Кляксы на плоскости

47

Ф937. На вертикальной стене направлен человек «ростом» $h=20$ см, голова человека находится на высоте $H=2$ м над полом. При помощи линейы с фокусным расстоянием $F=0,1$ м получают изображение человека на полу. На эти размер наиболье четкого изображения.

Изображение на полу можно получить при различных положениях линзы, и увеличение будет зависит от положения линзы. Наиболье четким изображение будет в том случае, когда «центр» источника (точка $A$ на рисунке) и соответствующая точка изображения (точка $A'$) лежат на главной оптической оси линзы. Нетрудно показать, что плоскость, в которой лежит линза, проходит через вершину $O$ прямого угла $AOA'$ (см. рисунок).

Запишем формулу линзы:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{|AO'|} + \frac{1}{|O_1A'|}.$$

Считая, что $|OA| = H - h/2 = H_1$, получаем $|AO'| = H_1 \cos \alpha$, $|O'A'| = |OA'| \sin \alpha = H_1 \text{tg} \alpha \cdot \sin \alpha$, и

$$\frac{1}{H_1 \cos \alpha} + \frac{1}{H_1 \text{tg} \alpha \cdot \sin \alpha} = \frac{1}{F},$$

откуда

$$\sin^2 \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{F}{H_1} = \frac{F}{H - h/2}.$$

Из этого уравнения можно найти угол $\alpha$. Приближенно можно считать (угол $\alpha$ мал), что $\cos \alpha \approx 1$; тогда

$$\sin \alpha \approx \sqrt{\frac{F}{H - h/2}} \approx 0,233 \text{ и } \alpha \approx 0,231.$$

Рассчитаем теперь размер изображения. Если бы источник и изображение лежали в плоскости, перpendикулярных главной оптической оси линзы, то увеличение было бы равно

$$\Gamma = \frac{|O'A'|}{|AO'|} = \frac{H_1 \text{tg} \alpha \cdot \sin \alpha}{H_1 \cos \alpha} = \text{tg}^2 \alpha.$$

В нашем случае увеличение равно отношению длиной проекций изображения и источника на эти плоскости; значит, размер изображения равен

$$h' = h \Gamma \text{tg} \alpha = h \text{tg}^3 \alpha \approx 0,25 \text{ см.}$$

А. Р. Зильберман

Кляксы на плоскости

Представьте себе географическую карту, на которой показана територия расположения какого-либо вида растений или эпидемии. Часть карты, соответствующая этой територии, закрашена определенным цветом, остальная оставлена белой. Чтобы изучить диамнику расположения вида или эпидемии, составляют последовательность таких карт, соответствующих различных моментам времени, и пытаются получить закономерности изменения закрашенной части. Если ребёнок об эпидемии, мы, естественно, хотим, чтобы она угасла. Если же ребёнок о каком-то ценном виде, мы хотим, чтобы он сохранился. В обихх случае нам важно, исчезнет закрашенная часть или нет. Подобные сообщения приводят к задачам, аналогичным той, которая была опубликована в 5-м номере нашего журнала за этот год в «Задачнике «Кваита» (M925). Мы приведем ее решение и еще несколько связанных с ней задач.

М925. На белой плоскости расположена сингра $K_0$. Из нее получается новая сингра фигуря $K_1$ по следующему правилу, применением одновременного ко всем точкам $M$ плоскости: если не менее полюшны площади круга радиуса 1 с центром в точке $M$ занято с ним цветом, то точки $M$ становятся сине, а если менее полюшны — то белой. На следующем шаге из полученной сингра фигуря $K_1$ по тому же правилам получается фигуря $K_2$, затем из нее $K_3$ и т. д. Докажите, что: а) для произвольной ограниченной фигуры $K_0$, начиная с некоторого шага, если плоскость станет белой; б) если $K_0$ — круглую 100, то это случится не позже чем через миллион шага.

Обозначим буквой $F$ то правило, по которой из каждой фигуры получается следующего. Она монотноно в следующем смысле: из меньшей фигуры по правилам $F$ получается меньшая; более формально это можно записать так:

$$K \subset K' \Rightarrow F(K) \subset F(K').$$

Благодаря этой монотности, нам достаточно рассматривать в качестве начальных фигур

48

гур только круги. Действительно, всякая ограниченная фигура лежит в некотором круге, и если уже даже этот круг под действием нашего правила превращится в пустое множество, то содержащая в нем фигура — тем более. Круги удобны тем, что под действием $F$ они переходят в круги. Точнее:

a) если $K$ — круг радиуса, большего или равного $1/\sqrt{2}$ (то есть площади большей или равной $\pi/2$), то $F(K)$ — тоже круг (меньшего радиуса);

6. если $K$ — круг радиуса, меньше $1/\sqrt{2}$, то $F(K)$ — пустое множество.

