frac{1}{6} \sin^2 a \cos \varphi \sin (a-\varphi) \cos a \sin^2(a+\varphi)$.
   Tùy chọn 5
6. 15 km/giờ. 2.1.
7. 2. $\{0, \frac{\pi}{2}; \pi\}$.
8. $] \frac{1}{9}, \frac{1}{3} ] \cup ] 1, +\infty[$. 4. $\frac{3}{4} a$.
9. $\frac{\sqrt{3} \cdot tg a/2}{\sqrt{3} \cdot tg^2 a/2-1} 7$.
   Tùy chọn 6
10. 40 km/giờ; 30 km/giờ. 2.1. $x_1 = \frac{\pi}{2} + k\pi, x_2 = 2l\pi |k, l \in \mathbb{Z}$.
    2.2. $\{arctg 3+k\pi, \frac{\pi}{4}+k\pi |k \in \mathbb{Z}\}$.
    3.1. $\{8/3\}$. 3.2. $\{2, 32\}$.
11. $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$, trong đó $a, b$ là độ dài của một cạnh của hình bình hành, một trong các đỉnh trùng với đỉnh của góc, đỉnh thứ hai trùng với điểm đã cho và phần còn lại nằm trên các cạnh của góc.
12. $b \cos \frac{a}{2} tg \frac{a}{4}$.

Vật lý
Viết thí nghiệm
Tùy chọn 1

1. hình 1 thể hiện các lực tác dụng lên mặt trên của hình lập phương: trọng lực $Mg$, phản lực hỗ trợ $\vec{N}$, lực ma sát $\vec{F}_{\tau}$

60

Hình 1.

và lực căng chỉ $\vec{T}$. Rõ ràng, dưới tác dụng của các lực này, khối lập phương không chỉ có thể chuyển động tịnh tiến mà còn có thể quay. Vì vậy, cần phải phân tích cả hai khả năng.

1. Chuyển động về phía trước.
   Phương trình chuyển động tịnh tiến có dạng:

$$\vec{N} + Mg\vec{T} + \vec{T} + F_{\tau p} = Ma,$$

hoặc (trong các hình chiếu trên trục tọa độ)

$$N - Mg - T \sin \alpha = Ma,$$
$$T \cos \alpha - F_{\tau p} = Ma_x.$$

Vì khối lập phương phải đứng yên nên gia tốc là $\vec{a} = 0$, tức là $a_x = a_y = 0$, từ đó chúng ta có được

$$N = Mg + T \sin \alpha,$$
$$F_{\tau p} = T \cos \alpha = F/2.$$

Vì $0 \leq F_{\tau p} < \mu N$, kết quả cuối cùng là:

$$F < \frac{2\mu Mg}{1 - \mu tg \alpha}.$$

Vì $F > 0$, điều kiện này chỉ là ràng buộc đối với $1 - \mu tg \alpha > 0$. Nếu $\mu tg \alpha \geq 1$ thì xảy ra hiện tượng “kẹt thẻ”, tức là với bất kỳ giá trị nào $F$ khối lập phương không thể di chuyển về phía trước.

2. Xoay vòng.

Khối lập phương có thể bị lật bằng cách quay quanh trục đi qua điểm $O$, tại đó sẽ tác dụng phản lực $\vec{N}$ khi bị lật. Giá trị cực đại của lực căng của sợi dây, tại đó khối lập phương chưa bị lật, có thể tìm được từ điều kiện tổng mômen của các lực bằng 0:

$$Mg \frac{a}{2} - Ta \cos \alpha = 0.$$

Xét rằng $T \cos \alpha = F/2$, chúng ta nhận được

$$F = Mg.$$

Rõ ràng là nó không gây lật úp nếu

$$F < Mg.$$

(2)

Xét các điều kiện (1) và (2) cùng nhau, ta thấy rằng khi

$$\mu < \mu^*(a) = \frac{1}{2 + tg \alpha}$$

một khối lập phương có chiều cao $F$ sẽ trượt, nhưng nếu thỏa mãn bất đẳng thức ngược lại thì nó sẽ đổ.

