Hình học của vectơ trượt

Kvant 1985, số 8 tr. 9-16 Thẻ T254

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học Yu. P. GIẢI QUYẾT,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học A. V. SOSINSKY

…Phải, Thiên Nga lao vào mây,
Căn bệnh ung thư tái phát và Shuka bị kéo xuống nước.

Tất nhiên, bạn còn nhớ những dòng trong bài tiểu luận tuyệt vời của I. A. Krylov có trong phần ngoại truyện. Bạn đã bao giờ nghĩ về cách tính toán chuyển động của không khí nếu bạn biết thiên nga, tôm càng và shuka kéo nó bằng lực nào chưa? Bài toán điều này là hoàn toàn tự nhiên, người ta có thể nói, điển hình: lực tác dụng lên một vật thể rắn to lớn nào đó ở một số nơi nhất định - điều gì sẽ xảy ra? Thật kỳ lạ, bộ máy vectơ quen thuộc được học ở trường trong các bài học vật lý và toán học hoàn toàn không phù hợp với lời giải như bài toán. Khi chúng ta phải tính đến không chỉ khối lượng mà còn cả kích thước của vật thể, khi chúng ta không xử lý một điểm vật chất trừu tượng mà với một vật thể thực, thì không phải lúc nào cũng rõ ràng về cách thêm vectơ áp dụng cho một vật thể ở những nơi khác nhau, những gì có thể và không thể làm được với các vectơ này và nói đúng ra, các vectơ “thực” đó là gì.

Đáp số cho những câu hỏi này - dưới dạng lý thuyết toán học không chốt (lý thuyết vectơ trượt) - là chủ đề của bài viết của chúng tôi.

Có những loại vectơ nào?

Một vectơ trong không gian hoặc trên mặt phẳng thường được biểu diễn bằng hướng của đoạn AB. Nó được xác định bởi hai điểm: điểm đầu (hoặc điểm áp dụng) A và điểm cuối B. Nếu đoạn AB được kéo dài vô tận theo cả hai hướng thì sẽ thu được một đường thẳng, gọi là tác dụng tuyến tính của vectơ AB.

Tất cả các vectơ, tùy thuộc vào đại lượng hình học hoặc vật lý mà chúng đại diện, có thể được chia thành ba loại sau.

1°. Có thể giả định rằng hai vectơ hình học biểu diễn cùng một đại lượng vật lý hoặc cơ học. (Hãy nhớ lại rằng trong hình học, hai vectơ (các đoạn có hướng) được gọi là bằng nhau nếu đường tác dụng của chúng song song, độ dài bằng nhau và thứ tự của các điểm xác định cùng một hướng trên đường tác dụng của chúng, hay nói cách khác, nếu chúng được kết hợp bằng phép dịch song song.) Các vectơ loại này, không có đường tác dụng xác định cũng như điểm ứng dụng xác định, được gọi là tự do. Ví dụ, vectơ cảm ứng từ của một từ trường không đổi hoặc vectơ vận tốc của một hệ quán tính này so với hệ quán tính khác là các vectơ tự do; chúng có thể được coi là áp dụng cho bất kỳ điểm nào. Các nhà toán học cũng có xu hướng nghiên cứu các vectơ tự do; Ví dụ đơn giản nhất là một vectơ được cho bởi một bản dịch song song: được áp dụng cho bất kỳ điểm nào, nó chỉ ra phần cuối của nó là hình ảnh của điểm này đối với một bản dịch nhất định.

2°. Mặt khác, cũng có những đại lượng vật lý trong đó vectơ của chúng không thể tách rời khỏi điểm ứng dụng của chúng. Các vectơ loại này được gọi là liên thông (hoặc cố định). Do đó, vectơ tốc độ tức thời của một điểm tại một thời điểm nhất định là một ví dụ về vectơ ghép.

Nó không thể tách rời khỏi một điểm đang chuyển động (tất nhiên trừ khi tất cả các điểm khác trong không gian đều chuyển động với cùng tốc độ).

