61
Физiko-mатематическая конференция школьников
16 марта 1985 года в физiko-mатематической школе-interнатate при МГУ состоялась научная конференция школьников.
Участики конференции — ученики 9-х и 10-х классов ФМШ при МГУ, 57-й, 179-й, 444-й школе г. Москвы, а также ЭФШ при МГУ — рассказали о самостоятельных исследованиях, которые они проводили под руководством преподавателей своих школ, а также сотрудников Московского университета, Институт прикладной математики АН СССР и других научных институтов.
Конференцию открыли представление ее жюри директор ФМШ при МГУ кандидат физико-mатематических наук В. Л. Натяганов, пожелавший участвовать конференции успесов и отметивший, что главное в их работе даже не конечные результаты (в нашей время трудно ожидать от школьников серверных научных открытий), а то приобретение к науке, к ее духову и с самостоятельному творчеству, которое очень пригодится им в дальнейшем.
Затем состоялось пленарное засечение, на котором был прочитан доклад М. Ерикова (ФМШ при МГУ, 10-й класс) «О причины Ферма в оптике». Автор доклада исследовал возможность применения принципа Ферма для анализа оптических систем, изучаемых в школьном курсе физики. Он не только собрал и обобщил материал по этой теме, но и получил новые интересные результаты.
Дальнейшая работа конференции проводила в 3-х секциях. На засечанных секциях было прочитано 22 доклада: 8 по математике и 14 по физике.
Все 8 докладов на секции математики были весом интересными.
Доклады В. Садова (школа № 57) «О моделировании одного физического эксперимент», М. Кудряшова и И. Балабана (школа № 179) «Полет на Луну» и В. Волокитина (школа № 179) «О одном методе численного решения уравнения Риккати» выделились свое приложение направленностью и были посвящены решению с помощью современных ЭВМ задачи, нередкредитно связанных с серверными практическими проблемами. Эти работы были выполнены под руководством сотрудников и на вычислительных машинах ИПМ АН СССР. Приятно отметить, что авторы докладов обнаружили незначительные для школьников позания в области приложения математики, а также уменение программы на современных ЭВМ.
Остальные пять докладов, выполненные учениками ФМШ при МГУ, были посвящены различным разделам «числой» математики.
В. Роганов в своей докладе «О некоторых обобщениях теории Эйлера» выяснил условия, которые должны удовлетворять радиусы r и R описанного и описанного кругов выпуклого п-yогльника (разумеется, речь идет о многоугольниках, одновременно писанных и описанных около окружности) и расстояние d между центрами этих кругов. По теореме Эйлера для треугольника d²=R²-2Rr. Докладчик получил обобщения этой теоремы для n>3.
В докладе О. Васова «Игры и группы» шла речь о задачах, позволяющих разобраться в структуре оценки попытальных секунд головок типа кубика Рубика. С. Партли в докладе «Функциональные корни» выяснили, при каких условиях дана непрерывная функция f(x) может быть представлена в виде h(h(x))=f(x), где h — некоторая непрерывная функция. Оказылось, что достаточно условием здесь является возможность функции h.
Приведены примеры, когда функция h не существует. В целом же задача о существовании «функциональных квадратных корней» еще далеко от своего решения. Например, неясно, существует ли дифференциальная функция h(x), для которого h(h(x))=sinx.
С. Чепанов и Н. Шамаров исследовали динамические уравнения вида , где x₁, x₂, …, xₙ — попарно различные натуральные числа, а N — натуральное число. В некоторых частях случаев ими получены любопытные результаты.
В докладе А. Слепухина «О преобразования плоских графов» была доказана, по видимому, новая теорема из теории графов!
Очень интересными и содержательными были доклады на двух физических секциях.
В докладе А. Солдатова «Оценка энергии связи молекул жидкости по давлению насыщенных паров», Ю. Прокорова «Оценка энергии связи молекул воды в ассоциации по температурному распределению воды» и В. Лушикова «Об одной безразмернойCONSTANTE, характеризующей жидкость» авторы получены новые интересные результаты. Следует отметить, что для анализа экспериментальных кривых авторы двух докладов использовали ЭВМ, причем во втором докладе программы для ЭВМ была достаточно сложной. Большой интерес уученики секции высказывал также доклад В. Костюнна «Проверка законов движения тел на примере планеты Венера». В докладе автор использовал для обработки свои собственные наблюдения, причем для облегчения наблюдения им был сконструирован оригинальной прибора.
Очень интересным был доклад И. Тузова «Экспериментальное изучение ячеек Венара в жидких средах». Эту работу характеризуют функментальное и тщательное проведение исследований. В докладе С. Козырева «О пределе скорости снарядов, вылетающих из огнестельного орудия» показано, что при использовании обычных взрывных веществ существенно неffectuates некоторая предельная скорость движения снаряда (v~10 km/c). Эта скорость велика, но ее недостаточно для отправки снаряда, например, на Луну. В докладе Д. Ищенко «О механической устойчивости башен в поле силястости» автор сравнительно просто получил оценку верхнего предела высоты башен, не использовая сложного аппарата, с помощью которой оба анализируется это явление. Интересен был также доклад М. Кузнецова и О. Фоминова «Некоторые вопросы повышения диэлектрического поле».
62
Перечисленные доклады выполнены ученками ФМШ при МГУ под руководством преподавателей школа и сотрудников физического факультета МГУ.