Kết quả đáp số có thể được tìm thấy và thể hiện bằng đồ họa. Hình2 tương ứng với $a$ cố định tiếp theo, mà $0 < tg \alpha < 2$. Giá trị cho phép của tham số $F/Mg$ và $\mu$ nằm trong vùng bóng mờ (vùng $\mu \leq 1$ có ý nghĩa vật lý). Tại $\alpha \to 0$ giá trị là $\mu^* \to 1/2$ và $\mu_{\kappa p}(\alpha) \to \infty$. Tại $tg \alpha > 2$ giá trị $\mu_{\kappa p}$ nằm trong khoảng $\mu^*(\alpha) < \mu_{\kappa p}(\alpha) < 1/2$.

2. Điều kiện cân bằng là áp suất bên ngoài không tĩnh điện bằng tổng áp suất của các khí ở trạng thái đó. Sử dụng điều kiện này, cũng như phương trình trạng thái khí lý tưởng

$$pV = \frac{m}{M} RT,$$

chúng tôi nhận được trạng thái ban đầu

$$p_1 = \frac{2M_2p_0}{M_1 + M_2} = \frac{14}{15} p_0$$ và

$$p_2 = \frac{M_1}{M_2} p_1 = \frac{16}{15} p_0,$$

trong đó $p_0$ là áp suất bên ngoài, $p_1$, $p_2$ là áp suất của oxy và nitơ trong bình, còn $M_1$ và $M_2$ là khối lượng mol của chúng. Vì trong quá trình nung nóng $pV^2 = const$ nên sử dụng phương trình khí lý tưởng có thể chứng minh được rằng $TV = const,$

chúng ta đến từ đâu

62

4. Vì chiết suất của không khí nhỏ hơn chiết suất của nước nên tác dụng của bong bóng tương đương với tác dụng của một đường tán xạ, làm biến đổi một chùm tia song song thành một chùm tia phân kỳ. Nếu giao điểm của các tia phân kỳ mở rộng cách đường thẳng ở khoảng cách lớn hơn tiêu cự thì nên đưa màn ra khỏi đường thẳng đó. Nếu khoảng cách chỉ định bằng hoặc nhỏ hơn tiêu cự thì không thể thu được hình ảnh rõ nét trên màn hình.

Bài thi vấn đáp

1. Độ sâu ngâm của cơ thể sẽ không thay đổi.
2. $M_r = M_B \frac{m_3 - m_1}{m_2 - m_1} \frac{p_0}{p} = 48$ kg/kmol (ở đây $M_B = 29$ kg/kmol là khối lượng mol của không khí, $p_0 = 1$ atm là áp suất khí quyển bình thường).
3. $\Delta T = \frac{AT}{pV} = 9,5$ K.
4. $x = \frac{UL^2}{2dv^2} \frac{e}{m} \approx 6 \cdot 10^{-3}$ m.
5. $R = \frac{U^2}{P} \frac{a}{(1+a)^2} \approx 9$ Ohm (ở đây $a = 0,1$).
6. Đối tượng phải ở khoảng cách $d < F/3 = 10$ cm so với dòng đầu tiên.
7. $\lambda_2 = \lambda_1 \frac{k^2 \lambda_{\max}}{\lambda_{\max} - (1-k^2) \lambda_1} \approx 540$ nm.

Viện Bách khoa Leningrad được đặt theo tên. M. I. Kalinina

Toán học
Tùy chọn 1

1. $a^{-\frac{1}{15}} \cdot b^{-\frac{1}{3}}$ tại $b > 0, a > 0$.
2. $[5; +\infty] \cup \{4\}$.
3. 2,25; 0,75$\sqrt{11}$; 0,25$\sqrt{105}$. Gợi ý. Đỉnh $S$ được chiếu ở tâm của đường tròn nội tiếp hoặc ở tâm của một trong các đường tròn bên ngoài*).
4. Gợi ý. Nhiệm vụ tập trung vào việc nghiên cứu hàm $f(x) = 2\sqrt{\cos x} + \sqrt{-\cos 2x}$ cho $x \in [\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$.
   Tùy chọn 2
5. $\{\sqrt{2}; 2\}$; 2. $x_1 = \frac{\pi}{4} (2k+1); x_2 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

*) Hình tròn ngoại tiếp là hình tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và được kéo dài bởi hai cạnh còn lại.