3°. Cuối cùng, có thể là hai vectơ hình học bằng nhau chỉ biểu thị các đại lượng vật lý bằng nhau với điều kiện các vectơ này có cùng một đường tác dụng và biểu thị các đại lượng vật lý không bằng nhau nếu chúng có các đường tác dụng khác nhau. Ví dụ, đây là các vectơ biểu diễn lực tác dụng lên một vật rắn. Những vectơ như vậy không thể tách rời khỏi đường tác dụng được gọi là sự trượt. Có thể nói, đây là những vectơ lực “thực” thực sự không tác dụng lên các vật thể “vô hạn” trừu tượng mà lên các vật thể cứng có kích thước và hình dạng nhất định. Lưu ý rằng ở đây điều kiện về độ cứng của cơ thể là rất cần thiết: cơ thể không giãn ra hay co lại, nó truyền cốt thép dọc theo đường tác dụng mà không bị mất đi, do đó lực tác dụng vào điểm nào trên đường tác dụng không quan trọng; điểm áp dụng dường như có thể trượt dọc theo dòng hành động.

Về vectơ trượt và gần như một câu chuyện. Trong phần tiếp theo, từ “vectơ” không có định nghĩa nên được hiểu chính xác là “vectơ trượt”; và khi nói đến vectơ tự do hoặc cố định, điều này sẽ được chỉ định.

Chúng ta sẽ biểu thị vectơ (trượt) bằng một chữ cái in đậm, chẳng hạn như $v$ hoặc hai chữ cái

với nét dẫn đầu, ví dụ $\overrightarrow{AB}$ . Chúng ta sẽ biểu thị vectơ tự do bằng các chữ cái có mũi tên, ví dụ $\vec{v}$ hoặc $\overrightarrow{AB}$ .

Hệ thống vectơ trượt

Vì vậy, vectơ (trượt) $v=\overrightarrow{AB}$ được cho bởi đường $l=AB$ —đường tác dụng của nó—và hướng của đoạn $AB$ nằm trên đường này. Hai vectơ $v=\overrightarrow{AB}$ và $u=\overrightarrow{CD}$ được coi là trùng khớp nếu chúng xác định cùng một vectơ tự do $(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD})$ và ngoài ra, chúng có cùng một đường tác dụng (các đường $AB$ và $CD$ trùng nhau).

Trong tương lai, chúng ta sẽ không quan tâm đến các vectơ riêng lẻ mà đến các hệ vectơ hữu hạn $(v_1, v_2, \dots, v_k)$ , bởi vì chính những hệ như vậy tương ứng với các hệ lực tác dụng lên một vật rắn. Tất nhiên, không có thứ tự liệt kê các vectơ; tuy nhiên, cùng một vectơ có thể xuất hiện nhiều lần trong một hệ thống và phải được tính số lần xuất hiện trong đó.

Mục tiêu của chúng tôi là học cách chuyển đổi các hệ thống với nhau, để khớp - nếu có thể - một hệ thống tùy ý với một hệ thống có dạng đơn giản nhất. Đối với điều này chúng ta cần

Hoạt động cơ bản
và sự tương đương của hệ vectơ

Khi đường tác dụng của hai vectơ $v$ và $u$ cắt nhau thì các vectơ này

có thể được thêm vào một cách tự nhiên: nếu $u = \vec{AB}$ , $v = \vec{AC}$ (A là điểm chung của các đường hành động), thì tổng $w = u + v$ của các vectơ $u$ và $v$ là vectơ $w = \vec{AD}$ , trong đó điểm $D$ có được bằng cách thêm $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD}$ theo quy tắc hình bình hành (hình 1,a). Việc bổ sung các vectơ “giao nhau” này sẽ là phép toán cơ bản đầu tiên của chúng ta; nó ánh xạ một hệ thống gồm hai vectơ $(u, v)$ tới hệ thống gồm một vectơ $(w)$ .

Thao tác này có tính nghịch đảo: nếu có bất kỳ vectơ $v = \vec{AB}$ nào, thì bạn có thể chọn hai đường thẳng tùy ý đi qua bất kỳ điểm nào của đường hành động (giả sử đi qua điểm $A$ ) và khai triển vectơ $\vec{AB}$ theo quy tắc hình bình hành (hình 1,b). Từ một vectơ $(v)$ ta thu được hệ gồm hai vectơ $(v_1, v_2)$ .

