Конвекция и самоорганизующиеся структуры

8

Конвекция и самоорганизующая структуры

Кандидат физико-mатематических наук
E. E. ГОРОДЕЦКИЙ.
В. С. ЕСИПОВ

Ветры и океанские течение, движение материалов и потоки солнечной материи… Каждое из этих явлений очень сложно и многообразно. И все же они (а также многое другое) имеют характерную общую черту: существенно роль в них играет конвекция — одно из самых красивых явлений в физике макромира.

В последние годы интерес к этому «старому» и, казалось бы, хорошо знакомому явлению резко повышился. Оказывается, конвекция — один из тех процессов, в результате которых системы, первоначально неупорядоченные, приходит в упорядоченное состояние. Рождение порядка из хаоса (или, иначе, самоорганизация) — этоfundamentalный механизм эволюции. И понятие конвекции помогает нам продвинутся в понимании этой захватывающей и, в большой степени, все еще тинистенной проблемы.

Условия существования конвекции

В узком смысле слова конвекция — это возникновение упорядоченного движения в неравномерно нагретых жидкости или газах.

При каких условиях возникнет такое движение? Обратимся к простому примеру: представим себе, что мы подогреаем紊ну плоский горизонтальный слой жидкости. Каким образом может произойти процесс передачи тепла от нижней границы жидкости к верхней?

При малой разности температур ΔT нижнего и верхнего слоя жидкости проесс передачи тепла происходит за счет теплопроводного механизма: более «горячие» молекулы, стальваясь с более «холодными», передают им избыток своей энергии, но макросоппереское движение жидкости при этом отсутствует. Однако, когда разность температур достигает определенного критического значения ΔTкр, теплопроводный механизм передача тепловой энергии, связанный с возникновением в жидкости макросопперегодая движения.

Что значит «неустойный»? В каком смысле «более высокий»?

Давайте резберемся в этих вопросах.

Устойчивость и неустойчность

Из курса механики мы знаем, как определяется устойчивость равновесия системы: если при отклонении системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть ее обратно,— равновесие устойчивое (рисунок 1, а); если же могут

10

ратура внутри слоя линейно зависит от высоты $h$:

$$T(h) = T_1 - \Delta T \frac{h}{L}.$$

Так как плотность жидкости при нагревании уменшается, в нижних, более нагретых, сложных плотность меньше, чем в верхних, — жидкость недорога по плотности. Зависимость плотности от высоты имеет вид

$$\rho(h) = \rho_1 \left( 1 + \beta \cdot \Delta T \frac{h}{L} \right)$$

(здеся $\rho_1$ — плотность на нижней границе, $\beta$ — коэффициент объемного распределения, равный изменению единиц объема тела при изменении температуры на 1 градус). Чем больше $\Delta T$, тем быстрее растет плотность жидкости в слое с ростом $h$. Иными словами, при увеличении $\Delta T$ недорогость плотности в слое возрастает. И это, в конечном случае, приводит к неустойчивости: более легкая жидкость, находящаяся внизу, стремится всплить, возбуждая при этом движение во всем слое, — возникает конвекция.

На первый взгладл может показаться страным, что такое движение не начинается сразу, при сколь году малом перегреве нижних слов. Ведь если мы погружаем какое-нибудь тело в жидкость, оно всплывает даже тогда, когда плотность его хотя бы чуть-чуть меньше плотности жидкости.

Чтобы понять, что здесь происходит, представим себе, что небольшой элемент жидкости (например, шарик радиуса $R$) начал двигаться вверх со скоростью $v$. Объчно можно считать, что объем, а следовательно, и плотность тела по мере подъема не меняются. В рассматриваемом случае выделенный элемент жидкости, поднимаясь и попадая в более холодные слоны, уменшается в объеме, становится более плотным и может потерять плаучесть. В этом все дело!