3. $D(f) = 0; 1[ \cup ] 1; +\infty[; E(f) = 0; +\infty[.$
4. $(1+\sqrt{3})/6; (\sqrt{1+\sqrt{3}})/3.$ Gợi ý. Có thể xảy ra hai trường hợp: 1) $\triangle ABC \cong \triangle ASC$ và 2) $ACS = CAS = \frac{5\pi}{12}, ABS = \frac{7\pi}{12}$, vì theo định lý sin $\frac{\sin ACS}{|AS|} = \frac{\sin ASC}{|AC|} = \frac{\sin ABS}{|AS|}$, tức là $\sin ACS = \sin ABS$. Do đó, $ACS = ABS = \frac{7\pi}{12}$ rồi $\triangle ABC \cong \triangle ASC$ hoặc $ACS = \pi - ABS = \frac{5\pi}{12}$ rồi xảy ra trường hợp 2.

Vật lý

1. $v_{cp} = \frac{3}{1/v_1 + 1/v_2 + 1/v_3} \approx 2,9$ m/s.
2. $Q = f(l_0 - f/(2k))$; công của lực ma sát tác dụng lên dây biến thành nhiệt năng.
3. $M = \frac{QRT}{p} 10^3 \approx 58,8$ kg/kmol;
   $m_0 = \frac{M}{10^3 N_A} \approx 9,7 \cdot 10^{-26}$ kg
   (ở đây $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}$ 1/mol là hằng số Avogadro).
4. $A_{max} = (\varepsilon - 1)C_0U^2/2$ (ở đây $\varepsilon$ là hằng số điện môi của thủy tinh).
5. $q = \frac{C(\theta_0 - \theta)R}{R_0 + R}$.
6. Trong trường hợp thứ nhất, bóng đèn thứ nhất tiêu thụ điện năng gấp 1,5 lần bóng đèn thứ hai và trong trường hợp thứ hai, bóng đèn thứ hai tiêu thụ điện năng gấp 1,5 lần bóng đèn thứ nhất.
7. $l_1/l_2 = (N_2/N_1)^2 = 1/4$.
8. $n_1 = n_2/tg a \approx 4,15$.

Học viện sư phạm bang Leningrad được đặt theo tên. A. I. Hertsenna
Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Biểu thức được xác định tại $a \geq 0, b \geq 0, a \neq b$ và bằng $\frac{a+b}{a-b}$ tại $a > b$ và $\frac{a+b}{b-a}$ tại $a < b$.
2. {3}.
3. Gợi ý. Đặt $O_1$ và $O_2$ là tâm của các vòng tròn này (hình 7). Vì $MCO_2 = MKN = 90^\circ$, các đường $CO_2$ và $KN$ song song với nhau. Do đó $\hat{1} = \hat{2}$, nhưng $\hat{1} = \hat{3}$, vì tam giác $O_2CN$ là đều.

63

5. $v_n = \frac{l^3}{3 \sin \frac{3}{2} a}$.

Gợi ý. Đặt trong tham số $SABC$ điểm $D$ là trung điểm của $BC$, $DK$ đường vuông góc chung của $AS$ và $BC$, $O$ đáy của chiều cao, $|BC| = x$. Tìm $x$ từ trận đấu $|KD| \cdot |AS| = |SO| \cdot |AD|$ bằng cách biểu diễn đầu tiên $AD$, $SO$, $AS$ theo $l$, $x$ và $a$.

