Bài toán M941—M945; F953—F957

36

Nhiệm vụ

M941—M945; F953—F957

M941. Cho một (4k+2)-gon $A_0A_1$ … $A_{4k+1}$ với tâm $O$. Chứng minh rằng tổng các đoạn thẳng cắt góc $A_kOA_{k+1}$ trên các đường thẳng $A_1A_2k$, $A_2A_2k-1$, …, $A_kA_{k+1}$ (xem hình 1 cho $k=2$) bằng bán kính $OA_0$ của đường tròn ngoại tiếp a (4k+2)-giác, nếu $k=2$, 6) $k$ — bất kỳ số tự nhiên nào.

I. F. Sharyzin

M942. Các số 1, 2, …, 2n—1, 2n được chia thành hai nhóm số $n$ trong mỗi nhóm. Gọi $a_1<a_2<...<a_n$ là các số của nhóm thứ nhất theo thứ tự tăng dần, $b_1>b_2>...>b_n$ là các số của nhóm thứ hai theo thứ tự giảm dần. Chứng minh rằng $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+...+|a_n-b_n|=n^2$.

V. V. Proizvolov

M943. Trình tự $a_1, a_2, ...$ được đưa ra theo quy tắc: $a_{2n}=a_n$ cho $n \geqslant 1$ và $a_{4n+1}=1$, $a_{4n+3}=0$ cho $n \geqslant 0$. Chứng minh rằng dãy số này không có chu kỳ.

Yu. V. Nesterenko

M944*. Một hình lục giác đều được chia thành 24 hình tam giác bằng nhau, như trong hình 2. Tất cả 19 nút của hình thu được đều chứa các số khác nhau. Chứng minh rằng trong 24 tam giác có ít nhất 7 tam giác như vậy, tại các đỉnh của các số đó được viết theo thứ tự tăng dần ngược chiều kim đồng hồ.

A. A. Berzinysh

M945*. Cho một chuỗi số dương lặp lại không giới hạn nghiêm ngặt $a_1, a_2, ...$. Chứng minh rằng với mọi $k$ đủ lớn thì bất đẳng thức sau đúng:

a) $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\...+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1$;

b) $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\...+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1985$.

L. D. Kurlyandchik

F953. Để tinh chỉnh tần số quay của đĩa máy mài điện (33$\frac{1}{3}$ vòng quay mỗi phút), các dấu được đặt trên bề mặt bên của nó, được chiếu sáng bằng đèn neon với tần số 100 lần nhấp nháy mỗi giây.

37

Có nên có một số dấu sao cho ở tốc độ định mức chúng có vẻ đứng yên không?
Sau khi tắt động cơ, lực ma sát khô bắt đầu làm đĩa chậm lại và dấu “chạy”.
Trong 4 giây đầu tiên, các điểm sai lệch được quan sát thấy có 10 điểm “chạy xuyên suốt”. Sau bao lâu đĩa sẽ dừng lại?
Sau khoảng thời gian nào thì dấu vết sẽ “chạy” theo hướng khác?

A. R. Zilberman

F954. Một tấm rèm vuông trang trí có kích thước 1,5x1,5 m được treo trên gờ dọc theo bức tường thẳng đứng. Mép dưới của rèm được nâng lên ngang bằng với mép trên, sao cho rèm được gấp làm đôi và thả ra. Tìm sự phụ thuộc của lực tác dụng lên gờ theo thời gian. Rèm mỏng, mịn và nặng 3 kg.

S. S. Krotov

F955. Một hỗn hợp khí bao gồm $m_1=100$ g nitơ và một lượng oxy không xác định sẽ bị lăn đẳng nhiệt ở nhiệt độ $T=74,4$ K. Đồ thị biểu thị áp suất của hỗn hợp khí so với thể tích của nó được thể hiện ở hình 3 (tính theo đơn vị điều kiện). Xác định khối lượng oxi. Tính áp suất hơi oxy bão hòa ở nhiệt độ này.