Прежде чем получить условия потери устойчивости теплопроводного режима в явном виде, сделаем одно очень важное значение. Имея в виду чисто качественный характер наших оценок, мы совершенно не будем интерсоваться в формулах численных коэффициентами, да и вообще каимми-либо деталями. Так, мы рассматрием элемент жидкости в форме шарика, хотя на самом деле он мог бы иметь более сложную форму. Мы будем принимать объем этого шарика равным $R^3$, а площадь его поверхности — $R^2$ (вместо $4/3\pi R^3$ для объема и $4\pi R^2$ для площади поверхности) и т. д. Этот метод, называемый методом размерных оценок, является важным этапом физического исследования, этапом, на котором проясняется самая суть интерсующего нас явления: от каких параметров оно зависит, каковы его пространственные и временные масштабы и т. д.*)

Итак, присутствим. Введем время $t$, в течение которого температура шарика (и, соответственно, его плотность) остается приблизительно постоянной. За это время шарик, движясь с приблизительно постоянной скоростью $v$, успевает поднять с уровня $h$ на уровень $h + \Delta h$, где $\Delta h = v t$. Его место на уровне $h$ занимает более плотный элемент жидкости, опустившийся с уровня $h + \Delta h$ (рисунок 3). Плотность поднимающегося с уровня $h$ шарика равна $\rho(h) = \rho_1 (1 + \beta \cdot \Delta T \cdot h/L)$, а плотность опустившегося на уровне $h$ шарика равна $\rho(h + \Delta h) = \rho_1 (1 + \beta \cdot \Delta T \cdot (h + \Delta h))/L$. Изменение потенциальной энергии при таком встречном движении равно

$$(\rho(h) - \rho(h + \Delta h)) R^3 g \cdot \Delta h = - \rho_1 \beta \cdot \Delta T \frac{\Delta h}{L} R^3 g \cdot \Delta h = - \rho_1 \beta \cdot \Delta T \frac{v^2 \tau^2}{L} R^3 g.$$

Знак «минус» означает, что энергия уменшается, — значит, такое движение в жидкости выгорано. Надо, однако, учесть еще выделяющиеся за счет треня тела, которое равное сил сопротивления $A = F_c \cdot \Delta h$. Сила сопротивления связана с наличием внутреннего треня (вязкости) в жидкости и в случае шарика, движущегося со скоростью $v$, пропорционально радиусу шарика и его скорости, а также коэффициенту взякости жидкости $\eta$:

$$F = \eta Rv$$

(здеся мы вновь отбросили несущественный в наших качественных оценках численной коэффициентом пропорциональной).

Таким образом, изменение энергии при возникновении в жидкости движения равно

$$\Delta W = (-\rho_1 \beta \cdot \Delta T \frac{v \tau}{L} R^3 g + \eta Rv) v t.$$

Оценим время отсутствия шарика $t$. Избьютное количество теплла у шарика ($\Delta Q = \rho R^3 c \cdot \Delta T$ ($\rho R^3$ — масса шарика, $c$ — удельная теплемкость). Количество теплла $\Delta q$, перемещено от горячего тела к холодному за единицу времени через единицу поверхности раздела этих тел (эту величины называют потоком теплла),

*) О методе размерных оценок можно прочитать в главе «Вычисления без вычислений» книги А. В. Мигдала «В поисках истинны» (серия «Эврика» издательства «Молодая гвардия», 1983 год).

11

Пропорциональное развитие температуры $\Delta T$ горячего и холодного тела и обратно пропорционально толщине переходного слоя; коэффициент пропорциональности (характеристиющий теплопроводные свойства тела) называют коэффициентом теплопроводности и обозначают $x$. В случае нашего шарика толщина переходного слоя — это радиус шарика, и $\Delta q = x \cdot \Delta T/R$. Время оставления шарика — это время, за которое все избыточное теплое $\Delta Q$ успеет перейти от шарика через его поверхность к окружшей жидкости. Следовательно, время $\tau$ определяется условиям $\Delta Q = \Delta q \cdot R^2 \tau$, откуда

$$\tau = \frac{\Delta Q}{\Delta q \cdot R^2} = R^2 \frac{\rho c}{\chi}.$$

Комбинацию $\chi/(\rho c)$ называют коэффициентом теплопроводности и обозначают $x$. Так что $\tau = R^2/\chi$.