Tùy chọn 2

1. 1, 2. ] - $\infty$; $-\frac{1}{2} [\cup] 2$; $\infty$. {2}.
2. ] - $\infty$; $-1 [\cup] 2$; $3 [\cup] 3$; $\infty$.
3. $\frac{5}{16}$.
4. a) $\left\{\frac{1}{3}\right\}$; 6) {2}; b) {2}.
5. a) ] 14; $\infty$; $[; 6)$ ] 0; $\frac{1}{3} [\cup] 1$; $\infty$; b) ] - $\infty$;
   $\frac{1-\sqrt{6}}{2} [\cup] \frac{1+\sqrt{6}}{2}$; $\infty$; $\sqrt{3}$.
6. $y_{\min} = y(1) = -2$;
   $y_{\max} = y(3) = 54$.
7. Thể tích của tứ diện đều có cạnh 4 lớn hơn thể tích của hình cầu bán kính 1.
8. $\frac{\pi R^3}{24} \sqrt{3}$.

Vật lý

Khoa Vật lý

1. $v_{cp2}/v_{cp1} = \sqrt{2} + 1 \approx 2,4$.
2. Sự chênh lệch mực nước được giải thích là do sự chênh lệch áp suất không khí trong bình (áp suất càng lớn khi mực nước càng thấp). Để thay đổi mực nước trong một trong các bình, bạn cần thay đổi áp suất không khí trong bình bằng cách làm nóng hoặc làm mát bình, chẳng hạn như dùng vải thấm nước nóng hoặc lạnh.
3. $m_1 = 1$ kg; $m_2 \approx 0,35$kg.
4. Khoảng cách giữa các dầm sẽ giảm khoảng 2,2 lần.

Khoa Toán

1. $v_1 = s/t_2 = 5$ m/s; $v_2 = s/\sqrt{t_1 t_2} = 2,5$ m/c.
2. Sau khi đóng một trong các câu trả lời (hoặc), bạn cần xoay lọ cho đến khi hai câu trả lời còn lại ở cùng mức ngang.
3. $I_r = \frac{\theta}{10r} = 1/2A$; $I_{R1} = 1/6A$; $I_{R2} = 1/3A$.

Khoa công nghiệp và sư phạm

1. Biến dạng của lò xo ở trường hợp thứ nhất lớn hơn ở trường hợp thứ hai 2 lần.
2. Sự truyền nhiệt xảy ra thông qua bức xạ, dẫn nhiệt và đối lưu. Hai quá trình đầu tiên cho cả hai khung được thực hiện như nhau. Đối lưu cho khung thứ hai sẽ khó khăn nên khung thứ hai sẽ giữ cơ thể trong nhà tốt hơn.
3. Cần đặt các tấm tựa vào nhau, sắp xếp chúng song song (để tạo ra trường điện đồng đều) và đặt một ống bọc giữa chúng. Nếu hộp mực rời khỏi vị trí cân bằng, điều đó có nghĩa là nó đã được nạp.

Trang cờ vua
(xem «Kvant» số 1)

Nhiệm vụ 1 (A. Kazantsev, 1949-1950).

