Giới thiệu về phép đo lập thể hay “Trò chơi tiên đề”

Kvant 1985, số 9 tr. 14, 15, 16, 18 Thẻ UB03

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Giới thiệu
trong phép đo lập thể,
hoặc
“Trò chơi tiên đề”

Ứng viên khoa học sư phạm
A. N. ZEMLYAKOV

Bài viết này chủ yếu nhắm đến những học sinh lớp chín đã bắt đầu nghiên cứu phép đo lập thể bằng sách giáo khoa của Viện sĩ A.V. Pogorelov. Nó cũng có thể được giáo viên sử dụng khi củng cố các tài liệu ở § 14 của sách giáo khoa này. Bản chất của các câu hỏi được thảo luận trong bài viết - về ý nghĩa của các công thức tiên đề, về vai trò của các tiên đề khác nhau, về những khó khăn logic nảy sinh trong việc chứng minh các định lý - có lẽ sẽ dễ hiểu và thú vị đối với tất cả những người yêu thích hình học và logic. Bạn sẽ xem qua § 14 trong cuốn sách “Hình học 6-10” (G., trang 175-177) của A. V. Pogorelov và xem có bao nhiêu “sự khác biệt” và “điều thú vị”, “thủ thuật” và “đủ mọi thứ” chỉ trong ba trang sách giáo khoa. Vì vậy, chúng ta hãy đi…

Từ phép đo phẳng đến phép đo lập thể

…Hãy nghĩ về ý nghĩa, và lời nói sẽ tự xuất hiện!
Lewis Carroll

Bạn đã nghiên cứu - đã đậu - ba tiên đề không gian C₁, C₂ và C₃ (Γ., tr. 175), và có lẽ cả ba định lý - 14.1, 14.2 và 14.3 (Γ., tr. 176-177). Bây giờ chúng tôi sẽ cùng bạn xem qua chúng, kiểm tra xem bạn có hiểu rõ mọi thứ trên ba trang lập thể đầu tiên hay không. Trong chứng minh định lý thứ nhất -

14.1: Qua một đường thẳng và một điểm không nằm trên đó, có thể kiểm tra mặt phẳng, chỉ dùng một irite

— không chỉ các tiên đề không gian được sử dụng—

C₂: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng cắt nhau theo đường thẳng

C₃: Nếu hai mặt phẳng khác nhau có một điểm chung thì thông qua chúng bạn có thể kiểm tra mặt phẳng đó, chỉ sử dụng một mặt phẳng

nhưng cũng có hai tiên đề, được gọi là “tiên đề phẳng” trong sách giáo khoa, hay chính xác hơn là “tiên đề phẳng” (Γ., tr. 175) - I₁ và I₂:

I₁: Dù đường thẳng là gì thì cũng có những điểm thuộc đường này và có những điểm không thuộc đường đó

I₂: Thông qua bất kỳ điểm nào bạn có thể kiểm tra một đường và chỉ một

Câu hỏi ngay lập tức được đặt ra: ý nghĩa của những “tiên đề phẳng” này trong phép đo lập thể là gì? Thật vậy, trong phép đo mặt phẳng, các tiên đề I₁ và I₂ đã mô tả các tính chất cơ bản của “sự thuộc về các điểm và đường thẳng trên một mặt phẳng” (Γ., trang 4). Các công thức đầy đủ của họ trong phép đo mặt phẳng xác thực hơn những công thức được đưa ra ở trên:

(I₁): Dù là đường thẳng (trong mặt phẳng), có những điểm (mặt phẳng) thuộc đường thẳng này và có những điểm (mặt phẳng) không thuộc đường thẳng đó

(I₂): Qua bất kỳ điểm (mặt phẳng) nào bạn có thể kiểm tra một đường thẳng và chỉ một

(lưu ý rằng chúng tôi đã thay đổi hình thành các tiên đề - “điều chỉnh” chúng cho phù hợp với mặt phẳng). Các lá phẳng - phát biểu ( $I_1$ ) và ( $I_2$ ) đúng ở mặt phẳng nào - có các tiên đề nhóm I trong phép đo lập thể? Hoặc có lẽ họ đang nói về điểm và đường thẳng trong không gian, tức là trong các công thức vừa cho trong ngoặc đơn, cùng với từ “mặt phẳng”, bạn cần thêm từ “không gian” (ví dụ: $I_1$ : Dù đường thẳng nào trong không gian thì cũng có điểm trong không gian… v.v.)?