Сильное влечение произвел доклад Олега Козвского (школа №444) «Баротропная модель атмосферы». В этой работе был теоретически рассмотрен вопрос об образовании атмосферных вхрей — циклов в атмосфере Земли с учетом ее суточного вращения. Автор проявил хорошо выраженное аппаратом гидродинамики, причем численные оценки, характеризующие развитие циклона, были проведены на ЭВМ. Полученные результаты, в целом, правильно описывают основные черты развития циклона. Нам кажется, что эта работа представляет научный интерес. Очень интересным был также обзорный доклад С. Фролова (школа №444) «Возобновляемые источники энергии».
Объем заметки не позволяет нам изложить здесь темы всех докладов. Отметим только, что все они были интересными. Вообще на конференции господствовал двух творчества, увлеченности научной.
В ее работе приняли участие сотрудники ИПМ АН СССР, МГУ, члены редакции и сотрудники редакции журнала «Квант».
В дальнейшем эта конференция станет традиционной, и мы надеемся на расширение состава и географии ее участников.
Преподаватели ФМШ при МГУ
А. В. Белов, А. А. Егоров
Ответы, указания, решения
Введение встерометрию, или «Аксиоматические игры»
Решения задач (1—8)
- Возьмем на примой a две точки A и B, вне плоскости a — точку C, и рассмотрим плоскость β=ABC. Возьмем точку D вне плоскости β и рассмотрим плоскость γ=BCD. Плоскости γ и а пересекаются по прямой d, отличной от прямой a=AB — иначе точка D лежала бы в плоскости β. Значит, любая точка E прямой d, отличная от B, удовлетворяет требованиям задачи: E ∈ u, E∉ a.
В этом решении последовательно использовался аксиомы и теоремы (проследите!): I1, C1, I2, 14.3; C1, 14.2 (где?!), I2, 14.3; опять 14.3 (где?!) и C2; наконец, еще раз 14.3 (или 14.1, но с дополнительными рассудениями). Конецно, как и в остальных задачах, возможно и другие решения.
В серии задачи 2—4 проще найти с последней. - Возьмем в пространстве две различные точки A и B («аксиома 0»!). Расмотрим прямую AB и возьмем точку C вне AB (аксиомы I2 и I1). Тогда точки A, B, C не лежат на одной прямой (аксиома I2). Расмотрим плоскость ABC (теорема 14.1) и возьмем точку D вне нее (аксиома C1). Тогда точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости (ни в какой плоскости — иначе, согласно теореме 14.3, эта плоскость совпадала бы с ABC и точка D лежала бы в плоскости ABC, в противоречи с ее выбором).
-
- Построим точки A, B, C, D так, как в решении задачи 4. Тогда плоскости ABC и ABD различны и пересекаются, а прямые AB и CD не лежат в одной плоскости.
- a) Пусть a — данная прямая. Возьмем точку B вне а и проведем через a и B плоскость (теорема 14.1). Требуем доказано.
- Пусть a — данная прямая, β — только что построенная плоскость. Возьмем точку C вне β — тогда C∉ a и через a и C проходит от β плоскость.
b) Пусть a — данная прямая, а точки B, C и плоскости β, γ — построенные выше, в пп. a) и 6). Тогда прямая BC не пересекается с прямой a (иначе a и BC лежали бы в одной плоскости).
кости, и плоскости β, γ совпадали бы), поэтому через прямую a и любую точку A прямой BC можно проводить плоскость — обозначим ее a (A). Для различных точек A — скажем, A1 и A2, соответствующие плоскости — a (A1) и a (A2) — различны, поскольку в противном случае прямые a и A1A2, то есть a и BC, лежали бы в одной плоскости, и плоскости β=a(B) и γ=a(C) совпадалы бы. На любой прямой существует бесконечную много (различных) точки (это следует из аксиомы откладывания отрезков IV и бесконечности многоства чисел!), так что через данную прямую a можно проводить бесконечную многоразличных плоскостей (это указанные плоскости a(A)).
- Если a — данная прямая, возьмем точки A, B на a, точку C — вне a. Расмотрим плоскость a=ABC и возьмем точку D вне a. Тогда плоскость β=BCD отлична от a и поэтому пересекает прямую a=AB в одной точке — в точке B.
- Если a — данная плоскость, возьмем точки A ∈ u, B∉ a. Тогда прямая a=AB будет пересекать плоскость a в единственной точке — A.
- Фактически эта задача уже была решена при доказательстве утверждения задачи 5, в. Краткое рассуждение: если точки A, B, C и D выбрать как в задаче 6, то прямая d=CD не лежит в одной плоскости с данной прямой a=AB, либо, согласно своему выбору, точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.
Ответы на вопросы (I—III)
- Не рассмотрен случай, когда все четыре точки лежат на одной прямой (тогда теорема 14.1 формально не применима). Здесь можно заметить, что через прямую (и наши четыре точки) можно проводить плоскость (задания 5,a) из статы), так что в указанной случае приходится к противоречию с условиям задачи.
- Требование, чтобы прямая c не проходила через точки a и b, существенно использовется в решении. Из него следует, что точки M и N пересечения с а и b различаны, поэтому можно применить теорему 14.2.
- В учебнике в доказательстве теоремы 14.1 говорится: «… любые три общие точки…» (с. 176). Слово «три» здесь ни при чем — оно осталось от прежнего доказательства (из учебника 1981 года издания).