1. Nc2 Bg7 2. c7 Rc6 3. a7 Rl:c2 4. Cd2 a2
2. a8Ф a1Ф 6. Ф:a1 C:a1 7. c8Ф+! Rl:c8
3. Cc3! Rb8 9. Cb2! Đường 8 10. Cd4! Re8 11. Ce5!
   Bất chấp quân xe bổ sung và sự bất lực hoàn toàn của vị giám mục đang tức giận, Đen buộc phải lặp lại các bước đi của mình, cam chịu một trận hòa!
   Nhiệm vụ 2 (A. Kazantsev, 1953). 1. Rb7! Qe5
4. Cd1+ Kra5 3. b4+ Kra6 4. Ce2+! Qe2
5. Kb8! Qe5+ 6. Kc8 Qe8+ 7. Kc7 C:d5
6. a8F+!! Q:a8 9. Rb6+ Kra7 10. b5 Cb7
7. Ra6+! C:a6 12. b6×!
   A. Karpov nói về màn này: “ijd này xứng đáng thu hoạch cao nhất. Nó có một cái kết duyên dáng đến bất ngờ, trước đó là một trò chơi mở đầu hấp dẫn.”
   Lượng tử dành cho học sinh nhỏ tuổi
   (xem «Kvant» số 2)
8. Nếu 16 cuốn sổ có giá $x$ rúp và với 1 rúp bạn có thể mua $x$ cuốn sổ, thì một cuốn sổ có giá $x:16$ và $1:x$, tức là $x/16=1/x$, từ đó $x^2=16$, tức là $x=4$, và một cuốn sổ có giá $1:4=0,25$ rúp.
9. Chúng ta hãy biểu thị quãng đường đã đi trên những lời nói dối ngày hôm nay là $x$ và ngày hôm qua là $y$. Sau đó ngày hôm kia đã đi được quãng đường $y+3$ km. Từ mối quan hệ thứ hai, nó dẫn đến $y+40=y+3+x$. Từ đây $x=37$ km.
10. Trong một đa giác mà mỗi cạnh đều thẳng đứng thì số cạnh là chẵn, vì các cạnh của nó xen kẽ tuần tự: dọc - ngang - dọc - … - ngang.
11. Phát biểu này vi phạm định luật bảo toàn năng lượng.
    «Kvant» cho học sinh nhỏ
    (xem «Kvant» số 3)
12. 1+2=3
13. -1+2+3=4
    12-3-4=5
    1+2-3-4+5+6=7
    1+2+3-4+5-6+7=8
    12+3+4-5-6-7+8=9.
14. Ở vị trí đầu tiên là 6 “G”, ở vị trí thứ hai là 6 “A”, ở vị trí thứ ba là 6 “B” và ở vị trí thứ tư là 6 “B”.
15. 6, 2 và 1.
16. 1+2+3+…+12+14=92.
17. Không khí trong một tấm kính nóng nóng lên từ các bức tường của nó, nở ra và bắt đầu thoát ra từ dưới tấm kính. Một “đệm không khí” được hình thành, do đó ma sát giảm mạnh và kính bắt đầu trượt dọc theo bàn theo hướng nghiêng của bàn, ngay cả khi độ nghiêng này hầu như không đáng chú ý.

bìa của chúng tôi
(xem «Kvant» số 3)
Nhiệm vụ với bốn trang bìa của số thứ ba là một minh họa rõ ràng cho thấy một thực tế là một bản vẽ rất chi tiết thậm chí có thể khiến việc tìm kiếm lời giải hơi khó khăn. Từ hình vẽ trên bìa số thứ ba, bạn sẽ thấy góc mong muốn có độ lớn bằng góc phẳng ADO, trong đó O là tâm của quả cầu (đường thẳng DA vuông góc với BD (tuyến tính).

64

các hốc giao nhau của mặt phẳng) theo điều kiện và DO - theo định lý ba đường vuông góc (hình chiếu của đường thẳng DO lên mặt phẳng ABC là đường thẳng DA)); sau đó, bạn có thể loại bỏ các chi tiết không cần thiết của bản vẽ (hình 8) và chuyển sang lời giải.

Đầu tiên là lời giải. Gọi φ là giá trị của góc mong muốn; thì tan φ=OA:DA=2R:a, trong đó R là bán kính quả cầu, a là độ dài cạnh đáy của đường thẳng. Chúng ta hãy biểu thị R thông qua a bằng cách soạn và lập phương trình hai biểu thức về khoảng cách OS từ tâm quả cầu đến đỉnh của đường thẳng. Từ tam giác vuông OPS (P là điểm tiếp tuyến của đường thẳng BS với quả cầu) ta có

$$OS^2=OP^2+PS^2=R^2+(a-b)^2$$

(1) (PS=PB=BS=BA-BS=a-b, trong đó b là độ dài cạnh bên của đường thẳng; các đoạn BP và BA bằng nhau là các tiếp tuyến được vẽ với quả bóng từ một điểm).

