Nghịch lý của tụ điện bản song song

52

Nghịch lý của tụ điện bản song song

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
S. M. KOZEL

“Có thể có nghịch lý gì ở đây,” người đọc sẽ nói, “rốt cuộc đây là một hệ thống điện đơn giản như vậy.” Và thực sự, quá trình của một tụ điện phẳng có thể diễn ra như thế nào? Từ sách giáo khoa vật lý phổ thông, chúng ta biết đây là tên của một hệ gồm hai bản dẫn điện song song đặt cách nhau một khoảng ngắn, giữa đó có một lớp điện môi.

Nếu các tấm (tấm) của tụ điện được nối với các dải bater thì một trong số chúng sẽ xuất hiện một điện tích nhất định $+q$, và mặt khác - tính phí $-q$. Điện trường của tụ điện bản song song chứa năng lượng có giá trị chủ yếu ở khoảng không giữa các bản. Trường này đồng nhất, tức là vectơ định hướng $\vec{E}$ là như nhau ở mọi điểm. Điện dung của tụ điện bản song song được biểu thị bằng công thức

$$C = \frac{q}{\Delta \varphi} = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon S}{d},$$

trong đó $\Delta \varphi$ là hiệu điện thế giữa các bản tụ, $S$ là diện tích mỗi bản, $d$ là khoảng cách giữa chúng. $\varepsilon$ là hằng số điện môi của môi trường, $\varepsilon_0$ là hằng số điện.

Có vẻ như mọi thứ đều rõ ràng. Trong khi đó, nhiều thí sinh “gặp” tụ điện tấm phẳng trong kỳ thi lại gặp những khó khăn nhất định. Trong một số trường hợp, dựa vào những sự thật nổi tiếng, họ đi đến những kết quả trái ngược nhau và một tình huống nghịch lý nảy sinh. Tất nhiên, tất cả những nghịch lý này có thể được giải quyết dễ dàng nếu bạn hiểu sâu sắc và chính thức các định luật về tĩnh điện. Hãy đưa ra một vài ví dụ cụ thể.

Nghịch lý 1. Xét một tụ điện không khí phẳng tích điện. Sự khác biệt tiềm năng giữa các tấm của nó

$$\Delta \varphi = \frac{q}{C} = \frac{qd}{\varepsilon_0 S}.$$

Chúng ta lưu ý rằng $\Delta \varphi$ tỷ lệ thuận với khoảng cách $d$ giữa các bản tụ điện. Điều này có nghĩa là bằng cách tách các bản của tụ điện tích điện, chúng ta có thể tăng hiệu điện thế giữa chúng. Ví dụ: bằng cách sạc một tụ điện đến hiệu điện thế 10 V rồi tăng khoảng cách $d$ lên $10^3$, $10^4$, … lần, chúng ta nhận được $\Delta \varphi$ bằng, tương ứng với, $10^4$ V, $10^5$ V, v.v. Thật là một cách đơn giản và tốt để tạo ra một máy gia tốc hạt tích điện! Có đúng không?

Ở đây rõ ràng chúng ta gặp phải sự mâu thuẫn với lẽ thường, điều này cho chúng ta biết rằng chỉ cần một bước nữa là chúng ta sẽ vi phạm một trong những nguyên tắc cơ bản của vật lý - định luật bảo toàn năng lượng.

Chưa hết, lý luận của chúng ta có đúng hay không? Rõ ràng những người nộp đơn trả lời ngay rằng điều này là không thể, nhưng không phải tất cả đều chỉ ra lý do vật lý cho việc này. Nhưng trên thực tế, mọi thứ rất đơn giản. Công thức cho điện dung của tụ điện phẳng chỉ có giá trị đối với các giá trị nhỏ $d$, nghĩa là khi $d$ nhỏ hơn đáng kể so với kích thước tuyến tính của các bản. Với những khoảng trống lớn giữa các bản, trường không còn đồng đều và hiệu điện thế $\Delta \varphi$ không còn phụ thuộc tuyến tính vào $d$.

