Công chúa Dido, máy đo đường đẳng nhiệt và phim xà phòng

22

Công chúa Dido, máy đo đường đẳng áp và phim xà phòng

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. V. TROFIMOV

Bài viết này đề cập đến một loại công thức cơ bản bài toán, được biết đến từ thời Hy Lạp cổ đại. Cho biết những bài toán này phát sinh như thế nào, chúng được giải quyết bằng toán học như thế nào và lời giải của chúng có thể được mô phỏng bằng cách sử dụng màng xà phòng như thế nào. Bài viết dành cho học sinh lớp 8, nhưng chúng tôi hy vọng nó cũng sẽ cấm những độc giả lớn tuổi hơn.

Truyền thuyết về công chúa Dido

Cách đây rất lâu, công chúa vật lý Dido cùng với một biệt đội nhỏ cống hiến cho cô đã rời quê hương Tyre, chạy trốn sự phản bội của anh trai cô, bạo chúa Pygmalion. Các con tàu của cô đi về phía tây qua Biển Địa Trung Hải và bụi bặm, được thúc đẩy bởi một cơn gió lành, cho đến khi Dido tìm được một nơi thuận tiện để định cư trên bờ biển Châu Phi, nơi ngày nay là Vịnh Tunisia.

Các bác sĩ đổ bộ không được người dân địa phương, những người Numidian chào đón nồng nhiệt. Vua của Numidian, Yarb, nói chuyện một cách hiếu chiến và lịch sự với vị khách không mời. Anh ta nhận số đồ trang sức mà Dido đưa ra để mua đất, nhưng kiên quyết tuyên bố rằng đổi lại anh ta đồng ý chỉ đưa cho cô một chiếc chìa khóa đất “có thể được bao quanh bởi một tấm da bò”. Công chúa ngoan ngoãn đồng ý. Yarb nhận ra sự xảo quyệt và xảo quyệt của nhà vật lý đã quá muộn: Dido đã làm một chiếc thắt lưng mỏng và dài từ da bò đực và dùng nó để rào chắn một khu vực quan trọng tính từ bờ biển. Yarb có đầu óc đơn giản nhưng trung thực không từ chối lời nói này. Và Dido đã thành lập thành phố Carthage trên địa điểm này. Để tưởng nhớ câu chuyện này, thành trì của người Carthage được đặt tên là “Birsa”, theo ngôn ngữ của cư dân Carthage có nghĩa là “da bò”.

Lưu ý rằng quy mô của lãnh thổ ban đầu có thể khá lớn. Hãy tưởng tượng tấm da bò đực như một miếng hình chữ nhật có kích thước 1x2 m và chúng ta sẽ giả sử rằng Dido cắt da thành các dải rộng 1 mm theo mẫu hiển thị trong hình 1. Sau đó, thật dễ dàng để tính chiều dài của quả remon thu được - nó sẽ bằng khoảng 2 km, sao cho Dido trong trường hợp này có thể nở ra từ bờ biển (mà chúng ta sẽ coi là thẳng), chẳng hạn, một phần hình chữ nhật có kích thước 0,5 km² = 500 m×1000 m.

Truyền thuyết ghi niên đại của các sự kiện được mô tả là vào năm 825 trước Công nguyên. đ. và tất nhiên, chúng ta khó có thể đánh giá độ tin cậy của chúng. Nhưng điều khiến chúng ta quan tâm ở đây không phải là các sự kiện lịch sử mà là bài toán bài toán, mà rõ ràng Dido đã phải giải:

Vấn đề 1 (Vấn đề của Dido).

Một trục có chiều dài vật lý L phải được đặt như thế nào để nó ngăn cách một mảnh đất có diện tích tối đa với bờ thẳng?

Phương pháp đẳng giác bài toán

Vấn đề của Dido là một phần của trường hợp đẳng tích bài toán. Tên này xuất phát từ hai từ tiếng Hy Lạp isos - bằng nhau và perimetron - phép đo, chu vi. Isopermetric bài toán là sự hoàn hảo nhất định của các hình có cùng độ dài đường viền (cùng pe-

24

Hình 2.