Lưu ý: $T=74,4$ K là nhiệt độ sôi của nitơ lỏng ở áp suất thường; oxi sôi ở nhiệt độ cao hơn.

A. I. Buzdin

F956. Trong một trong những biến thể của thí nghiệm cổ điển, được thực hiện bởi Viện sĩ I.K. Kikon, một cuộn cảm ngắn mạch một điểm $L=3 \cdot 10^{-5}$ Gn làm bằng dây siêu dẫn mỏng được treo trên các pruguroidinites trong một từ trường hướng thẳng đứng hướng lên dọc theo trục của cuộn dây (hình 4). Sợi dây treo ở trạng thái ban đầu không bị xoắn, cường độ dòng điện trong cuộn dây bằng không. Cảm ứng từ trường $B$ tăng chậm từ 0 đến giá trị $B_0=0,1$ T, tại đó chất siêu dẫn đột ngột biến mất và dây trở lại trạng thái bình thường. Đồng thời, cuộn dây bị xoắn. Xác định góc xoắn cực đại của cuộn dây, giả sử mômen đàn hồi của sợi tỉ lệ với góc xoắn (hệ số tỷ lệ $G=10^{-7}$ N m/rad). Số vòng dây là $n=100$, bán kính vòng dây là $R=1$ cm, khối lượng của cuộn dây là $M=10$ g. Tỷ lệ điện tích trên khối lượng của nó là $e/m=1,76 \cdot 10^{11}$ C/kg.

S. M. Kozel

F957. Sự lan truyền của sóng vô tuyến ngắn ở các tầng trên của khí quyển Trái đất (tầng điện ly) có thể được mô tả bằng các định luật quang học hình học, nếu chúng ta giả sử rằng chiết suất $n$ đối với sóng vô tuyến nhỏ hơn 1 và thay đổi theo độ cao $H$ so với bề mặt Trái đất như thể hiện trong hình 5 (đối với một số tần số v).

38

Một vệ tinh bay ở độ cao $h=200$ km có một máy phát vô tuyến phát ra sóng vô tuyến từ hạt $v$ đều theo toàn bộ hướng. Bỏ qua sự hấp thụ của sóng vô tuyến trong tầng điện ly, hãy ước tính phần năng lượng phát ra từ máy phát được truyền bởi sóng vô tuyến ra ngoài bầu khí quyển Trái đất. Khi ước tính, hãy coi bề mặt Trái đất là phẳng và sự phản xạ của sóng vô tuyến từ nó là phản chiếu và không bị tổn hao. Nó có liên quan gì tới nó? Góc đặc của hình nón có góc ở đỉnh $\beta$ bằng $\Omega=2\pi\left(1-\cos \frac{\beta}{2}\right)$.

V. I. Chuvilev

Problems

M941 — M945; P953 — P957

M941. Đa giác đỉnh $(4k+2)$ thông thường $A_0A_1 \dots A_{4k+2}$ của tâm $O$ đã cho. Chứng minh rằng tổng các đoạn thẳng $A_1A_{2k}, A_2A_{2k-1}, \dots, A_kA_{k+1}$ bên trong góc $A_kOA_{k+1}$ (xem Hình 1 trên trang 37 với $k=2$) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác, nếu a) $k=2$, b) $k$ là một số tự nhiên bất kỳ.

I. F. Sharygin

M942. The numbers 1, 2, …, $2n-1$, $2n$ are split into two groups of $n$ numbers each. Suppose $a_1 < a_2 < \dots < a_n$ are the numbers of the first group in increasing order, and $b_1 > b_2 > \dots > b_n$ the numbers of the second one in decreasing order. Prove that $|a_1-b_1|+a_2-b_2|+\dots+|a_n-b_n|=n^2$.

V. V. Proizvolov

M943. The sequence $a_1, a_2, \dots$ is given by the rules: $a_{2n}=a_n$ if $n \geqslant 1$ and $a_{4n+1}=1$, $a_{4n+3}=0$ if $n \geqslant 0$. Prove that this sequence is not periodic.