Xin lưu ý rằng chỉ những vectơ có đường hành động giao nhau hoặc trùng nhau mới có thể được thêm vào. Các vectơ có hành động tuyến tính chung đặc biệt dễ dàng được thêm vào. Cụ thể (hình 2), đây là cách cộng hai vectơ đối diện, tức là các vectơ có dạng $v = \vec{AB}$ và $-v = \vec{BA}$ ; tổng của chúng sẽ là vectơ rỗng $0 = \vec{AA}$ .

Hoạt động cơ bản thứ hai của chúng ta là phá hủy vectơ null, nghĩa là chuyển từ hệ có dạng $(v_1, v_2, ..., v_k)$ sang hệ $(v_1, v_2, ..., v_k)$ . Đặc biệt (đối với $k=0$ ), hệ đơn giản nhất $(v, -v)$ trùng với hệ rỗng hoặc hệ 0, mà chúng ta sẽ biểu thị theo cách tương tự như vectơ null - bằng 0.

Phép toán cơ bản thứ hai cũng có sự phân tách nghịch đảo của vectơ null, tức là sự chuyển đổi từ hệ thống $(v_1, v_2, ..., v_k)$ sang hệ thống $(v_1, v_2, ..., v_k)$ . Đặc biệt (đối với $k=0$ ), hệ đơn giản nhất $(v, -v)$ trùng với hệ rỗng hoặc hệ 0, mà chúng ta sẽ biểu thị theo cách tương tự như vectơ null - bằng 0.

Từ quan điểm cơ học, rõ ràng tại sao chúng ta quan tâm đến các phép toán cơ bản và các hệ thống tương đương. Rốt cuộc, hai hệ tương đương xuất hiện trên một vật rắn, hệ này có thể được xác minh không chỉ bằng thực nghiệm mà đơn giản là sản phẩm của ý nghĩa vật lý của các phép toán cơ bản. Bằng cách quy giản các hệ phức tạp thành các hệ đơn giản hơn, chúng ta có cơ hội dễ dàng hiểu chính xác tác dụng của một hệ lực phức tạp nhất định lên một vật rắn.

Các hệ thống đơn giản nhất trên máy bay; cặp đôi

Bây giờ chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn việc rút gọn một hệ vectơ thành các hệ vectơ đơn giản hơn trong trường hợp các hệ vectơ trên một mặt phẳng.

hình 3 cho thấy, với sự trợ giúp của các phần tử của phép toán, một số hệ vectơ đơn giản được rút gọn thành các hệ thống khác như thế nào. Chúng tôi khuyên người đọc nên cẩn thận làm theo tất cả các thao tác và thậm chí tự mình thực hiện chúng trên giấy.

Cần đặc biệt chú ý đến hình 3, e. Nó cho thấy hệ thống gồm hai vectơ đối diện có độ dài bằng nhau trên các hành động tuyến tính song song; những hệ thống như vậy được gọi ngắn gọn là một tham số. Từ hình rõ ràng các cặp không thể đơn giản hóa mà chỉ có thể “chuyển”, chuyển thành một cặp khác.

hình 4 hiển thị một loạt các yếu tố hoạt động khác. Điều xảy ra ở đây không phải là sự đơn giản hóa hệ thống ban đầu (từ một vectơ), mà là các điều kiện của nó: từ một vectơ nhất định, chúng ta thu được một vectơ với một hành động tuyến tính khác và một cặp; tuy nhiên, nếu hình này được đọc theo thứ tự ngược lại (và điều này hợp lý, hoặc mọi phép toán cơ bản đều có nghịch đảo), thì chúng ta nhận được một sự đơn giản hóa (một hệ thống bao gồm một cặp và một vectơ được rút gọn thành hệ thống gồm một vectơ). Chuyển đổi $(v) \rightarrow (u, x, y)$ đáng được ghi nhớ, chúng ta sẽ cần nó sau này.

Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng việc rút gọn chung các hệ mặt phẳng cũng có thể hữu ích khi xem xét các hệ không gian bài toán. Do đó, hệ không gian $(\mathbf{l}, \mathbf{p}, \mathbf{ш}, \mathbf{т})$ ( $\mathbf{l} = -\mathbf{t}, |\mathbf{p}| = |\mathbf{ш}|$ ) bằng cách áp dụng thao tác phân rã vectơ bị giảm (hình 5,a) thành cặp $(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ : $\mathbf{l} = \mathbf{a} + \mathbf{v}, \mathbf{ш} = \mathbf{b} + \mathbf{u}$ và hệ phẳng $(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{л}, \mathbf{т})$ , còn lại sau khi tách cặp $(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ (hình 5,a) khỏi hệ $(\mathbf{l}, \mathbf{p}, \mathbfш, \mathbf{т})$ , là dễ thấy, giảm về 0 (hình 5,b)

Khoảnh khắc vector và khoảnh khắc cặp đôi

Chúng ta đã thấy ở trên rằng các cặp vectơ không thể quy về một vectơ trượt đơn. Tuy nhiên, cặp đôi thừa nhận

Phép biến đổi đơn giản nhất của hệ phẳng:

a) hai vectơ giao nhau → một vectơ;

b) hai vectơ thẳng hàng → hai vectơ cắt nhau;

c) hai vectơ đối nhau có độ dài khác nhau → hai vectơ cắt nhau;

d) hai vectơ đối diện có độ dài bằng nhau (cặp) → cặp khác.

Hình 3.

đặc tính vector thuận tiện. Để có được nó, chúng ta sẽ phải đi một quãng đường khá xa.

Cho một vectơ $v = \overline{AB} \neq 0$ và một điểm $O$ không nằm trên đường tác dụng của nó; thì mômen của vectơ $v$ đối với điểm $O$ được gọi là vectơ (cố định!) $OM$ (gắn với điểm $O$ ) có tác dụng tuyến tính, vuông góc với mặt phẳng $OAB$ , chiều dài $OM = r \cdot |v|$ (trong đó $r$ là cánh tay của vectơ $v$ so với $O$ , tức là khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$ ) và được hướng sao cho hướng quay của $v$ khoảng $O$ , như quan sát từ điểm $M$ , là dương (ngược chiều kim đồng hồ; hình 6); nếu điểm $O$ nằm trên đường tác dụng của vectơ $v$ hoặc $v = 0$ thì mômen được lấy bằng 0. Vectơ mômen đóng vai trò quan trọng trong cơ học trong việc nghiên cứu chuyển động quay và có những ứng dụng đẹp trong hình học.

Bây giờ hãy cho một cặp vectơ $v = \overline{AB}, v' = \overline{A'B'}$ và một điểm $O$ ; gọi $OM$ và $OM'$ là khoảnh khắc của $v$ và $v'$ so với $O$ . thì dễ dàng kiểm tra (làm đi!) rằng độ dài và hướng của tổng mô men đối với điểm $O$ của vectơ $v$ và $v'$ không phụ thuộc vào việc chọn điểm này, tức là tổng là một vectơ tự do. Nó được gọi là mômen (vectơ) của cặp $(v, v')$ . Dễ dàng kiểm tra độ dài mômen vectơ của cặp $(v, v')$ có bằng $d \cdot |v|$ , trong đó $d$ là khoảng cách giữa các đường thẳng song song $AB$ và $A'B'$ . Sử dụng câu này, cũng như câu bài toán 3, không khó để chứng minh rằng một cặp sẽ giảm về 0 khi và chỉ khi động lượng vectơ của nó bằng 0.

Giảm hệ thống mặt phẳng thành một cặp hoặc vectơ
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh định lý đáng chú ý sau đây.

Mọi hệ vectơ (hữu hạn) (trượt) trên một mặt phẳng có thể được quy gọn thành một vectơ đơn hoặc thành một cực.