Từ tam giác OAS có góc OAS bằng 45° (AO vuông góc với mặt phẳng ABC và đường thẳng AS nghiêng với nó một góc 45°), sử dụng định lý cosin ta thu được đẳng thức thứ hai:

$$OS^2=OA^2+AS^2-2OA \cdot AS \cdot \cos 45^\circ = R^2+b^2-Rb\sqrt{2}.$$

(2) Bây giờ chúng ta biểu thị b đến a từ các tam giác vuông AHS và AHD (SH là chiều cao của đường thẳng):

$$b=AS=AH\sqrt{2}=AD \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2}=a\sqrt{\frac{2}{3}},$$

Hãy thay biểu thức này vào (1) và (2) và đánh đồng vế phải của các quan hệ sau:

$$R^2+\left(1-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2a^2=R^2+\frac{2}{3}a^2-\frac{2}{\sqrt{3}}Ra,$$

Chúng tôi có:

$$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BA} \cdot (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AO})=\overrightarrow{BA}^2(\angle BAO=90^\circ).$$

Tương tự như vậy,

$$\overrightarrow{BS} \cdot \overrightarrow{BO}=(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HS}) \cdot (\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AO})=\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{HS} \cdot \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{BA} \cdot \cos 30^\circ+HS \cdot AO.$$

Thay thế các biểu thức này vào (3) và thu được $\angle HBS=45^\circ$, chúng ta thu được đáp số.

Tổng biên tập - Viện sĩ Yu. A. Osipyan
Phó Tổng biên tập thứ nhất - Viện sĩ A. N. Kolmogorov
Phó Tổng biên tập: L. G. Aslamazov, A. A. Leonovich, V. A. Leshkovtsev, Yu. P. Solovyov
Tuyển tập biên tập: M. I. Bashmkov, V. E. Belonuchkin, V. G. Boltyansky, A. A. Borovoy, Yu. M. Bruk, V. V. Vavilov, N. V. Vasiliev, S. M. Voronin, V. V. Gnedenko, V. L. Gutenkhacher, N. P. Dolbilin, V. N. Dubrovsky, A. N. Zemlykov, A. R. Zilberman, A. I. Klimanov, S. M. Kozel, S. S. Krotov, L. D. Kudryavtsev, E. M. Nikshin, S. P. Novikov, M. K. Potapov, V. G. Razumovsky, N. A. Rodina, N. H. Rozov, A. P. Savin, Ya. A. Smorodinsky, A. V. Sosinsky, V. M. Urovev, V. A. Fabrikant
Ban biên tập: A. M. Baldin, S. T. Belev, V. V. Bukhovtsev, E. P. Velikov, I. Ya. Verchenko, V. V. VozvRIzhensky, G. V. Dorofeev, N. A. Ermolaeva, A. P. Ershov, Yu. V. Ivanov, L. V. Kantorovich, V. A. Kirillin, G. L. Kotkin, R. N. Kuzmin, A. A. Logunov, V. V. Mozhaev, V. A. Orlov, N. A. Patrikeva, R. Z. Sagdeev, S. L. Sobolev, A. L. Stasenko, I. K. Surin, E. L. Surkov, L. D. Faddeev, V. V. Firsov, G. N. Ykovlev

Số đã được chuẩn bị:
A. N. Vilenkin, V. N. Dubrovsky, A. A. Egorov, V. M. Ivlev, T. S. Petrova, A. V. Sosinsky, V. A. Tikhomirova

Số đã được phát hành:
A. V. Boldin, E. V. Vinodarova, V. V. Gubin, M. V. Dubakh, P. P. Lakhtunov, I. E. Smirnova, E. K. Tenchurina, E. S. Shabelnik

Ảnh được gửi bởi:
V. P. Shevchenko

Trưởng ban biên tập L. V. Chernova

biên tập nghệ thuật
E. A. Smirnov

Biên tập viên nghệ thuật T. M. Makarova

Người hiệu đính M. L. Medvedskaya

103006 Mátxcơva K-6, st. Gorky, 32/1, •Kvant→, tel. 250-33-54

Giao hàng vào ngày 16/02/85. Đã ký xuất bản 27/03/85
In offset. CR.-ott có điều kiện. 23,8
Vumaga 70×10 1/16
Lò nướng có điều kiện l. 5,60. Biên tập học thuật. tôi. 7,53. T-07435
Lưu hành 178.412 bản. Giá 40 kopecks. Đặt hàng 397

Lệnh thay thế lao động đỏ
Nhà máy in Chekhov
VO •Sozozoligraphprom→
Ủy ban Nhà nước Liên Xô
về xuất bản, in ấn và kinh doanh sách
142300, Chekhov, khu vực Moscow