Yu. V. Nesterenko

M944*. Một hình lục giác đều được chia thành 24 hình tam giác bằng nhau như trên Hình 2, tr. 37. Các số khác nhau được viết ở mỗi đỉnh trong số 19 đỉnh của hình thu được. Chứng minh rằng trong 24 tam giác có ít nhất 7 đỉnh có số đỉnh tăng dần ngược chiều kim đồng hồ.

A. A. Berzinsh

M945*. An unbounded strictly increasing sequence of positive numbers $a_1, a_2, \dots$ is given. Prove that for all sufficiently large $k$

a) $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\dots+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1$;

b) $\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\dots+\frac{a_k}{a_{k+1}}<k-1985$.

L. D. Kurlyandchik

P953. In order to regulate the turntable of a $33^{1/3}$ RPM record player with great precision, little evenly spaced marks are made on the disk’s outside surface; they are lighted by a neon lamp of frequency 100 flashes per second. How many marks are needed to make them appear motionless at nominal velocity? After the turntable motor is turned off, dry friction forces begin slowing the disk down — the marks begin to “run”. In the first 4 seconds 10 marks “run past” the observation point. How soon will the disk stop? How soon will the marks start “running the other way”?

A. R. Zilberman

P954. A designer’s drapery 1.5 by 1.5 m hangs from a horizontal crossbar along a vertical wall. The lower end of the drapery is lifted level with the upper one (so that the drapery is folded in

40

Ta sẽ giải ngay bài toán trong trường hợp tổng quát c). Chúng ta hãy xét tứ giác phụ $ABCD'$, trong đó $D'$ là một điểm đối xứng với $D$ qua đường phân giác vuông góc với đường chéo $AC$ (hình 1) và chứng minh rằng các điểm giao nhau của nó tại các đỉnh $A$ và $C$ là thẳng.

Biểu diễn tứ giác $ABCD'$ là sự kết hợp của các tam giác $ABD'$ và $CBD'$, ta thấy rằng diện tích kép của nó là

$$AB \cdot AD' \sin \angle BAD' + BC \cdot CD' \sin \angle BCD'.$$

Diện tích gấp đôi $ABCD$ bằng

$$AB \cdot CD + BC \cdot AD.$$

Nhưng các hình tứ giác này rõ ràng có kích thước bằng nhau và $AD'=CD$, $CD'=AD$, do đó $\sin \angle BAD' = \sin \angle BCD' = 1$, tức là $\angle BAD' = \angle BCD' = \pi/2$.

Từ những gì đã được chứng minh, suy ra rằng xung quanh tứ giác $ABCD'$ người ta có thể mô tả một hình tròn (với Đường kính $BD'$). Điểm $D$ ($\angle ADC = \angle AD'C$) cũng nằm trên đó. Chúng ta hãy biểu thị bằng $\varphi_1$, $\varphi_2$, $\varphi_3$, $\varphi_4$ các giá trị góc của $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ (hình 2), sau đó là $AB=BD' \sin \frac{\varphi_1}{2}$, $BC=BD' \sin \frac{\varphi_2}{2}$, v.v. d. Vẫn còn phải biểu thị các đại lượng này thông qua $\alpha$ và $\beta$. Theo định lý về độ lớn của góc nội tiếp trong đường tròn

$$2\alpha = \varphi_2 + \varphi_3, \ 2\beta = \varphi_3 + \varphi_4, \ 2\angle BCD' = \pi = \varphi_1 + \varphi_3 = 2\pi - \varphi_2 - \varphi_4$$

(vì các cung $CD'$ và $AD$ bằng nhau). Từ đó ta thu được công thức (1). Để một tứ giác tồn tại, điều cần thiết và đủ là tất cả các số $\varphi_i$ ($i=1, ..., 4$) đều dương, tương đương với bất đẳng thức (2). Đáp số cho bài toán a) và b) được tìm thấy sau khi thay thế các giá trị đã cho cho $\alpha$ và $\beta$.

