Bài toán M936—M940; F948—F952

40

Nhiệm vụ

M936 — M940; F948 — F952

M936. Chứng minh rằng khi cân 3n+1 trên cân không có vỉ có thể chọn được viên đá nhẹ nhất và nặng nhất trong số 2n+2 nếu:
a) n=3; 6) n — bất kỳ số tự nhiên nào.
S. V. Fomin

M937. Có hình F nào không thể được bao phủ bởi hình bán nguyệt bán kính 1, nhưng hai bản sao của nó có thể được bao phủ bởi hình tròn bán kính 1 nếu F:
a) bất kỳ hình nào; 6) hình lồi?
N. V. Vasiliev, A. G. Samovat

M938. Bán kính của đường tròn tâm O quay đều, quay một góc 360°/n trong 1 giây (trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 3). Tại thời điểm ban đầu, nó chiếm vị trí OM₀, sau một giây - vị trí OM₁, sau 2 giây nữa - vị trí OM₂, 3 giây nữa sau đó - vị trí OM₃, v.v., sau n-1 giây nữa - vị trí OMₙ−1.
a) Chứng minh rằng nếu n là lũy thừa của 2 thì bán kính OM₁, …, OMₙ−1 chia đường tròn thành n phần bằng nhau.
b) Điều này có thể xảy ra với các giá trị khác của n không?
V. V. Proizvolov

M939. Các số 0,1,…,9 được viết theo cách nào đó vào các ô của bảng 10×10 sao cho mỗi số xuất hiện 10 lần.
a) Có thể thực hiện sao cho mỗi hàng, mỗi cột không quá 4 chữ số khác nhau không?
b)* Chứng minh tồn tại một hàng hoặc cột có ít nhất 4 chữ số khác nhau.
L. D. Kurlyandchik

M940*. a) Hình vuông được chia thành các hình chữ nhật. Chúng ta hãy gọi một chuỗi là một tập hợp các hình chữ nhật sao cho hình chiếu của chúng lên một trong các cạnh của hình vuông bao phủ hoàn toàn cạnh này mà không chồng lên nhau (hình 1). Chứng minh rằng hai hình chữ nhật bất kỳ thuộc một dãy nào đó.
b) Chứng minh khẳng định tương tự đối với trường hợp khối lập phương chia thành các hình chữ nhật song song (trong định nghĩa dây chuyền thì cạnh của hình vuông phải thay cạnh của hình lập phương).
c) Có đúng là hai hình song song bất kỳ trong phân chia của hình lập phương đều thuộc cùng một “lát” -

41

Một tập hợp các hình bình hành, các hình chiếu của chúng lên một mặt nhất định sẽ lấp đầy nó hoàn toàn mà không chồng lên nhau?

A. I. Golber, V. A. Gurvich

F948. Được biết, ở một “khoảng trống” nhỏ giữa các ô tô đang đứng trên vỉa hè, nên lái xe vào trong chứ không nên tiến về phía trước. Tại sao?

G. Vâng. Myakishchev

F949. Các chỉ số của nhiệt kế có giống nhau không, một nhiệt kế đặt trên bề mặt chất lỏng đang sôi, còn nhiệt kế kia đặt ở độ sâu của nó?

T. S. Petrova

F950. Trong ống mao dẫn kín, có hai cột rutin, được ngăn cách bằng một giọt dung dịch nước của chất điện phân HgI₂. Đường kính trong của ống d=0,3 mm. Ống được mắc nối tiếp với một điện trở có điện trở R=390 kOhm với pin có emf E=10 V (hình 2). Sau bao lâu thì giọt nước sẽ di chuyển được một vạch chia tỷ lệ (xem hình)?

E. N. Yunosov, I. V. Yaminsky

F951. Xác định điện dung của hệ tụ điện như ở hình 3. Mỗi tụ điện được biểu thị bằng giá trị điện dung của nó, được đo bằng microfarad.

A. I. Buzdin, S. S. Krotov

F952. Người quan sát kiểm tra một vật thể ở xa và hình ảnh của vật thể này được chụp từ điểm đặt vật thể được quan sát. Đối với anh ta, cái gì có vẻ lớn hơn - vật thể hay hình ảnh tượng trưng của nó? Bao nhiêu lần? nó được chế tạo bởi một thiết bị có thấu kính vật kính có tiêu cự F=3 cm; Khi in ảnh, giá trị tăng k=2,5 đã được thực hiện.

V. S. Rybin

Problems

M936 — M940; P948 — P952

M936. Prove that 3n+1 weightings on a plain balance without weights are sufficient to distinguish the lightest and the heaviest of 2n+2 stones, if a) n=3; b) n is any natural number.

S. V. Fomin

M937. Does there exist a plane figure F which does not cover a half disk of radius 1, while two copies suffice to cover a disk of radius 1, if a) F is an arbitrary set; b) a convex one?

N. B. Vasiliev, A. G. Samosvat

M938. The radius of a circle rotates about its centre O, sweeping through an angle of 360°/n each second (where n is a natural number greater than 3). At the initial moment the ra-