Рассмотрим функцию $f(R)$, определяющую при $R$, больших $1/\sqrt{2}$, следующим образом: если $R$ — радиус круга $K$, то $f(R)$ — радиус круга $F(K)$. График функции $f$ показан на рисунке 1. Когда $R$ возрастает от $1/\sqrt{2}$ до бесконечности, функция $f(R)$ monotonно растет от $1-1/\sqrt{2}$ до бесконечности, причем ее график остается все время ниже биссертрисы координатного угла $(R-f(R))>0$. Нетрудно доказать, что разность $R-f(R)$ есть монotonно убывающая функция от $R$ (стремящаяся к нулю при $R \rightarrow \infty$). Ломанная линия на рисунке 1 показывает, как ведут себя радиусы $R_0$, $R_1=f(R_0)$, $R_2=f(R_1)$, … (на рисунке 1 уже $R_3<1/\sqrt{2}$, поэтому на следующем этапе получится пустое множество). В общем случае из монotonности $R-f(R)$ следует:

$$R_0-R_1<R_1-R_2<R_2-R_3<\dots$$

Отсюда, обозначая $R_0-R_1=d>0$, получим, что $R_n<R_0-nd$. Значит, при некоторых значении $n$ (не больше чем $R_0/d+1$) фигура $K_n$ будет пуста. Тем самым доказано утверждение a). (В этом доказательстве неокторные детали только намечены, но по ходу приводимого далее решения задачи 6) мы получим и еще одно решение a.).

Чтобы справиться с пунктом 6), надо численно оценить величины, на котором уменьшается радиус $R$ круга $K$ под действием правила $F$. Если внутри круга $K$ находится меньше часты нашего «стандартного» круга $D$ радиуса 1 с центром в точке $M$, то эта точка не входит в $F(K)$, и, следовательно, $f(R)<OM$, где $O$ — центр круга $K$. Как видно из рисунка 2, так будет, например, когда окружность круга $K$ пересекает диаметр $AA_1$ круга $D$ в серединах $B$ и $B_1$ радиусов $MA$ и $MA_1$ в этом случае площадь сегмента $BB_1G$ меньше площадей кривolinейных треугольников $ABL$ и $A_1B_1L_1$, поэтому площадь пересечения круга $D$ и $K$ меньше половины площади круга $D$. При этом $OM^2=OB^2-MB^2=R^2-1/4$, таким образом,

$$f(R)^2<OM^2=R^2-1/4$$

(при любом $R>1/\sqrt{2}$), то есть $R_n^2<R_n^{n-1}-1/4$.

Отсюда по индукции заклюcem, что при $R_{n-1}>1/\sqrt{2}$

$$R_n^2<R_n^2-n/4$$

Следовательно, круг произвольного радиуса $R_0$ исчезнет за конечное число шагов (что доказывает утверждение a)), причем это число не больше $4R_0^2+1$. При $R_0=100$ оно завершимо меньше миллиона, что и требуется доказать в задаче 6).

Задачи 1.

1. Пусть $N(R)$ — число применений правила $F$, превращающих круга радиуса $R$ в пустое множество. Мы доказали, что $N \leqslant 4R^2+1$. Доказите, с другой стороны, что $N \geqslant cR^2$, где $c$ — неокторная положительная константа.

2. Рассмотрим другое правило $H$ преобразования фигур на плоскости. Введем систему координат $Oxy$. Если дана фигурка $K$, то новая фигурка $H(K)$ состоит из всех точек $T(x; y)$, для которых пересечение $K$ и треугольника с вершинами $(x; y), (x+1; y), (x; y+1)$ имеет площадь, не меньше половины площади этого треугольника. Доказите, что всякая ограниченная фигура под многократным действием $H$ превращается в пустое множество за конечное число шагов $N$, причем для круга радиуса $R$

$$c_1 \cdot R \leqslant N \leqslant c_2 \cdot (R+1),$$

где $c_1$ и $c_2$ — неокторные положительные константы.

3. На белой сфере диаметра $d>1$ задана синия фигурка $K_0$. Сопоставим каждой точке $M$ сфереры ее «окрестность» $D_M$ — часть сферы, заключенной в шаре диаметра 1 с центром $M$, и образуется новую синию фигуру $K_1$ из тех и только тех точек $M$, для которых площадь пересечения $D_M$ и $K_0$ не меньше половины площади окрестности $D_M$. Аналогично из $K_1$ получается $K_2$ и т. д.

a) Доказите, что если исходная фигурка $K_0$ содержится в шаре диаметра, меньше $d$, то через конечное число шагов все сфера станет белой.

6. Доказите, что для любого $\varepsilon>0$ можно указать такое $d$ и такую синию фигуру $K_0$ площади не больше $\varepsilon d^2$ на белой сфере диаметра $d$, что после конечного числа описанных превращений все сфера станет синией.

b) Существуют ли отличные от полусферы фигуры $K_0$, для которых $K_1$ совпадает с $K_0$?

А. Л. TOOM