Hãy dành thời gian của bạn để đọc thêm. Hãy thử trả lời các câu hỏi đã đặt ra, mở SGK và xem các tiên đề $I_1$ và $I_2$ được sử dụng như thế nào trong chứng minh định lý thứ nhất - 14.1.

Bạn đã nhìn chưa? Chúng ta hãy cùng nhau theo dõi tiến trình chứng minh Định lý 14.1. Đây là nội dung của sách giáo khoa.

Giả sử $a$ là một đường thẳng cho trước và $B$ một điểm không nằm trên đó.

Ở đây chúng ta chỉ giới thiệu ký hiệu cho các điều kiện của định lý.

Chúng ta hãy đánh dấu một số điểm $A$ trên đường $a$ . Điểm như vậy tồn tại theo tiên đề $I_1$ .

Dừng lại! Nếu việc giải thích tiên đề $I_1$ là phẳng, thì để áp dụng nó, đường thẳng $a$ cần phải nằm trong một mặt phẳng nào đó. Nhưng một tiên đề như vậy - chẳng hạn như “Với mọi đường thẳng đều có một mặt phẳng đi qua nó” - than ôi, không có tiên đề nào như vậy trong sách giáo khoa. Điều này có nghĩa là tiên đề của phép đo phẳng $I_1$ trong phép đo lập thể nên được hiểu là không gian. Hãy tiếp tục “cuộc điều tra”. Cụm từ sau đây từ bằng chứng:

Chúng ta vẽ một đường thẳng $b$ đi qua các điểm $A$ và $B$ (tiên đề $I_2$ ).

Đáng giá một lần nữa! Việc giải thích phép đo phẳng yêu cầu các điểm $A$ và $B$ nằm trong cùng một mặt phẳng để áp dụng tiên đề $I_2$ . Nhưng chúng ta không có tiên đề nào đảm bảo điều này. Điều này có nghĩa là tiên đề $I_2$ cũng rất rộng, chỉ trùng khớp ở cách thức diễn đạt bằng lời nói ngắn gọn với tiên đề phẳng $I_2$ từ § 1.

Hãy tóm tắt. Các tiên đề của phép đo phẳng $I_1$ và $I_2$ trong phép đo lập thể có nghĩa rộng (“Hãy nghĩ về ý nghĩa!”), và công thức đầy đủ của chúng phải bao gồm các từ tương ứng (“các từ sẽ tự xuất hiện!”). Dưới đây là các tuyên bố đầy đủ:

$I_1$ : Dù là đường thẳng nào trong không gian thì cũng có những điểm trong không gian thuộc về đường thẳng này và có những điểm trong không gian không thuộc về đường thẳng đó (đường thẳng);

$I_2$ : Thông qua hai điểm bất kỳ trong không gian, bạn có thể kiểm tra một đường thẳng (trong không gian) và chỉ một đường thẳng.

Các tiên đề phẳng ( $I_1$ ) và ( $I_2$ ) trong phép đo lập thể đã trở thành các định lý:

$I_1'$ . Dù đường thẳng nào trong một mặt phẳng thì cũng có những điểm trên mặt phẳng này thuộc về đường thẳng đó và có những điểm trên mặt phẳng này không thuộc về nó (đường thẳng);

$I_2'$ . Qua hai điểm bất kỳ trong không gian, người ta có thể kiểm tra một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này chỉ bằng một điểm.

Tất nhiên, Định lý $I_2'$ tuân theo Định lý 14.2 và tiên đề mở rộng $I_2$ . Phát biểu đầu tiên của Định lý $I_1'$ thậm chí còn rõ ràng hơn (hãy nghĩ về nó!). Nhưng chúng ta vẫn cần phải mày mò với tuyên bố thứ hai. Hãy xây dựng nó dưới dạng bài toán.