Подставив найденное значение $\tau$ в выражение для $\Delta W$, получим:

$$\Delta W = R^3 \frac{\eta}{\chi} \left( 1 - \frac{\rho_1 \beta g L^3 \cdot \Delta T}{L \eta \chi} \right) v^2.$$

В соответствии с общим принципом при $\Delta W > 0$ случайно возникшее движение затухает (аналогия с рисунком 1, а при $\Delta W < 0$ движение продолжается (аналог — рисунок 1, б) — состояние покоящей жидкости (телопроводный режим) становится неустойчивым. Условие $\Delta W < 0$ выполняется, когда

$$\frac{\rho_1 \beta g R^4 \cdot \Delta T}{L \eta \chi} > 1.$$

Обратите внимание на то, как в это неравенство входит размер шарика $R$: чем больше $R$, тем охотнее шарик устремляется вверх. Значит, в первую очередь начинает движаться шарик максимального возможного в данной ситуации размера. Но этот максимальное возможное размер, очень длинный равен толщине слоя. Поэтому в последнем неравенстве можно считать $R \approx L$.

Итак, мы получили условия, определяющие начало конвективного движения:

$$\frac{\rho_1 \beta g L^3 \cdot \Delta T}{\eta \chi} > 1.$$

Вы видите, что критическая развитие температуры, при которой происходит сывтопроводные связи, определяется параметрами жидкости (вязкость $\eta$, температуропроводность $\chi$ и т. д.), а также толщиной слоя $L$. Чем больше толщина слоя, тем при меньшей развенности температуры на нижней и верхней его границах теплопроводный режим сменяется конвективным.

Подставляя в выражение для $\Delta W$ значение $R \approx L$, найдем

$$\Delta W = L^3 \frac{\eta}{\chi} \left( 1 - \frac{\rho_1 \beta g L^3 \cdot \Delta T}{\eta \chi} \right) v^2.$$

Наша задача выполняется мы нашли функцию, минимум которой определяет положение равновесия системы — это $\Delta W(v)$. Когда развитие $\Delta T$ мала, график $\Delta W(v)$ имеет вид, аналогичный приведенному на рисунке 1, а — минимум реализуется при $v = 0$. При $\Delta T$ настолько больших, что $\Delta W < 0$, мы переходим к ситуации, изображенной на рисунке 1, б, что и означает спонтанный (самопроизвольный) переход жидкости из состояния с нулевой скоростью в состоянии со скоростью, отличной от нуля.

Наконец-то структура!

Итак, мы нашли условия потери устойчивости. Но что же произойдет с жидкостью дальнейше?

Прежде всего очень научать одновременное движение вверх. Восходящие движение обязательно должны привести к низкой температуре. И эти восходящие и низкодушие потоки должны быть как-то распределены в нашем слое.

Оказывается, что система, в которой имеются потоки энергии или вещества (такие системы называются неравновесными), странается таким образом, чтобы следить по энергии минимальных.*) В рассматриваемом нами случае восходящие и низкодушие потоки жидкости строгоупорядочиваются, образуя очень красивую и, что особенно порозительно,

*) Это, по видимому, весма общий принцип. Однако в настоящее время строгодоказательства его справедливости не существует.

12

очень правильную картину: слой жизни «разбиается» на признамы (так называемые ячейки Бенара — по имени французского исследователя, впервые наблюдающего и описавшего это явление), по граям которых жизни поднимается вверх, а в центре стекает вид, либо наоборот. Динамир поперечного сечения призим приближительно равен $L$. На рисунке 4 приведена фотография такой структуры (вид сверху; справа — увеличенное изображение тех же ячеек).

Самопроизвольное возникновение структуры, неизменно поржающейся всякого, впервые стalkивающегося с этим явлением, — факт, значение которого выходит далеко за рамки проблемы конвекиции.