Dễ dàng chứng minh rằng điều kiện bài toán được thỏa mãn bởi bất kỳ tứ giác $ABCD$ nào có các đường chéo vuông góc xung quanh đó có thể mô tả một hình tròn và chỉ chúng. Điều này cũng có thể được suy ra từ một trong các đỉnh của cái gọi là định lý Ptolemy: đối với mọi mặt phẳng tứ giác $A, B, C, D$ bất đẳng thức đều đúng

$$AC \cdot BD \leq AB \cdot CD + AD \cdot BC,$$

nó trở thành một đẳng thức liche cho các điểm nằm trên cùng một đường tròn hoặc trên cùng một đường thẳng (ví dụ, xem «Kvant» số 3 cho năm 1973 (tr. 27)). Đồng thời, phát biểu cuối cùng của định lý này có thể được chứng minh dễ dàng bằng cách chuyển sang tứ giác $ABCD'$.

V. L. Gutenmacher

◆

Đặt $t=\sin^2 x (\cos^2 x=1-t), a=p/2, b=q/2$ thì phương trình này sẽ được viết lại dưới dạng

$$f(t)=t^a+(1-t)^b=1.$$

41

Ta phải chứng minh rằng phương trình (*) có lời giải trong khoảng ]0; 1 [ (phạm vi hàm $y=\sin^2 x$ trên khoảng $0<x<\pi/2$) khi và chỉ khi $(a-1)(b-1)<0$ hoặc $a=b=1$.

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ giả sử rằng $a \geq b$ (nếu không, bằng cách sử dụng phép thay thế $s=1-t$, chúng ta sẽ chuyển sang phương trình $s^b+(1-s)^a=1$ trên khoảng $0<s<1$).

Trước tiên chúng ta hãy chứng minh rằng nếu $(a-1)(b-1)>0$ hoặc chỉ một trong các số $a$ và $b$ bằng 1 thì phương trình (*) không có lời giải. Có hai trường hợp có thể xảy ra: $a>b \geq 1$ hoặc $1 \geq a>b$. Trong trường hợp đầu tiên, $t^a<t$, $(1-t)^b \leq 1-t$ và $t^a+(1-t)^b<t+(1-t)=1$.

Trường hợp thứ hai được xử lý tương tự.

Đối với $a=b=1$, hàm $f(t)$ khi đó thực tế bằng 1.

Cuối cùng, hãy để $a>1>b$. Hãy chứng minh điều đó trên khoảng ]0; 1 [ có hai điểm $t_1$ và $t_2$ sao cho $f(t_1)>1$, $f(t_2)<1$. Từ đây, theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, sẽ suy ra tại một điểm nào đó $t$ trên khoảng ]$t_1$; $t_2$ [ $f(t)=1$. Xét hàm đạo hàm $f(t)$:

$$f'(t)=at^{a-1}-b(1-t)^{b-1}.$$

Tại $t \rightarrow 0$, hàm $at^{a-1}$ tiến tới 0 và $b(1-t)^{b-1}$ tiến tới $b>0$ (đồ thị của hai hàm này là hình 1 và hình 2). Do đó, đối với $t_1$ đủ nhỏ trên khoảng $0<t<t_1$ thì đạo hàm $f'(t)<0$, do đó, hàm $f(t)$ sẽ tắt trên khoảng [0; $t_1$] và $f(t_1)<f(0)=1$. Tương tự, tại $t \rightarrow 1$ hàm $at^{a-1}$ có xu hướng $a$ và $b(1-t)^{b-1}$ tăng trưởng không giới hạn $(b-1<0)$. Do đó, $f'(t)<0$ tại $t_2<t<1$, trong đó $t_2$ đủ gần với 1, do đó, hàm $f(t)$ sẽ tắt trong khoảng [$t_2$; 1] và $f(t_2)>f(1)=1$. Như vậy, nhận định của chúng tôi đã được chứng minh hoàn toàn.