Bài toán 1. Cho một mặt phẳng $a$ và một đường thẳng $a$ nằm trong đó. Chứng minh rằng tồn tại những điểm thuộc mặt phẳng $a$ nhưng không thuộc đường thẳng $a$ .

Từ tiên đề đến định lý

Tìm ra ai đang nói với bạn?

Nghe mọi thứ mà không có chi tiết…
Voris Pasternak

Đã giải xong trang 175, chúng ta hãy chuyển sang các trang tiếp theo của sách giáo khoa - chứng minh ba định lý đầu tiên. Trước tiên, chúng tôi khuyên bạn nên làm bài toán: đặt các mũi tên trên sơ đồ (hình 1, trên đó các tiên đề được biểu thị bằng hình tròn và định lý bằng hình vuông) cho biết

các mệnh đề được sử dụng trong chứng minh Định lý 14.1, 14.2 và 14.3. Chúng ta đã chỉ ra hai mũi tên tương ứng với các tiên đề I₁ và I₂ được sử dụng trong phần chứng minh của Định lý 14.1.

Để đặt chính xác các mũi tên còn lại, bạn cần một lần nữa đọc kỹ tất cả các chi tiết của dữ liệu trong sách giáo khoa chứng minh định lý.

Trong khi bạn đang ở đó, chúng ta sẽ xem xét cách chứng minh định lý thứ hai:

14.2. Nếu hai điểm của một đường thẳng thuộc một mặt phẳng thì toàn bộ đường thẳng đó thuộc mặt phẳng đó

(tại hình bên trái, điều không thể được mô tả - một đường thẳng không thể “xuyên thủng” mặt phẳng tại hai điểm!). Vì vậy, cho đường thẳng a và mặt phẳng α có hai điểm chung. Chúng ta xét điểm A∉α (tiên đề I₁), rồi đến mặt phẳng α’, đi qua đường thẳng a và điểm A (và đây là… cái gì?).

Sự tồn tại của một mặt phẳng như vậy được đảm bảo bởi Định lý 14.1 đã được chứng minh - và, nhân tiện, đây là lý do tại sao trong bước đầu tiên của chứng minh, chúng ta lấy điểm A nằm ngoài đường thẳng a (theo “tiên đề” I₁), chứ không phải trong mặt phẳng α (“theo tiên đề” C₁). Cũng lưu ý rằng không có tài liệu tham khảo rõ ràng nào về Định lý 14.1 trong sách giáo khoa - nó được ngụ ý. Theo quy tắc của chúng tôi, chúng tôi sẽ đặt một mũi tên trên sơ đồ từ hình vuông 14.1 đến hình vuông 14.2.

Phần còn lại của chứng minh sử dụng tiên đề C₂ (một lần nữa không

Hình 1.

rõ ràng - không có tham chiếu) và tiên đề I₁, sao cho tổng cộng bốn mũi tên sẽ được vẽ vào hình vuông 14.2 trên sơ đồ.

Bạn đã đặt mũi tên chưa? Kiểm tra sơ đồ của bạn với sơ đồ của chúng tôi, được đưa ra trên trang. 18 (xem hình 4). Một tình huống gây tò mò nhất được tiết lộ - từ tiên đề C₁:

C₁: Dù là mặt phẳng nào thì cũng có những điểm thuộc mặt phẳng này và có những điểm không thuộc mặt phẳng đó

không có mũi tên nào tới! Có lẽ nó không cần thiết chút nào vì nó chưa được sử dụng? Dừng lại! Nghĩ!

