Hội thảo Vật lý và Toán học dành cho học sinh

61

Hội thảo Vật lý và Toán học dành cho học sinh

Vào ngày 16 tháng 3 năm 1985, một hội nghị khoa học dành cho học sinh đã được tổ chức tại trường nội trú vật lý và toán học thuộc Đại học quốc gia Moscow.

Những người tham gia hội nghị—học sinh lớp 9 và 10 của Trường Vật lý tại Đại học Quốc gia Moscow, trường thứ 57, 179, 444 ở Moscow, cũng như Khoa Vật lý của Đại học Quốc gia Moscow—đã nói về nghiên cứu độc lập mà họ thực hiện dưới sự hướng dẫn của các giáo viên trong trường của họ, cũng như các nhân viên của Đại học Moscow, Viện Toán ứng dụng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và các viện khoa học khác.

Hội nghị được khai mạc bằng phần trình bày của ban giám khảo bởi Giám đốc Trường Vật lý và Toán học tại Đại học quốc gia Moscow, ứng cử viên khoa học vật lý và toán học V.L. Natyaganov, người muốn tham gia hội nghị thành công và lưu ý rằng điều chính trong công việc của họ thậm chí không phải là kết quả cuối cùng (trong thời đại chúng ta rất khó mong đợi những khám phá khoa học từ học sinh), mà là việc tiếp thu khoa học, tinh thần và khả năng sáng tạo độc lập của nó, sẽ rất hữu ích cho họ trong tương lai.

Sau đó, một phiên họp toàn thể diễn ra, tại đó M. Erikov (Trường Vật lý thuộc Đại học Tổng hợp Moscow, lớp 10) đọc một báo cáo “Về nguyên nhân của Fermat trong quang học”. Tác giả của báo cáo đã khám phá khả năng sử dụng nguyên lý Fermat để phân tích các hệ thống quang học được nghiên cứu trong khóa học vật lý ở trường. Ông không chỉ sưu tầm, tổng hợp tài liệu về chủ đề này mà còn thu được những kết quả mới thú vị.

Công việc tiếp theo của hội nghị được thực hiện trong 3 phần. Tại các phần được chỉ định, 22 báo cáo đã được đọc: 8 về toán học và 14 về vật lý.

Cả 8 báo cáo trong phần toán đều rất thú vị.

Các báo cáo của V. Sadov (trường số 57) “Về mô hình hóa một thí nghiệm vật lý”, M. Kudryashov và I. Balaban (trường số 179) “Chuyến bay lên mặt trăng” và V. Volokitin (trường số 179) “Về một phương pháp của phương trình số lời giải Riccati” nổi bật vì trọng tâm ứng dụng của họ và dành cho lời giải sử dụng máy tính hiện đại bài toán, không liên quan trực tiếp để phục vụ các vấn đề thực tế. Những công việc này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của nhân viên và trên máy tính của Viện các bài toán của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Điều thú vị là các tác giả của báo cáo đã phát hiện ra rằng học sinh có kiến ​​thức không đáng kể trong lĩnh vực ứng dụng toán học, cũng như khả năng lập trình trên máy tính hiện đại.

Năm báo cáo còn lại, được hoàn thành bởi các sinh viên Trường Vật lý và Toán học tại Đại học Quốc gia Moscow, dành cho các phần khác nhau của toán học “số”.

V. Roganov trong báo cáo “Về một số khái quát hóa lý thuyết Euler” đã tìm ra các điều kiện phải thỏa mãn bởi bán kính r và R của các đường tròn ngoại tiếp và ngoại tiếp của một tam giác lồi (tất nhiên, chúng ta đang nói về các đa giác được viết và ngoại tiếp đồng thời quanh một đường tròn) và khoảng cách d giữa tâm của các đường tròn này. Theo định lý Euler cho tam giác d2=R2-2Rr. Người nói đã nhận được sự khái quát hóa của định lý này với n>3.

