Новосибирская областная олимпиада по физике

58

Задание
юбилейной
Московской городской
математической
олимппады

В этом году Московская математическая олимппада проводилась в 48-й раз; в ней приняли участие более 700 школьников. Хотя ее номер и не «круглый», эту олимппаду можно с полным правом считать юбилейной — первая олимппада состояласьровно 50 лет назад. Заключительный тур олимппады 1985 года прошел 24 марта в Московском университете. Мы приводим предложенные на нем задачи.

7 класс

1. Найти все значения $x$ и $y$, удовлетворяющие равенству
   $$xy + 1 = x + y.$$

2. Даны пять различных положительных чисел, которые можно разить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были одинаковыми. Сколько способами это можно сделать?

3. Длины $a, b, c, d$ четырех отрезков удовлетворяют неравенству $0 < a \leq b \leq c < d, d < a + b + c$. Можно ли из этих отрезков сложить трапецю?

4. В центре квадрата сидит зац, а в каждом из четырех углов по одному волку. Может ли зац выбежать из квадрата, если волки могут бегать только по сторонам квадрата с максимальной скоростью в 1,4 раза больше, чем максимальная скорость зац?

5. В матазин приведели цистерную молока. У продавца имеетсяащие все без гирь (наащки весов можно ставить фляги), а также три одинаковые фляги, две из которых пустые, а в третьей налит 1 л молока. Как отлит в одну флягуровно 85 л молока, сделав не более восвешивания?
   8 класс

6. Найти все значения $x, y$ и $z$, удовлетворяющие равенству
   $$(x - y + z)^2 = x^2 - y^2 + z^2.$$

7. Числа $a_1, a_2, \dots, a_{1985}$ представляют собой переставленные в некотором порядке числа 1, 2, …, 1985. Каждое число $a_k$ умножается на его номер $k$, а затем среди всех полученных 1985 произведений выбирается наибольшее. Доказать, что оно не меньше чем $993^2$.

8. На лист бумаги «в клетку» положен бумазный квадрат, площадь которого равна учетверенной площади клетки. Каждое наименьшее число узлов может накрыть этот квадрат? (Узел — это точка пересечения линейных бумаги; если узел лежит на границе квадрата, то он считается накрытым.)

9. За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатый. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строко осталось бесконечного много богатый и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).

10. Доказать, что если длина каждой из трех биссектрис треугольника больше 1, то его площадь больше 1/√3.

9 класс

1. Найти все значения $x, y$ и $z$, удовлетворяющие равенству
   $$\sqrt{x - y + z} = \sqrt{x} - \sqrt{y} + \sqrt{z}.$$
2. В некоторых странах 1985 аэродромов. С каждой из них вылетел самолет и приземился на самолетном от места старта аэродроме. Могло ли служиться, что в результате все 1985 самолетов оказались на 50 аэродромах? (Землю можно считать плоской, а маршруты прямыми.)
3. См. задачу 3 для 8 класса.
4. Доказать, что в любой группе из 12 человек можно выбрать двой, а среди остались 10 человек еще пятых так, чтобы каждый из этих пятых удовлетворяют следующему условию: либо он другит с обомми выбранными вначале, либо не другит ни с одним из них.
5. Доказать, что любое число $2^n$, где $n=3, 4, 5, \dots$ можно представить в виде $2^n = 7x^2 + y^2$, где $x$ и $y$ — нечетные числа.

10 класс

1. Решить уравнение
   $$\frac{x - 49}{50} + \frac{x - 50}{49} = \frac{49}{x - 50} + \frac{50}{x - 49}.$$
2. См. задачу 3 для 7 класса.
3. Наозем «сложность» данного числа наименьшую длину числовой последовательности (если такая найдется), которая начинается с нуля и заканчивается этим числом, причем каждый следующий последовательности либо равен нулю $m/2^{50}$, где $m=1, 3, 5, \dots, 2^{50}-1$, найти число с наиболее «сложностью».
4. Данные 1985 множества, каждое из которых состоит из 45 элементов, причем объединение любых двух множества содержитровно 89 элементов. Сколько элементов содержит объединение всех этих 1985 множества?
5. Доказать, что если расстояния между скрещивающимся ребрами tetraэдра равны $h_1, h_2, h_3$, то объем tetraэдра не меньше чем $h_1h_2h_3/3$.