Bằng chứng. Nếu hệ thống này bao gồm một vectơ thì định lý được chứng minh. Nếu có các vectơ trong hệ có các đường tác dụng giao nhau thì chúng có thể được đơn giản hóa theo cặp (xem hình 3,a) cho đến khi chỉ còn lại các vectơ có các đường tác dụng song song. Nếu có ba vectơ như vậy trở lên thì ít nhất hai trong số chúng được sửa và chúng ta có thể đơn giản hóa hệ thống hơn nữa (xem hình 3, b). Như vậy, các phép chuyển đổi 3, b và 3, a cho phép chúng ta rút gọn việc chứng minh định lý về trường hợp hai vectơ hướng ngược nhau có đường tác dụng song song. Nếu độ dài của các vectơ khác nhau thì chuyển tiếp 3, b theo sau là chuyển đổi 3, a cho chúng ta một vectơ và nếu độ dài bằng nhau thì chúng ta sẽ có một cặp; Bây giờ định lý đã được chứng minh hoàn toàn.

Trước tiên, hãy lưu ý rằng việc chứng minh không chỉ xác lập tính đúng đắn của định lý mà còn cung cấp một cách hiệu quả để tìm một vectơ (hoặc cặp) tương đương với hệ ban đầu. Thứ hai, nếu chúng ta chọn trước một số điểm cố định, thì chúng ta có thể thực hiện các phép toán cơ bản của mình theo cách đưa hệ thống này về một hệ thống gồm một cặp và một vectơ có đường hành động đi qua điểm này. Thật vậy, điều này đúng nếu hệ thống giảm xuống còn một cặp. Nếu nó được rút gọn thành một vectơ đơn thì thao tác hiển thị trong hình 4 cho phép chúng ta rút gọn vectơ thành một cặp và một vectơ có đường hành động đi qua một điểm cho trước.

Giải tích hệ vectơ; cơ sở

Chúng ta đã học cách quy giản các hệ vectơ phẳng thành các hệ đơn giản. Tuy nhiên, hóa ra các hệ thống không chỉ có thể được thu gọn lại với nhau mà còn có thể được thể hiện thông qua nhau. Trong trường hợp này, một phép tính các hệ vectơ sẽ xuất hiện, rất giống với phép tính thông thường của các vectơ tự do trong không gian.

Để mô tả phép tính này, chúng ta định nghĩa tổng của hai hệ $N=(u_1, u_2, ..., u_k)$ và $M=(v_1, v_2, ..., v_l)$ là “liên kết tự do” của chúng, tức là hệ

$L=N+M=(u_1, u_2, ..., u_k, v_1, v_2, ..., v_l)$

(sự đẳng thức của hệ vectơ khái niệm ở đây và bên dưới là sự tương đương của chúng) và tích

$\lambda N=(\lambda u_1, \lambda u_2, ..., \lambda u_k),$

trong đó $\lambda$ biểu thị một vectơ có cùng tác dụng tuyến tính như $u$ , độ dài $|\lambda| \cdot |u|$ , hướng cùng hướng với $u$ nếu $\lambda>0$ và theo hướng ngược lại nếu $\lambda<0$ .

Giả sử hệ $N$ được biểu diễn tuyến tính thông qua hệ $M_1, ..., M_n$ nếu có các số $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ , thì đó cũng là

$N=\lambda_1 M_1+\lambda_2 M_2+\dots+\lambda_n M_n.$

Bây giờ chúng ta hãy xem xét trường hợp của một hệ thống trên mặt phẳng. Đặt $O$ là một điểm tùy ý của mặt phẳng, $I$ và $J$ là các hệ một vectơ bao gồm các vectơ phi clipneary khác 0 được áp dụng cho điểm $O$ và $K$ là bất kỳ cặp nào (khác 0). Khi đó các hệ $I, J, K$ tạo thành một cơ sở trong tập hợp các vectơ phẳng, nghĩa là mọi hệ $N$ đều được biểu diễn tuyến tính duy nhất thông qua $I, J, K$ :

$N=\alpha I+\beta J+\gamma K$

(các số $\alpha, \beta, \gamma$ được xác định duy nhất bởi hệ thống $N$ đối với $I, J, K$ cố định).

Tất nhiên, người đọc quen với khái niệm không gian vectơ sẽ hiểu rằng phát biểu này có nghĩa là tập hợp các lớp hệ vectơ (trượt) tương đương trong mặt phẳng đối với các phép toán được xác định ở trên tạo thành một không gian vectơ có chiều 3.