Nếu bạn giải được tất cả bài toán đến §14, thì trong hai trong số đó bạn phải sử dụng tiên đề “lạ” này - chính xác là trong cái nào? Trên thực tế, tiên đề C₁ là tiên đề không gian thiết yếu nhất. Từ đó suy ra rằng có các mặt phẳng giao nhau trong không gian (nếu không thì chúng ta đang nói về điều gì trong tiên đề C₂!), có những điểm không nằm trong cùng một mặt phẳng (xem bài toán 1, 5, 10 đến §14), chúng ta có thể coi các đường thẳng không nằm trong cùng một mặt phẳng (xem bài toán 2 và 9 đến §14). Chúng ta hãy xây dựng các tuyên bố này dưới dạng bài toán:

Chứng minh rằng có hai mặt phẳng cắt nhau trong không gian.
Chứng minh rằng có hai đường thẳng trong không gian không cùng thuộc một mặt phẳng.
Chứng minh rằng trong không gian 所述 có 4 mũi tên không cùng nằm trong một mặt phẳng.
Chạy vòng tròn

Khi ném sỏi xuống nước, hãy nhìn vào các vòng tròn hoặc hình dạng; nếu không việc ném như vậy sẽ chỉ là niềm vui trống rỗng.

Kozma Prutkov

Hãy xem lại Định lý 14.1 - 14.3. Xin lưu ý: cách diễn đạt đầu tiên trong số chúng (xem đoạn 1) tương tự như cách diễn đạt thứ ba -

14.3: Qua ba điểm không thẳng hàng có thể vẽ được một mặt phẳng và chỉ có một

Cả hai đều chứa hai phát biểu: về sự tồn tại của một mặt phẳng (“có thể vẽ một mặt phẳng”) và về cường độ của nó.

Hình 3.

Phải nói rằng sai lầm này là phổ biến và ngấm ngầm; Vì vậy, trong suốt nhiều thế kỷ, các “chứng minh” về tiên đề song song (tiên đề V từ §1 trong sách giáo khoa của A.V. Pogorelov, tương đương với tiên đề thứ năm của Euclid) đã xuất hiện, ngay cả bởi các nhà toán học chuyên nghiệp. Chỉ sau khi “điều tra” kỹ lưỡng, người ta mới phát hiện ra một vòng luẩn quẩn trong họ. Nhưng đó là một chủ đề khác.

Có lẽ một số độc giả đã để lại cảm giác không hài lòng - sai lầm “Vẫn còn có gì đó ở đây!” Thật vậy, vòng luẩn quẩn của chúng ta có thể bị “phá vỡ” nếu chúng ta chia Định lý 14.1 thành hai phần:

14.1.A. Một mặt phẳng có thể vẽ được qua một đường thẳng và một điểm không nằm trên đó và
14.1.B. và chỉ có một.
Trong chứng minh Định lý 14.2, chỉ sử dụng mệnh đề 14.1.A, do đó cấu trúc đầy đủ của lập luận có thể được thực hiện theo sơ đồ được mô tả trong hình 5.
Như bạn có thể thấy, nếu không có tiên đề C₂ thì vẫn không thể chứng minh đầy đủ Định lý 14.1.

Kết luận: câu hỏi và bài toán “cuối cùng”

Khi kết thúc chuyến tham quan §1, tôi sẽ hỏi thêm ba câu hỏi nữa cho nội dung sách giáo khoa.

I. Trong sách giáo khoa lời giải bài toán 5 (tr. 176) một trường hợp logic có thể bị bỏ qua - trường hợp nào? Phải làm gì trong trường hợp này?

II. Các điều kiện được thảo luận trong sách giáo khoa bài toán 7 (tr. 177) nói về các đường thẳng cắt nhau giữa hai đường thẳng a và b nhưng không đi qua giao điểm A của chúng. Yêu cầu cuối cùng này có quan trọng không? Nó có được sử dụng trong lời giải không?

III. Trong sách giáo khoa của A.V. Pogorelov (ấn bản 1982-1985), trong chứng minh Định lý 14.1 có thêm một từ toán học - cái gì? Tìm anh ấy.

Và “cuối cùng” - bốn bài toán nữa về một chủ đề tương tự.

Chứng minh rằng qua một đường thẳng bất kỳ trong không gian người ta có thể vẽ được: a) ít nhất một mặt phẳng; b) ít nhất hai mặt phẳng khác nhau; c) có vô số mặt phẳng.

(Cuối cùng xem trang 28)

Hình 4.