Ở đây chúng tôi đã nêu lên một câu hỏi rất quan trọng về giới hạn khả năng ứng dụng của các kết quả vật lý. Bất kỳ mô hình vật lý nào cũng luôn có khả năng ứng dụng hạn chế. Chẳng hạn, không thể áp dụng mô hình khí lý tưởng cho khí thực ở áp suất cao và nhiệt độ thấp. Công thức tính điện dung của tụ điện bản phẳng ngừng “hoạt động” khi khoảng cách giữa các bản tụ đủ lớn và xuất hiện điện trường giữa chúng

53

không đồng nhất. Bạn không thể áp dụng trực tiếp định luật Coulomb để xác định cường độ tương tác điện giữa các bản của tụ điện bản song song. Thật không may, người nộp đơn trong trường hợp này viết công thức $F = \frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 d^2}$, trong khi biểu thức đúng cho lực là $F = q \frac{E}{2} = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 S}$ (trong trường hợp này, lực không phụ thuộc vào khoảng cách $d$).

Bây giờ hãy tạo bài toán cho một lời giải độc lập.

Bài toán 1. Hãy thử ước tính xem hiệu điện thế giữa các bản của một tụ điện phẳng tích điện có thể tăng lên bao nhiêu lần nếu chúng được đặt ở một khoảng cách lớn hơn nhiều. Kích thước tuyến tính của các tấm $a = \sqrt{S}$ và khoảng cách ban đầu $d$ giữa chúng được coi là đã biết.

Lưu ý rằng loại ước tính bài toán này, vốn khó tính toán chính xác, đóng một vai trò lớn trong vật lý. Chúng yêu cầu lựa chọn một mô hình vật lý đơn giản hóa và cho phép người ta ước tính quy mô của hiện tượng theo thứ tự độ lớn.

Nghịch lý 2. Chúng ta hãy lấy một tụ điện phẳng tích điện và cách điện và khoan hai nhánh nhỏ vào các tấm của nó - nhánh này dẫn hướng nhánh kia. Trong trường hợp này, trường bên trong tụ điện thực tế sẽ không thay đổi và sẽ không đổi. Cho một tần số tích điện chạy vào tụ điện qua một trong các dây dẫn với tốc độ ban đầu nhỏ để điện trường của tụ tăng tốc nó (hình 1). (Rõ ràng, để làm được điều này, tần số phải ảnh hưởng đến tụ điện thông qua một phản ứng trong cùng một tấm tích điện.)

Sau khi đi qua tụ điện, bộ phận bay ra từ nhánh khác, thu thêm năng lượng $\Delta W = q\Delta\varphi$. Bây giờ người ta đề xuất sử dụng từ trường để thay đổi hướng chuyển động của hạt để nó bay trở lại

Hình 1.

qua nhánh thứ nhất vào tụ điện. Chúng ta hãy nhớ lại rằng lực Lorentz tác dụng từ từ trường lên một hạt tích điện đang chuyển động không sinh công, vì nó vuông góc với vectơ vận tốc của hạt.

Khi bay qua tụ điện một lần nữa, hạt lại thu được năng lượng bổ sung $\Delta W$, trong chu kỳ tiếp theo - một $\Delta W$ khác, v.v. Chúng tôi đã “phát minh ra” một máy gia tốc tuần hoàn không cần nguồn năng lượng. Thêm một chút trí tưởng tượng - và chúng tôi sẽ thiết kế một cái gọi là động cơ hoạt động mà không tiêu tốn năng lượng!

Chúng ta đi đến kết quả sai lầm này vì chúng ta đã không tính đến một trong những tính chất cơ bản của trường tĩnh điện - bản chất tiềm năng của nó. Thế năng của trường tĩnh điện có nghĩa là nếu chúng ta chuyển một vật tích điện từ điểm này sang điểm khác trong không gian thì công của lực điện không phụ thuộc vào hình dạng của đường đi mà chỉ được xác định bởi vị trí của điểm bắt đầu và điểm kết thúc. Theo đó, nếu một vật tích điện được truyền theo một quỹ đạo khép kín thì khi quay trở lại điểm xuất phát, tổng công do các lực điện thực hiện sẽ bằng không. (Hãy nhớ lại rằng trường hấp dẫn cũng có tính chất tương tự.) Chính tính chất này cho phép chúng ta đưa ra các khái niệm về thế năng và thế năng.