Đến mức này, các tác giả bắt đầu suy nghĩ về nó, rồi bế tắc: chính xác những ứng dụng của lý thuyết vectơ trượt mà các câu chuyện kể là gì? Bất cứ nơi nào lý thuyết này không được sử dụng! Trong tĩnh học (lý thuyết về giàn và đa giác thẳng đứng), trong cơ học kết cấu, động học và động lực học của vật rắn, và những khái quát hóa của nó được sử dụng trong một số nhánh hình học mới. Nhưng bạn không thể ôm lấy sự bao la. Ở đây chúng tôi sẽ chỉ đưa ra một ví dụ - từ động học của một vật rắn, cũng như ở cuối bài viết, loạt bài bài toán. Một ứng dụng khác của vectơ trượt - trong cơ học kết cấu - được thảo luận trong chú thích “Các vị trí treo” trên trang. 22.

Xoay cơ thể cứng nhắc

Ở đây chúng ta quan tâm đến động học bài toán như vậy: làm thế nào để mô tả chuyển động của một vật rắn quay quanh một trục nhất định, nếu trục này lần lượt quay quanh một trục cố định? Chúng tôi sẽ xem xét bài toán đã được giải quyết nếu đưa ra một phương pháp để tìm vectơ vận tốc theo bất kỳ hướng nào của một điểm nhất định trên vật thể (so với hệ quy chiếu cố định).

Đáp số được xây dựng đẹp mắt về mặt vectơ trượt. Tuy nhiên, trước khi trình bày, chúng ta sẽ nói một chút về cách một vật rắn có thể chuyển động nói chung. Hãy bắt đầu với những ví dụ đơn giản nhất.

Trong chuyển động thẳng đều, một vật rắn chuyển động với vận tốc không đổi theo một phương cố định. Trong trường hợp này, vectơ vận tốc tại mọi điểm đều giống nhau, hướng và độ lớn theo thời gian. Mọi điểm đều chuyển động theo đường thẳng. Chuyển động được đặc trưng bởi một vectơ vận tốc tự do $\vec{v}$ .

Với chuyển động quay đều, vật chuyển động với vận tốc góc không đổi (xem “Vật lý 8”, § 17) của một trục cố định. Trong trường hợp này, vectơ vận tốc của bất kỳ điểm nào trên trục quay đều bằng 0 và vectơ vận tốc của bất kỳ điểm nào khác vuông góc với mặt phẳng đi qua điểm này và trục, và có độ lớn tỷ lệ với khoảng cách từ điểm đến trục. Các điểm trục vẫn giữ nguyên vị trí và các điểm còn lại di chuyển theo vòng tròn có tâm nằm trên trục. Một chuyển động như vậy được đặc trưng bởi một chuyển động có vectơ TRƯỢT $\omega$ - tốc độ góc quay, đường tác dụng của nó trùng với trục quay.

Với chuyển động quay đều, vật quay với vận tốc góc không đổi $\omega_0$ của một trục cố định $AB$ , và bản thân vật cũng quay quanh trục $M_1N_1$ với vận tốc góc không đổi $\omega_1$ . (Chúng tôi nhấn mạnh rằng

Là một vectơ trượt, vận tốc góc này thay đổi, $\omega_1 = \omega_1(t)$ , - vị trí của tác dụng tuyến tính $M_t N_t$ của nó thay đổi.) Làm thế nào để mô tả chuyển động thu được? Đáp số phụ thuộc vào vị trí tương đối của trục $AB$ và $M_t N_t$ .

1°. Các trục khớp nhau. Khi đó vật quay quanh trục cố định $AB = M_t N_t$ với vận tốc góc không đổi $\omega = \omega_0 + \omega_1$ . (Ví dụ: chuyển động của đồng hồ hoặc kim phút của đồng hồ nằm ở Bắc Cực.)