Thật vậy, đường đi của hình ABCD có chu vi p thì dây AC chia đôi chu vi (hình 3). Chúng ta hãy biểu thị bằng $S_1$ diện tích của hình ABC và $S_2$ diện tích ADC. Giả sử rằng $S_1 > S_2$. Sau đó, chúng ta dựng hình mới ABCEA, thay đường thẳng ADC bằng đường thẳng AEC, đối xứng với ABC của dây cung tương đối AC. Hình mới ABCEA, có cùng chu vi, có diện tích lớn hơn diện tích của hình ban đầu đầu tiên, vì diện tích của hình mới là $2S_1$ và diện tích của hình ban đầu đầu tiên là $S_1 + S_2$, trong khi theo giả định là $S_1 > S_2$ và do đó, $2S_1 > S_1 + S_2$. Do đó, trong giả định, số liệu ABCD không phải là số lớn nhất. Điều này chứng tỏ giả định $S_1 > S_2$ là sai. Người ta cũng chứng minh tương tự rằng giả định $S_1 < S_2$ dẫn đến mâu thuẫn. Cuối cùng, $S_1 = S_2$.

Chúng ta hãy gọi bất kỳ dây cung nào chia chu vi của một hình cho một nửa đường kính của nó.

Tài sản thứ ba. Bất kỳ đường kính nào của bất kỳ hình cực đại nào đều có thể nhìn thấy được từ tất cả các điểm trên đường viền của nó ở các góc vuông (nghĩa là, đối với mọi đường kính AC và bất kỳ điểm B nào của đường viền, góc ABC là 90°).

Để chứng minh tính chất này, chúng ta cần tính chất sau của tam giác: trong tất cả các tam giác có hai cạnh cho trước, tam giác nào có hai cạnh này bằng nhau thì có diện tích lớn nhất. Chúng tôi coi phát biểu này như một bài tập dễ dàng cho người đọc và chuyển sang phần chứng minh tam giác. Giả sử rằng đường kính neoctor AC của hình ABCD có chu vi p nhìn thấy được từ một điểm B nào đó trên đường viền của nó không vuông góc: $\angle ABC \neq 90^\circ$

Hình 3.

(hình 4). Hãy chứng minh rằng trong trường hợp này hình ABCD không có diện tích lớn nhất tại một chu vi cố định p. Hãy biểu thị diện tích của các hình ABC và ACD bằng $S_1$ Và $S_2$ tương ứng. Hãy xây dựng một tam giác vuông $A'B'C'$ với góc vuông ở đỉnh $B'$ như vậy $A'B' = AB$. Nói cách khác, hãy di chuyển hoặc mở rộng các cạnh AB và BC, giữ nguyên độ dài của chúng để chúng tạo thành ở đỉnh $B'$ góc phải. Sang hai bên $A'B'$ Và $B'C'$ hãy áp dụng các phân đoạn $A'E'B'$ Và $B'F'C'$ (hình 5), bằng các đoạn tương ứng trên hình 4. Dựa vào tam giác nguyên tố cực đại ta có bất đẳng thức $S_{\triangle A'B'C'} > S_{\triangle ABC}$. Do đó, diện tích của hình $A'E'B'F'C'A'$ khu vực rộng lớn $S_1$ hình bắt đầu đầu tiên. Gắn vào hình $A'E'B'F'C'A'$ đối xứng với nó quanh trục $A'C'$ nhân vật $A'K'D'L'C'A'$, chúng ta có được một hình $A'E'B'F'C'L'D'K'A'$ với chu vi góc vuông p, nhưng có diện tích lớn hơn (hình 6). Vì vậy, hình ABCD không cực đại nếu ít nhất từ ​​một điểm trên đường viền của nó, đường viền của một điểm B nào đó trên đường viền của nó không vuông góc.

25

Từ thuộc tính thứ ba, ngay lập tức cho thấy con số tối đa cần thiết là một hình tròn. Thật vậy, hãy chọn đường kính tùy ý; thì đường viền của hình, theo tính chất thứ ba, bao gồm các đỉnh của góc vuông dựa trên đường kính này, nghĩa là nó là một hình tròn. Q.E.D.

Lập luận của Steiner nêu trên được lấy từ cuốn sách thay thế nhưng khó tìm của A. B. Kryzhanovsky “Isoperimeter” (M.-L., Fizmatlit, 1959). Thoạt nhìn có vẻ như nó hoàn thành việc chứng minh định lý chính về máy đo đường đẳng tốc. Tuy nhiên, chúng tôi đã đưa ra một đề xuất không đủ tiêu chuẩn trong đó. Cụ thể, ngay từ đầu chúng tôi đã đề xuất rằng lời giải đẳng cấu cơ bản bài toán tồn tại.

Đây là một lời đề nghị bất hợp pháp. Một ví dụ nổi bật cho thấy sự tồn tại của lời giải phải được chứng minh là bằng cách sửa đổi nghịch lý Perron sau đây.

“Định lý”. Trong số các hình vuông, hình vuông có cạnh bằng 1 là hình vuông phẳng nhất.

Hình 5.