Trong trường hợp của chúng ta, khi một hạt tích điện di chuyển bên trong tụ điện, điện trường sẽ tăng tốc nó và ở bên ngoài tụ điện, nó sẽ làm nó chậm lại, và khi hạt tiến đến phản ứng ở tấm đầu tiên, năng lượng của nó sẽ lấy giá trị trước đó. Điều này có nghĩa là trong ví dụ đang xem xét, về cơ bản chúng ta không thể xử lý trường bên ngoài tụ điện tấm phẳng. Tất nhiên, có một trường yếu đáng kể giữa các tấm, nhưng trong đó hạt bay qua thành phố đến một khoảng cách xa hơn; Kết quả là, trong trường giảm tốc bên ngoài tụ điện, nó mất chính xác năng lượng được truyền cho nó bởi trường gia tốc bên trong tụ điện.

Nghịch lý 3. Đây là một ví dụ khác cho thấy việc bỏ qua trường ngoài của một tụ điện tấm phẳng (hay, như nó được gọi là trường

54

tán xạ) có thể dẫn đến kết luận sai về cơ bản.

Sách giáo khoa của trường nói rằng các vật thể, kể cả vật dẫn điện, nằm bên ngoài tụ điện, thực tế không ảnh hưởng đến điện dung của nó. Thông thường đây là trường hợp. Ví dụ: đặt một bản dẫn điện không tích điện “a” (hình 2) khác phía sau bản của một tụ điện phẳng. Tấm này sẽ không làm thay đổi điện trường bên trong tụ điện và điện dung của nó vẫn giữ nguyên. Bây giờ chúng ta mang một tấm khác vào tụ điện - “6” và đặt nó trước tấm thứ hai của tụ điện. Và tấm này không ảnh hưởng gì đến điện dung của tụ điện.

Bây giờ chúng ta hãy kết nối các tấm không tích điện bên ngoài bằng dây dẫn. Tụ điện của chúng ta dường như được đặt bên trong một hộp dẫn điện. Điều gì sẽ xảy ra?

Nhiều người nộp đơn cho rằng trong trường hợp này, điện trường giữa các bản của tụ điện sẽ không thay đổi (vì các bản bên ngoài không được tích điện) và do đó, điện dung của tụ điện cũng sẽ không thay đổi. Trong khi đó, mạch ở hình 2, với các tấm bên ngoài đóng lại, tương đương với mạch gồm ba tụ điện (hình 3). Nếu tất cả các khoảng trống giữa các bản đều bằng nhau thì điện dung của một tụ điện phức tạp như vậy bằng $C = \frac{3}{2} C_0$, trong đó $C_0$ là điện dung ban đầu. Do đó, xương thay đổi, cụ thể là nó tăng lên 1,5 lần. Làm thế nào điều này có thể được giải thích?

Hóa ra lợi ích của mọi thứ là trường mổ xẻ của tụ điện. Dưới tác động của nó, sự phân phối lại điện tích xảy ra ở các tấm bên ngoài, do đó tấm “a” phía trên mang điện tích âm và tấm “6” phía dưới mang điện tích dương. (Nhân tiện, theo hình 3, nếu một trong các tấm bên ngoài được nối bằng dây dẫn với một trong các tấm của một tụ điện nhất định, thì công suất điện trở sẽ bằng $2 C_0$.)