Báo cáo “Trò chơi và nhóm” của O. Vasov đã thảo luận về các vấn đề giúp có thể hiểu được cấu trúc đánh giá số giây thử nghiệm của những cái đầu chẳng hạn như khối Rubik. S. Partley trong báo cáo “Các nghiệm hàm” đã tìm ra trong những điều kiện nào một hàm liên tục cho trước f(x) có thể được biểu diễn dưới dạng h(h(x))=f(x), trong đó h là một hàm liên tục nào đó. Hóa ra điều kiện đủ ở đây là khả năng của hàm h.

Ví dụ được đưa ra khi hàm h không tồn tại. Nhìn chung, bài toán về sự tồn tại của “căn bậc hai hàm” vẫn còn cách xa lời giải của nó. Ví dụ, không rõ liệu có tồn tại hàm vi phân h(x) mà h(h(x))=sinx hay không.

S. Chepanov và N. Shamarov đã nghiên cứu các phương trình động có dạng $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \dots + \frac{1}{x_n} = \frac{1}{N}$, trong đó x₁, x₂, …, xₙ là các số tự nhiên phân biệt theo cặp và N là số tự nhiên. Trong một số trường hợp họ thu được kết quả thú vị.

Trong báo cáo “Về phép biến đổi của đồ thị phẳng” của A. Slepukhin, rõ ràng một định lý mới của lý thuyết đồ thị đã được chứng minh!

Các báo cáo ở hai phần vật lý rất thú vị và giàu thông tin.

Trong báo cáo của A. Soldatov “Ước tính năng lượng liên kết của các phân tử chất lỏng bằng áp suất hơi bão hòa”, Y. Prokorov “Ước tính năng lượng liên kết của các phân tử nước liên quan đến sự phân bố nhiệt độ của nước” và V. Lushikov “Trên một CONSTANTE không thứ nguyên đặc trưng cho chất lỏng,” các tác giả đã thu được những kết quả mới thú vị. Cần lưu ý rằng tác giả của hai báo cáo đã sử dụng máy tính để phân tích các đường cong thử nghiệm và trong báo cáo thứ hai, chương trình máy tính khá phức tạp. Các sinh viên của bộ phận cũng bày tỏ sự quan tâm lớn đến báo cáo của V. Costunn “Kiểm tra các định luật chuyển động của các vật thể bằng ví dụ về hành tinh Sao Kim”. Trong báo cáo, tác giả đã sử dụng những quan sát của chính mình để xử lý và để thuận tiện cho việc quan sát, ông đã thiết kế một thiết bị nguyên bản.

Báo cáo của I. Tuzov “Nghiên cứu thực nghiệm về tế bào Wenar trong môi trường lỏng” rất thú vị. Công việc này được đặc trưng bởi nghiên cứu chức năng và kỹ lưỡng. Báo cáo “Về tốc độ giới hạn của đạn bắn ra từ vũ khí hỏa lực” của S. Kozyrev cho thấy khi sử dụng thuốc nổ thông thường, tốc độ đạn tối đa nhất định (v ~ 10 km/s) không ảnh hưởng đáng kể. Tốc độ này cao nhưng không đủ để phóng một viên đạn chẳng hạn lên Mặt trăng. Trong báo cáo của D. Ishchenko “Về độ ổn định cơ học của tháp trong trường cường độ”, tác giả đã thu được ước tính tương đối đơn giản về giới hạn trên của chiều cao của tháp mà không cần sử dụng một thiết bị phức tạp, nhờ đó cả hai hiện tượng này được phân tích. Báo cáo của M. Kuznetsov và O. Fominov “Một số vấn đề về tăng điện trường” cũng rất thú vị.

62

Các báo cáo liệt kê được hoàn thành bởi các sinh viên Trường Vật lý thuộc Đại học Tổng hợp Mátxcơva dưới sự hướng dẫn của các giáo viên và nhân viên Khoa Vật lý của Đại học Quốc gia Mátxcơva.