2°. Các trục song song và $\omega_0 \neq -\omega_1$ . Sau đó, tại bất kỳ thời điểm nào $t$ tốc độ của tất cả các điểm của vật thể sẽ giống như khi nó quay đều với vận tốc góc $\omega = \omega_0 + \omega_1$ (ở đây chúng tôi muốn nói đến tổng các vectơ trượt - xem hình 3 và hình 10) xung quanh tác dụng tuyến tính $P_t Q_t$ của vectơ $\omega$ . Người ta cho rằng vật có vận tốc góc tức thời $\omega$ và trục quay tức thời $P_t Q_t$ . Trong trường hợp này, trục tức thời quay quanh trục cố định $AB$ , vẫn song song với nó.

3°. Các trục song song và $\omega_0 = -\omega_1$ . Khi đó vật thực hiện chuyển động tịnh tiến với vectơ vận tốc $\vec{v}$ bằng mômen của cặp ( $\omega_0, \omega_1$ ), tức là tại bất kỳ thời điểm nào $t$ vận tốc của tất cả các điểm của vật đều bằng nhau và bằng $\vec{v}$ . (Ví dụ: chuyển động của bộ phận chuyển động của bàn đạp; hình 8.)

4°. Các trục giao nhau. Trường hợp này tương tự như 2°: tại bất kỳ thời điểm nào $t$ vật có trục quay tức thời và tốc độ góc tức thời $\omega = \omega_0 + \omega_1$ . Sự khác biệt là ở đây trục tức thời được mô tả không phải bằng một hình trụ mà bằng một hình nón có đỉnh của nó tại một điểm cố định của vật thể - giao điểm của các trục. (Ví dụ: chuyển động tuế sai của một đỉnh; hình 9.)

5°. Các trục được chéo. Trong trường hợp này, có thể nói, cơ thể có một “trục xoắn ốc tức thời”; Để biết thêm thông tin về điều này, xem nhiệm vụ 7, 8.

Do đó, chúng ta thấy rằng lời giải của động học bài toán của chúng ta được xây dựng ngắn gọn và đơn giản dưới dạng phép cộng các vectơ trượt. Chúng tôi để lại những chứng minh đơn giản về khẳng định 1°-4° cho người đọc như một bài tập.

Khác nhau bài toán

Vectơ chính của hệ vectơ trượt ( $v_1, \dots, v_n$ ) là tổng các vectơ tự do $\vec{v}_1 + \dots + \vec{v}_n$ bằng chúng và mômen chính của hệ này so với điểm $O$ là tổng mômen của vectơ $v_1, \dots, v_n$ so với $O$ . Chứng minh rằng hai hệ tương đương bất kỳ đều có cùng vectơ chính và mô men chính về cùng một điểm $O$ .
Chứng minh rằng mọi hệ vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng đều tương đương với các hệ vectơ hướng dọc theo cạnh của một tam giác được chọn tùy ý trong cùng một mặt phẳng.
Chứng minh rằng hệ mặt phẳng gồm các vectơ vuông góc với các cạnh của một $n$ -giác lồi tại trung điểm của chúng tương đương bằng 0 nếu độ dài của các vectơ tỷ lệ với các cạnh tương ứng và tất cả các vectơ đều hướng vào bên trong đa giác (hoặc tất cả cùng hướng).
Lập và chứng minh khẳng định tương tự như khẳng định bài toán trước đó cho khối lập phương.

5*. Chứng minh rằng mọi hệ vectơ trong không gian đều tương đương với sáu vectơ hướng dọc theo các cạnh của một tứ diện tùy ý.

6*. Chứng minh rằng mọi hệ vectơ trong không gian đều tương đương với hệ gồm một vectơ (đi qua một điểm được chọn tùy ý) và một cặp vectơ. Từ đó suy ra rằng hệ vectơ trượt trong không gian, được coi là tương đương, tạo thành không gian vectơ sáu chiều.

Gợi ý. Đầu tiên rút gọn hệ thành ba vectơ trượt đi qua ba điểm được chọn tùy ý (đặt từng vectơ của hệ theo các hướng đó), sau đó thành hai vectơ, một trong số đó đi qua một điểm cho trước và cuối cùng áp dụng cấu trúc từ hình 4.

Vật rắn quay với tốc độ góc $\omega$ quanh một trục, trục này chuyển động thẳng đều và thẳng với tốc độ $\vec{v}$ . Chứng minh rằng cơ thể: a) có