A. M. Sedletsky

♦

Chúng ta hãy biểu thị bằng $a$ và $l$ mặt phẳng và đường thẳng vuông góc với nó mà hình lập phương được chiếu lên đó.

Vì bất kỳ đường thẳng nào đi qua điểm bên trong của hình lập phương đều cắt các bề mặt của nó tại hai điểm, nên mọi hình chiếu của hình lập phương lên $a$ bằng một nửa tổng diện tích của các hình chiếu lên $a$ của tất cả các mặt của nó, nghĩa là bằng tổng diện tích các hình chiếu của ba mặt vuông góc theo cặp.

Mặt khác, hình chiếu của hình lập phương lên đường thẳng $l$ trùng với hình chiếu $P'Q'$ của một số đường chéo $PQ$ của nó. Chúng ta hãy vẽ qua điểm $P$ một mặt phẳng vuông góc với $l$, sau đó trọng lượng của hình lập phương và đặc biệt là điểm $Q$ và các đầu $A, B, C$ của ba cạnh của hình lập phương nhô ra từ đỉnh $P$ nằm trên một phía của mặt phẳng này. Do đó, các hình chiếu $\overrightarrow{P'Q'}$, $\overrightarrow{P'A'}$, $\overrightarrow{P'B'}$ và $\overrightarrow{P'C'}$ của vectơ $\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB}$ và $\overrightarrow{PC}$ lên đường thẳng $l$

42

sẽ được sửa chữa. Nhưng $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}$, do đó, đối với một dự án khối trên $l$ bằng

$$|\overrightarrow{P'Q'}| = |\overrightarrow{P'A'} + \overrightarrow{P'B'} + \overrightarrow{P'C'}| =$$

$$= |\overrightarrow{P'A'}| + |\overrightarrow{P'B'}| + |\overrightarrow{P'C'}|,$$

nghĩa là, nó bằng tổng chiều dài của các hình chiếu của ba gân vuông góc theo cặp của nó ($PA, PB$ và $PC$).

Cần lưu ý rằng góc giữa mặt phẳng của bất kỳ mặt nào của hình lập phương và mặt phẳng $\alpha$ bằng góc giữa cạnh vuông góc với mặt này và đường thẳng $l$, nghĩa là diện tích hình chiếu của mặt này lên $\alpha$ bằng độ dài hình chiếu của cạnh lên $l$ (với hình chiếu trực giao, diện tích của mặt và chiều dài của cạnh là nhân với cosin của các góc tương ứng).

Những khái quát hóa của bài toán này đối với trường hợp không gian đa chiều được xem xét trong một bài báo của nhà toán học người Anh J. McMoulen, đăng trên tạp chí “Bull. Lond. Math. Soc.” Số 3 cho năm 1984.

S. L. Tabachnikov

M924. Mỗi hai trong số $n$ điểm (không có ba điểm nào nằm trên cùng một đường) được kết nối bằng một đoạn và các mũi tên được đặt trên tất cả các đoạn. Tam giác ABC có các đỉnh tại các điểm này được gọi là tam giác định hướng nếu các mũi tên đặt theo các hướng AB, BC, CA hoặc AC, CB, BA.
a) Giải thích cách sắp xếp các mũi tên sao cho không xuất hiện các hình tam giác định hướng.
b) Số lượng tam giác định hướng tối đa có thể có (đối với mỗi n) là bao nhiêu? (Hãy vẽ ví dụ thích hợp cho $n=4$, 5 và 6.)

◆ Chúng ta hãy biểu thị dữ liệu của $n$ điểm bằng $A_1, \dots, A_n$.

a) Đáp số: bạn cần sắp xếp các mũi tên theo thứ tự số điểm tăng dần: từ $A_i$ đến $A_j$ với $i < j$ (xem hình 1 cho $n=5$). Khi đó, trong bất kỳ tam giác nào, hai mũi tên đi ra từ đỉnh có số nhỏ nhất nên nó không định hướng.

b) Đáp số: số lượng tam giác định hướng nhiều nhất là $n(n^2-1)/24$ cho số lẻ $n$ và $n(n^2-4)/24$ cho số chẵn $n$ (xem hình 2-4 cho $n=4$, 5, 6).