Nghịch lý 4. Chúng ta có hai tụ điện giống hệt nhau (không nhất thiết phải phẳng) với giá trị $C$ của mỗi tụ. Một trong số chúng bị tính phí $q_0$, còn cái còn lại không bị tính phí. Điện năng tích trữ trong tụ điện bằng

$$i = \frac{1}{R} \left( \frac{q_0 - q}{C} - \frac{q}{C} \right) = \frac{1}{RC} (q_0 - 2q).$$

Nếu chúng ta tính đến điều đó, theo định nghĩa, dòng điện tương đương với sự thay đổi của một

55

thời gian (đạo hàm của điện tích theo thời gian):
$$i = \frac{dq}{dt},$$
sau đó chúng ta có được phương trình
$$\frac{dq}{dt} + \frac{2}{RC} q = \frac{1}{RC} q_0.$$

Sẽ thuận tiện hơn khi viết phương trình không phải cho điện tích mà cho dòng điện, vì vậy chúng ta phân biệt sự tương ứng thủ tục-thủ tục được viết ở trên theo thời gian:
$$\frac{di}{dt} + \frac{2}{RC} i = 0,$$
hoặc $$\frac{di}{i} = -\frac{2}{RC} dt.$$

Phương trình cuối cùng rất dễ tích hợp. Trong trường hợp này, phía bên trái của phạm vi tích phân bắt buộc từ giá trị hiện tại ban đầu đầu tiên $i_0$ đến giá trị hiện tại $i(t)$ tại thời điểm được xem xét và phía bên phải - từ 0 đến $t$:
$$\ln i(t) - \ln i_0 = -\frac{2}{RC} t,$$
hoặc
$$i(t) = i_0 e^{-2t/(RC)}.$$

Giá trị của dòng điện $i_0$ tại thời điểm đầu tiên sau khi đóng công tắc có thể được xác định từ các thông báo vật lý sau: tại thời điểm đầu tiên, tụ điện bên trái được tích điện đến hiệu điện thế $q_0 v/C$, và tụ điện bên phải không được tích điện. Do đó, điện áp rơi trên điện trở chính xác là $q_0/C$. Theo sau đó là $i_0 = q_0/(CR)$.

Đồ thị của hàm $i(t)$ được hiển thị trong hình 5. Các hàm như vậy được gọi là số mũ. Chúng rất phổ biến trong lời giải vật lý bài toán. Khoảng thời gian $t$ mà dòng điện giảm $e$ lần được gọi là hằng số thời gian của hệ. Trong trường hợp của chúng tôi $t = CR/2$. Điện trở $R$ càng thấp thì dòng điện phân rã càng nhanh.

Bây giờ chúng ta chỉ cần tính nhiệt Joule:
$$Q = \int_0^\infty i^2(t) R dt = \frac{q_0^2}{C^2 R} \int_0^\infty e^{-4t/(RC)} dt = \frac{q_0^2}{4C} = \frac{1}{2} W_1.$$

Vậy là nghịch lý đã được giải quyết. Bất kể giá trị $R$chính xác là năng lượng ban đầu của tụ điện được chuyển thành nhiệt và năng lượng thứ hai được lưu trữ dưới dạng năng lượng điện của tụ điện sau khi chúng được sạc lại. Đừng nhầm lẫn bởi sự phức tạp của phép tính trên. Bạn không cần phải tính toán như vậy trong các kỳ thi. Điều quan trọng đối với chúng tôi là chỉ ra rằng sự tính toán chặt chẽ sẽ giải quyết được hoàn toàn mâu thuẫn.

Vẫn còn vài lời về trường hợp giới hạn $R \rightarrow 0$. Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta kết nối các tụ điện với chất dẫn điện hoàn hảo (chất siêu dẫn)? Về mặt hình thức, kết quả của chúng tôi vẫn hợp lệ vì nó hoàn toàn không phụ thuộc vào giá trị của $R$. Nhưng năng lượng “mất đi” được giải phóng ở đâu và dưới dạng nào?

Tất nhiên, trong trường hợp giới hạn này không có nhiệt Joule, nhưng bức xạ năng lượng điện từ bắt đầu đóng một vai trò quan trọng. Với sự thay đổi nhanh chóng của dòng điện trong mạch, một trường điện từ xen kẽ sẽ xuất hiện trong không gian xung quanh và một nửa năng lượng ban đầu sẽ bị sóng điện từ mang đi.