Báo cáo của Oleg Kozvsky (trường số 444) “Mô hình áp suất khí quyển” rất hấp dẫn. Trong công trình này, vấn đề hình thành các xoáy khí quyển - các chu kỳ trong bầu khí quyển Trái đất, có tính đến chuyển động quay hàng ngày của nó, đã được xem xét về mặt lý thuyết. Tác giả đã trình diễn một thiết bị thủy động lực học được thể hiện tốt và các ước tính bằng số đặc trưng cho sự phát triển của lốc xoáy được thực hiện trên máy tính. Nhìn chung, các kết quả thu được mô tả chính xác những nét chính về sự phát triển của lốc xoáy. Chúng tôi tin rằng công việc này là mối quan tâm khoa học. Báo cáo đánh giá của S. Frolov (trường số 444) “Nguồn năng lượng tái tạo” cũng rất thú vị.

Độ dài của ghi chú không cho phép chúng tôi trình bày chủ đề của tất cả các báo cáo ở đây. Chúng ta hãy lưu ý rằng tất cả chúng đều thú vị. Nhìn chung, hội nghị bị chi phối bởi hai niềm đam mê sáng tạo và khoa học.

Các nhân viên của Viện Các vấn đề Toán học của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, Đại học Tổng hợp Moscow, các thành viên ban biên tập và các thành viên ban biên tập của tạp chí «Kvant» đã tham gia vào công việc của mình.
Trong tương lai, hội nghị này sẽ trở thành truyền thống và chúng tôi hy vọng sẽ mở rộng thành phần và địa lý của những người tham gia.

Giáo viên Trường Vật lý và Toán học tại Đại học quốc gia Moscow
A. V. Belov, A. A. Egorov

Đáp số, gợi ý, lời giải

Giới thiệu về Vsterometry, hay “Trò chơi tiên đề”
Lời giải bài toán (1—8)

1. Lấy hai điểm A và B tại đáy a, điểm C nằm ngoài mặt phẳng a và xét mặt phẳng β=ABC. Lấy điểm D bên ngoài mặt phẳng β và xét mặt phẳng γ=BCD. Các mặt phẳng γ và a cắt nhau dọc theo đường thẳng d, khác đường thẳng a=AB - nếu không thì điểm D sẽ nằm trong mặt phẳng β. Điều này có nghĩa là bất kỳ điểm E nào của đường thẳng d, khác B, đều thỏa mãn các điều kiện bài toán: E ∈ u, E∉ a.
   lời giải này sử dụng các tiên đề và định lý một cách tuần tự (theo dõi!): I1, C1, I2, 14.3; C1, 14.2 (ở đâu?!), I2, 14.3; lại 14.3 (ở đâu?!) và C2; cuối cùng, một lần nữa là 14,3 (hoặc 14,1, nhưng có lý do bổ sung). Tất nhiên, như trong các bài toán khác, lời giải khác cũng có thể xảy ra.
   Trong chuỗi bài toán 2-4 dễ tìm thấy hơn ở phần cuối cùng.
2. Hãy lấy hai điểm A và B khác nhau trong không gian (“tiên đề 0”!). Xét đường thẳng AB và lấy điểm C nằm ngoài AB (các tiên đề I2 và I1). Khi đó các điểm A, B, C không thẳng hàng (tiên đề I2). Xét mặt phẳng ABC (Định lý 14.1) và lấy điểm D bên ngoài nó (tiên đề C1). Khi đó các điểm A, B, C và D không nằm trong cùng một mặt phẳng (không có mặt phẳng nào - ngược lại, theo Định lý 14.3, mặt phẳng này sẽ trùng với ABC và điểm D sẽ nằm trong mặt phẳng ABC, trái với sự lựa chọn của nó).
3. 3. Chúng ta dựng các điểm A, B, C, D như trong lời giải bài toán 4. Khi đó các mặt phẳng ABC và ABD khác nhau và cắt nhau, các đường thẳng AB và CD không nằm trong cùng một mặt phẳng.
4. a) Gọi a là đường thẳng đã cho. Lấy điểm B bên ngoài a và vẽ mặt phẳng đi qua a và B (Định lý 14.1). Chúng tôi yêu cầu bằng chứng.