Từ thuộc tính thứ ba, ngay lập tức cho thấy con số tối đa cần thiết là một hình tròn. Thật vậy, hãy chọn đường kính tùy ý; thì đường viền của hình, theo tính chất thứ ba, bao gồm các đỉnh của góc vuông dựa trên đường kính này, nghĩa là nó là một hình tròn. Q.E.D.

Lập luận của Steiner nêu trên được lấy từ cuốn sách thay thế nhưng khó tìm của A. B. Kryzhanovsky “Isoperimeter” (M.-L., Fizmatlit, 1959). Thoạt nhìn có vẻ như nó hoàn thành việc chứng minh định lý chính về máy đo đường đẳng tốc. Tuy nhiên, chúng tôi đã đưa ra một đề xuất không đủ tiêu chuẩn trong đó. Cụ thể, ngay từ đầu chúng tôi đã đề xuất rằng lời giải đẳng cấu cơ bản bài toán cấu thành sự biến đổi sau đây của nghịch lý Perron.

“Định lý”. Trong số các hình vuông, hình vuông có cạnh bằng 1 là hình vuông phẳng nhất.

Hình 6.

Cho hình vuông cạnh $b=a^2$ có diện tích lớn nhất. Hãy xem xét hai trường hợp: $a<1$ và $a>1$. Nếu $a<1$ thì $a^2<1$ và diện tích hình vuông cạnh $a$ không phải là lớn nhất (nhỏ hơn diện tích hình vuông đơn vị). Nếu $a>1$, chúng ta lấy hình vuông ở cạnh $b=a^2$. thì $b>a$ (kể từ $a>1$), và diện tích hình vuông có cạnh $b$ sẽ là $b^2$, hơn nữa là $b^2>a^2$ (kể từ $b>a$). Điều này có nghĩa là hình vuông có cạnh $a$ không có diện tích lớn nhất, trái với giả định. “Định lý” đã được chứng minh.

Tất nhiên, người đọc sẽ hiểu lý do này có gì sai. Tuy nhiên, nó được thực hiện theo sơ đồ tương tự như phép đo đẳng tích “lời giải” ở trên bài toán, cho phép sử dụng chế độ xem toàn diện.

Cấu trúc lời giải của bài toán này được đưa ra trong sách giáo khoa hiện đại về phép tính biến phân. Có thể thu được bằng chứng thuyết phục về sự tồn tại từ các thông điệp “sơ cấp”, nhưng trên con đường này sẽ cần phải kiểm tra một lý luận khá tinh vi “bằng tính liên tục”; chúng tôi sẽ không đề cập đến vấn đề này ở đây mà giới thiệu cho người đọc cuốn sách được trích dẫn của A. B. Kryzhanovsky hoặc cuốn sách của R. Courant và W. Robbins “Toán học là gì” (M., “Prosveshchenie”, 1967, trang 408). Đối với độc giả hiện đang nghi ngờ sự tồn tại của lời giải đẳng tích bài toán, chúng tôi khuyên bạn nên chuyển sang phần cuối cùng của bài viết của chúng tôi.

Lời giải bài toán

Mục tiêu trước mắt của chúng tôi là mang lại lời giải trong số bốn đường đẳng lượng được hình thành trước đó bài toán. Khi làm như vậy, chúng ta sẽ đề xuất rằng tính chất đẳng giác của đường tròn đã được biết.

Lời giải bài toán Điốt. Đặt $ABC$ và $A'B'C'$ đại diện cho một hình bán nguyệt và một số hình khác thỏa mãn tất cả các điều kiện của bài toán. Bằng cách thêm vào các hình này các hình $ADC$ và $A'D'C'$, đối xứng với các hình đầu tiên so với trục $AC$ và $A'C'$, chúng ta sẽ tạo ra hai hình mới: hình tròn $ABCD$ và một hình khác với hình tròn $A'B'C'D'$, chu vi của chúng bằng 2l. Theo chính

26

Theo định lý isopermeter, diện tích hình tròn $ABCD$ lớn hơn diện tích hình $A'B'C'D'$. Do đó, diện tích của hình là $A'B'C'$ và nửa hình tròn $ABC$ sẽ là nghiệm của bài toán Diodons.

Lời giải bài toán 2. Đáp số sẽ là một cung tròn $AB$ có chiều dài $p$ (hình 7). Cách chứng minh cũng giống như ở bài toán trước: cung $AB$ phải được mở rộng thành một đường tròn và áp dụng tính chất đẳng giác của đường tròn.