Cần lưu ý rằng trong trường hợp này cần tính đến độ tự cảm nhỏ của dây nối. Sau đó, mạch trở thành mạch dao động với độ suy giảm nhỏ (nhưng không nhỏ vô cùng!). Quá trình sạc lại tụ điện có bản chất là dao động và không thể biến đổi theo bất kỳ cách nào bởi bức xạ năng lượng điện từ trong không gian xung quanh.

Hãy cố gắng giải quyết thêm một nghịch lý nữa, rất giống với nghịch lý trước đó.

Vấn đề 2. Có một tụ điện $C$ không tích điện và một pin có lực điện động $\mathcal{E}$. Hãy nối các tấm tụ điện với các cực của pin. Sau đó, một điện tích $q = C\mathcal{E}$ sẽ xuất hiện trên các bản và tụ điện sẽ thu được năng lượng điện $W = C\mathcal{E}^2/2$. Trong trường hợp này, pin sẽ hoạt động $A = q\mathcal{E} = C\mathcal{E}^2$. Chúng tôi thấy điều đó $W = 1/2A$. Lần tưới thứ hai đã hoạt động ở đâu, một cục pin hoàn hảo?

Nghịch lý 5. Một tụ điện không khí phẳng có công suất $C$ được đổ đầy chất lỏng điện môi chứa thức ăn $\varepsilon$ và được tích điện đến điện áp $U$. Đồng thời, tụ điện thu được năng lượng điện $W_1 = \varepsilon CU^2/2$. Sau đó tụ điện được ngắt khỏi nguồn, chất lỏng được rút hết rồi phóng điện. Có thể dễ dàng báo cáo rằng trong quá trình phóng điện, năng lượng $W_2 = \varepsilon^2 CU/2 = \varepsilon W_1$ được giải phóng (điện tích của tụ điện $q = \varepsilon CU$ không thay đổi khi xả hết chất lỏng và công suất trở thành $C$). Hóa ra là khi tụ phóng điện, nhiều hơn

56

năng lượng hơn nó nhận được khi sạc. Ví dụ: tại $\varepsilon=2W_2=2W_1$. Một tình huống nghịch lý rõ ràng đã nảy sinh.

Mặc dù bài toán về sự phóng điện của một tụ điện đã loại bỏ chất điện môi đã được biết đến trong nhiều phiên bản khác nhau, nhưng nhiều người nộp đơn đã gặp phải những khó khăn khi sử dụng khi cố gắng giải quyết nghịch lý này. Và lời giải thích ở đây rất đơn giản.

Khi loại bỏ chất điện môi khỏi tụ điện tích điện, một số công dương bên ngoài phải được thực hiện, vì chất điện môi luôn bị hút vào vùng có điện trường mạnh hơn (giữa các bản). Do tác dụng dương này của ngoại lực nên điện năng của tụ điện sẽ tăng lên:

$$W_2 - W_1 = A_{\text{внеш}}.$$

Trong trường hợp của chúng ta, chất điện môi lỏng chảy ra khỏi tụ điện dưới tác dụng của trọng lực, do đó năng lượng của tụ điện sẽ tăng theo lượng công do trọng lực thực hiện. Nếu tụ điện luôn được kết nối với nguồn thì cũng cần phải tính đến hoạt động của pin:

$$W_2 - W_1 = A_{\text{внеш}} + A_{\text{бат}}.$$

Điều này tương ứng với định luật bảo toàn năng lượng đối với một tụ điện cách ly (và nói chung đối với bất kỳ hệ tĩnh điện cách ly nào) khi có ngoại lực tác dụng.

Bài toán 3. Cố gắng tìm độc lập công bên ngoài và công thực hiện bởi một cục pin có lực điện động $\varepsilon$ khi một chất điện môi lỏng có độ thấm $\varepsilon$ được rút ra từ một tụ điện nối với cực của nó. Dung tích không khí của bình ngưng là $C$.

Nếu có điện trở hoạt động trong hệ thống thì nhiệt độ của joyle cũng phải được tính đến. Trong trường hợp này, thuận tiện nhất là viết định luật bảo toàn năng lượng dưới dạng

$$A_{\text{бат}} - Q = \Delta W - A_{\text{внеш}}$$