Публикацию подготовили
С. В. Гашков, И. Н. Серееев

Новосибирская область олимппада по физике

8 класс

1. Бочку кончекской формы, частично заполненную водой, закрывают двумя одинаковыми пробками, прикладывая к ним одинаковые силы (рис. 1). Работей перенесь букку с одного места на другой, держа ее шириком диаметром вниз, а затем медленно перевернуть букку узким диаметром вниз. После этого пробка вылетела, и вода стала вытекать из бочки. Почему вылетела пробка?

59

2. Гибкая цепочка с мелкими звеньями связьает два небольших шарика, значительное большинство массивных, чем любое из звеньев цепочки. Однако из шариков удерживают в центре гладкого горизонтального стола, имеющего форму круга, а другой вместе с небольшим куском цепочки свещивается с его края. Считая, что высота стола большие длины цепочки, определяте, где будут находиться точки первого соприкосновения шариков с полом, если представить систему самой себе: 1) внутри круга, имеющего стол своей «крышей»; 2) вне упомянутого круга; 3) на его границе. Треннем претенбрец.

3. Тело начинает скольнить вниз по шероховатой наклонной плоскости и в нижней точке ударяется об упругую стенку, перпендикулярную направлению его движения. После удара тела поднялось до половины первоначальной высоты. Считая, что при ударе модуль скорсти не изменился, определяте, что заняло большие времены: подъем или спуск. Во сколько раз?

4. Небольшие тело массой $m$, подвешенное на невескомой нити, отклоняют от положения равновесия на угол $a$ и отпускают. Определите натяжение нити в первый момент времени.

5. Динамиметр представляет собой два цилиндра, соединенных легкой пружиной (рис. 2). Найдите относение масс этих цилиндров, если при приложенных к ним силах $F_1$ и $F_2$ показание диамометра равно $F$.

9 класс

1. Вагончик монорельсовой дороги имеет двигаатель, способный развивать мощность $N=100$ кВт. Вагончик начинает движение с одной стороны и оставливается на другой. Найдите минимальное время, необходимое для этого. Коэффициент треня колес о рельс $\mu=0,2$. Расстояние между станциями $l=800$ м, масса вагоника 100 кг. Сопротивлением воздуха при движении претенбрец.

2. Во сколько раз изменится подъемная сила воздушного шара, сообщающего с атмосферой, если в качестве газа первый раз взять водород, а второй раз — гелий? Массой оболочки шара претенбрец.

3. Тонкая закрытая трубка заполнена жидкостью плотности $Q$ и вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси, проходящей через один из концов трубки (рис. 3). Давление жидкости в трубке измеряют двумя манометрами, расположенными на расстояниях $l_1$ и $l_2$ от оси вращения. Какова будет разность $\Delta p=p_2-p_1$ показанный манометров при равномерном вращении трубки с угловой скоростью $\omega$?

4. См. задачу 5 для 8 класса.

5. На некоторых участках шоссе автоматили в колонне уменшают свою скорость от $v_1$ до $v_2$. Какова должна быть начальная дистанция между автоматилими, чтобы они не сталивались? Длина каждой автоматили $l$.

10 класс

1. Система состоит из двух сосудов $A$ и $B$, соединенных между собой длиной тонкой трубкой и заполненных однородной жидкостью (рис. 4). С системе проводят два опыта. В первом опыта нагревают сосуд $A$, во втором — $B$. Будет ли при этом перекетать жидкость по трубке? Если да, то в какую сторону? Расширием сосудов и трубки при нагревании, а также теплопроводность системы претенбрец.

2. Груз массой $M$ был прицеллен к нижнему концу вертикальной недеформированнойружины и отпущен без начальной скорости, после чего стал совершать вертикальную гармоничическую колбанная. Во сколько раз изменится перiod и амплитуда колбаний, если на груз без толчка сдёт жук, масса которой $m$ составляет 96 % массы груза? Посадка без толчка означает, что в момент соприкосновения скорости жука и груза одинаковы. Расмотреть случан посадки: 1) в самой верхней и 2) в самой нижней точках траектории.

3. Прибор, схема которого приведена на рисунке 5, подключен к сети переменного тока с напряжением $U=220$ В. Какое напряжение показет волтметр по проществу достагоно большого промежутка времени?

4. См. задачу 5 для 9 класса.

5. Два небольших одинаковых тела массой $m$ каждый заряжены одинаковыми зарядами $q$ и находятся на расстоянии $r$ друг от друга (рис. 6). Сначала отпустили тело 1. Когда оно удалилось на расстояние $2r$, отпустили также и тело 2. Найдите скорости тел на большом расстоянии друг от друга. Трення нет.

Публикацию подготовил В. Г. Харитонов