6. Gọi a là đường thẳng đã cho, β là mặt phẳng vừa dựng. Lấy điểm C nằm ngoài β - thì C∉ a và một mặt phẳng đi qua a và C từ β.
   b) Gọi a là đường thẳng cho trước và gọi các điểm B, C và các mặt phẳng β, γ là những điểm được xây dựng ở đoạn văn trên. a) và 6). Khi đó đường thẳng BC không cắt đường thẳng a (nếu không a và BC sẽ nằm trong cùng một mặt phẳng).

xương và các mặt phẳng β, γ trùng nhau), do đó, qua đường thẳng a và bất kỳ điểm A nào của đường thẳng BC ta vẽ được một mặt phẳng - ký hiệu nó là a (A). Đối với các điểm A khác nhau - chẳng hạn như A1 và A2, các mặt phẳng tương ứng - a (A1) và a (A2) - là khác nhau, vì nếu không thì các đường thẳng a và A1A2, tức là a và BC, sẽ nằm trong cùng một mặt phẳng, và các mặt phẳng β=a(B) và γ=a(C) sẽ trùng nhau. Trên bất kỳ đường thẳng nào cũng có vô số điểm (khác nhau) (điều này xuất phát từ tiên đề đoạn trễ IV và vô số của tập hợp số!), do đó, thông qua một đường thẳng cho trước, người ta có thể vẽ vô số mặt phẳng khác nhau (đây là các mặt phẳng được chỉ định a(A)).

6. Nếu a là đường thẳng cho trước, lấy các điểm A, B trên a, điểm C ngoài a. Cho mặt phẳng a=ABC lấy điểm D nằm ngoài a. Khi đó mặt phẳng β=BCD khác với a và do đó cắt đường thẳng a=AB tại một điểm - tại điểm B.
7. Nếu a là mặt phẳng cho trước, lấy các điểm A ∈ u, B∉ a. Khi đó đường thẳng a=AB sẽ cắt mặt phẳng a tại một điểm - A.
8. Trên thực tế, bài toán này đã được giải quyết trong phần chứng minh khẳng định bài toán 5, c. Lý do ngắn gọn: nếu các điểm A, B, C và D được chọn như trong bài toán 6 thì đường thẳng d=CD không nằm trong cùng một mặt phẳng với đường thẳng đã cho a=AB, hoặc theo lựa chọn của bạn, các điểm A, B, C, D không nằm trong cùng một mặt phẳng.

Đáp số cho các câu hỏi (I–III)

1. Trường hợp cả bốn điểm đều nằm trên cùng một đường thẳng chưa được xem xét (khi đó Định lý 14.1 không được áp dụng chính thức). Ở đây bạn có thể nhận thấy rằng thông qua đường thẳng (và bốn điểm của chúng ta), bạn có thể vẽ một mặt phẳng (nhiệm vụ 5,a) từ stata), do đó trong trường hợp này có mâu thuẫn với các điều kiện bài toán.
2. Yêu cầu đường c không đi qua điểm a và b được sử dụng đáng kể trong lời giải. Từ đó suy ra điểm M và N giao nhau với a và b khác nhau nên ta có thể áp dụng Định lý 14.2.
3. Trong sách giáo khoa, chứng minh Định lý 14.1 có viết: “… ba điểm chung bất kỳ…” (tr. 176). Từ “ba” không liên quan gì đến nó - nó vẫn còn từ chứng minh trước đó (từ sách giáo khoa ấn bản năm 1981).