Другие типы неустойчивости

Причиной неустойчивости в расстоянии нами служа является наличие потока тепла через границы жизни и неодородность плотности по высоте. Совершенно аналогичный результат мы получим и в том случае, когда неодородность плотности вызвана не разность температур, а различем состави жизни и верхих слоев жизни. Например, когда вверх находится вода более соленая (а следовательно, более тяжелая), чем вниз. Здесь мы переходим к очень интересному и разнообразному кругу вопросов, связанных с конвекией в двухкомпонентных жидкостях. Примером такой системы является океан. Реально в океане наряду с неодородностью по составу существует также и неодородность по температуре. Комбинация этих факторов приводит к многим характеристим особенностям океана и, в частности, к формированию в нем устойчивых слоев с различной соленостью и температурой (к так называемой стратификации океана).

Чтобы понять, как образуется такая структура, рассмотрим воду, в нижних слоях которой температура и соленость выше, чем в верхних. При этом, даже если плотность воды вниз больше, чем в верхну (то есть, казалось бы, равновесие устойчивое, и перенос энергии должен идти обчным теплопроводным способом), тем не менее, возможно сывисточности и переход от теплопроводного режима к конвеktивному.

Действительно, представим себе, что небольший элемент жизни нацал движаться вверх. Предположим, что его температура и соленость не меняются. Так как плотность элемента больше, чем плотность окружающей среды, он вскоре оставится и начинает тоннуть, движясь обратно к своему положению равновесия. Возникает колебательное движение рассматриваемого элемента, аналогичное колебанию тела, подвешенного наружке. Такое колебание естественно затухает из-за тре-

13

ния, обусловленного языковостью жидкости. А теперь учет, что в процессе подъема выделенный элемент, оказываясь в более холодных слоях, оставает. Это приводит к его «утяжелению», так что, возвращаясь к своему положению равновесия, он имеет скорость большую, чем та, с которой он начал движаться (происходит как бы подталкивание грузика, колеблющегося наружнее). Такое подталкивание может скопперсировать затухание колебаний, и амплитуда колебаний начинает нагаться. Это и есть неустойчивость. (Такую неустойчивость называют колебательной конвекцией.) Размах колебаний растет до неокоторого предельного значения, которое и определяет толщину слоя. В результате таких колебаний жидкость внутри слоя активно перемешивается. Температура и соленость воды при этом оказывается в пределах одного слоя почти постоянными. После того как такой слой формировался, над ним начинает растить другой слой, затем третий и т. д.

Вновь возникает структура. Но на этот раз слоистая.

И еще об одном типе конвективной неустойчивости нам хочет рассказать. Кто из вас не видел, как закручивается вода, выливающаяся из сливного отверстия в раковине.

Для этого приведем: каждый замечал, что чайки при перемешивании сахара в стакане с чаем всегда собираются к оси стакана. И то и другие является частью проявления неустойчивости, которая называется неустойчивостью Тейлора (по имени англійского ученого Дж. И. Тейлора (1886—1975), занимавшегося исследованием по аэрофундамике).

В наиболее чистом виде неустойчивость Тейлора проявляется в жидкости, находящейся между двумя сосными врашающими цилиндрами. Цилиндры увлекают жидкость за собой, в результате чего она начинает врашаться. Однако при определенной разности угловых скоростей внутреннего и внешнего цилиндров такое число врашательное движение жидкости становится неустойчивым, и наряду с врашением появляется движение жидкости в радиальном направлении. Ситуация очень напоминает ту, которую мы рассматривали выше. Разница лишь в том, что в горизонтальном слое «верх» и «низ» были выделены направлениемускорения свободного падения g, здесь же «верх» и «низ» задаются направлением центростремительногоускорения. В первом случае мы видели выделенный элемент жидкости в сплывайал за счет того, что его плотность не успевала сравнять с плотностью окружающей среды (шарик не успевал остыть). Здесь скорость врашения элемента жидкости, случайно налавшено движется вдоль радиуса, не успевает сравнять со скоростью врашения тех слоев жидкости, в которых он попадает.

В результате развития такой неустойчивости жидкости, врашающая между цилиндрами, развивается на системе «баранок» (рисунок 5; черными стрелками показаны направления текущей жидкости внутри врашающся «баранок»). Вновь возникает упорядоченная структура!

В общем случае можно сказать, что врашение жидкости в одной плоскости, как правило, приводит к ее движению в периодкулярной плоскости.

(Окончание см. на с. 22)