Lời giải bài toán 3. Đáp số sẽ là một cung $\delta$ của một đường tròn có tâm ở đỉnh góc $O$, chiều dài $p$. Để chứng minh điều này, hãy vẽ thêm 6 tia nữa từ điểm $O$ sao cho mặt phẳng được chia thành 8 góc dọc theo $45^\circ$. Nếu đáp số - đường cong $\gamma$ - khác với cung $\delta$, thì chúng ta có thể dựng ở mỗi góc trong số bảy góc dựng sẵn một thể hiện của đường cong $\gamma$, và khi đó đường viền của các đường cong này (chiều dài $8k$) sẽ giới hạn một diện tích lớn hơn diện tích của chu vi hình tròn $8p$, đặt câu hỏi về tính chất đẳng giác krugga.

Lời giải bài toán 4. Đáp số sẽ là một cung tròn có tâm nằm ở một trong các đỉnh. Chúng tôi để lại cho người đọc một bằng chứng tương tự như phần trước, cũng như tính bán kính của một vòng tròn độc quyền.

Phim về chuột

Đối với những độc giả đã bắt đầu nghi ngờ sự tồn tại của lời giải đẳng quang bài toán, cũng như đối với tất cả những người yêu thích các thí nghiệm vật lý đỏ, chúng tôi đưa ra một số thí nghiệm rất đơn giản với màng xà phòng để xác nhận tính đúng đắn của lời giải của chúng tôi. Tất nhiên, thí nghiệm vật lý không thể thay thế một chứng minh toán học chặt chẽ; nó chỉ làm cho kết quả trở nên hợp lý hơn.

Để thử nghiệm thí nghiệm đầu tiên - đơn giản nhất, bạn sẽ cần dung dịch xà phòng bão hòa (tốt hơn là sử dụng xà phòng chữa cháy tốt, bạn có thể thêm một ít glycerin), dây mỏng, sợi chỉ thông thường; đối với cái tiếp theo, bạn cũng sẽ cần những chiếc vòng nhỏ (trượt tự do dọc theo dây) và một vài ống hút thẳng mỏng.

Trải nghiệm đầu tiên Nhúng khung dây vào dung dịch xà phòng và cẩn thận lấy ra khỏi đó. Khung sẽ được phủ một lớp màng mỏng nước xà phòng. Nó nổi trên phim, có hình dạng bất thường (ảnh 1). Sau đó dùng một góc nóng xuyên qua màng bên trong vòng lặp - vòng lặp ngay lập tức và chính xác có dạng hình tròn (ảnh 2).

Hiện tượng được mô tả được giải thích như sau: từ các nguyên tắc vật lý nói chung, vị trí cân bằng ổn định của màng xà phòng tương ứng với năng lượng tối thiểu của lực căng của nó.

27

Zhenya; đương nhiên, năng lượng truy cập tối thiểu nằm ở diện tích bề mặt tối thiểu bên ngoài vòng ren, nghĩa là ở diện tích lỗ tối đa.

Do đó, thí nghiệm này chứng minh tính đúng đắn của lời giải của phép đẳng giác cơ bản bài toán.

Kinh nghiệm thứ hai. Bây giờ buộc sợi chỉ bằng cả hai đầu vào một trong các đoạn thẳng của khung sao cho khoảng cách giữa các đầu xấp xỉ bằng bốn lần chiều dài của sợi chỉ. Nhúng khung vào dung môi và lấy ra để sợi chỉ nổi trên bề mặt màng thu được. Đâm màng bên trong vòng lặp - vòng lặp ngay lập tức và chính xác có dạng hình cung tròn (ảnh 3). Bằng cách di chuyển một đầu của sợi dọc theo khung, bạn có thể có được các cung tròn có bán kính khác nhau.

Thí nghiệm này chứng minh tính đúng đắn của lời giải bài toán 3. Thí nghiệm sau đây chứng minh tính đúng đắn của lời giải bài toán của Dionne.

Kinh nghiệm thứ ba. Đặt hai chiếc vòng nhỏ lên khung và buộc một sợi chỉ vào chúng. Nhúng khung vào dung môi và lấy ra để sợi chỉ nổi trên bề mặt màng. Đục các màng nhỏ hình thành bên trong các vòng và kiểm tra xem các vòng có di chuyển tự do dọc theo khung hay không. Bây giờ hãy xuyên màng bên trong vòng lặp - vòng lặp sẽ ngay lập tức và chính xác có hình dạng hình bán nguyệt. (Thí nghiệm tinh vi hơn này có thể không đạt được ngay lập tức - điều cần thiết là ma sát của các vòng với khung phải rất nhỏ.)

Kinh nghiệm thứ tư. Nối hai đầu dây thẳng bằng các sợi chỉ có chiều dài bằng nhau, kéo dây sao cho được một sợi dây thẳng