Sẽ thuận tiện hơn cho chúng ta khi tìm số tam giác định hướng nhỏ nhất, sau đó trừ nó khỏi tổng số tam giác, bằng $n(n-1)(n-2)/6$ (bằng cách chọn các đỉnh liên tiếp của một tam giác từ các điểm này, chúng ta sẽ có $n$ lựa chọn cho đỉnh đầu tiên, $n-1$ cho đỉnh thứ hai, $n-2$ cho đỉnh thứ ba; trong trường hợp này, mỗi ba đỉnh theo thứ tự khác nhau sẽ được chọn 6 lần).

Chúng ta sẽ gọi một cặp mũi tên (đoạn có hướng) là nhất quán nếu chúng có điểm đầu hoặc điểm cuối chung. Rõ ràng, trong số ba cặp cạnh của bất kỳ tam giác khó định hướng nào từ hình mũi tên, có hai cặp cạnh nhất quán (trên hình 5 - AB và AC, AC và BC), và bất kỳ cặp mũi tên nhất quán nào cũng thuộc về chính xác một tam giác không định hướng. Do đó, số lượng tam giác không định hướng bằng một nửa số cặp trùng nhau. Hãy ước tính con số này.

Nếu $k$ một mũi tên xuất hiện từ một điểm $A$ nào đó, thì số cặp mà nó tạo thành là $k(k-1)/2$. Trong trường hợp này, mũi tên $n-1-k$ đi đến điểm $A$, tạo thành một thỏa thuận $(n-1-k)(n-2-k)/2$ khác

43

cặp phòng tắm Vì vậy, số cặp trùng khớp có đỉnh chung tại điểm $A$ là

$$\frac{1}{2} (k^2 - k + (n - 1 - k)^2 - n + 1 + k) = \frac{1}{2} ((n - 1)^2 - (n - 1)) - k (n - 1 - k).$$

Dễ dàng nhận thấy rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức này đạt được ở $k = (n - 1)/2$ nếu $n$ là số lẻ và ở $k = n/2$ hoặc $k = n/2 - 1$ nếu $n$ là số chẵn và lần lượt bằng $(n - 1)(n - 3)/4$ và $(n - 2)^2/4$.

Lưu ý rằng các mũi tên luôn có thể được sắp xếp sao cho số lượng mũi tên “tối ưu” được chỉ định xuất phát từ mỗi điểm. Thật vậy, chúng ta hãy tưởng tượng rằng các điểm $A_1$, …, $A_n$ tạo thành một $n$-giác đều và đặt các mũi tên trên các cạnh và đường chéo của nó (không đi qua tâm của nó) sao cho chúng xác định cùng một hướng quanh tâm; trên các đường chéo đi qua tâm (chỉ có $n$ cho số chẵn), mũi tên có thể được đặt tùy ý. Khi đó số mũi tên đi vào mỗi đỉnh khác với số mũi tên đi ra khỏi đỉnh đó không quá 1.

Do đó, số lượng tam giác định hướng lẻ $n$ nhiều nhất là

$$\frac{n(n - 1)(n - 2)}{6} - \frac{n}{2} \cdot \frac{(n - 1)(n - 3)}{4} = \frac{n(n^2 - 1)}{24},$$

và thậm chí $n$

$$\frac{n(n - 1)(n - 2)}{6} - \frac{n}{2} \cdot \frac{(n - 2)^2}{4} = \frac{n(n^2 - 4)}{24}.$$

Đây là bản phác thảo của một lời giải khác. Gọi $k_i$ là số mũi tên xuất phát từ điểm $A_i$ thì số tam giác khó định hướng bằng tổng

$$\frac{k_1(k_1 - 1)}{2} + \dots + \frac{k_n(k_n - 1)}{2} = \frac{k_1^2 + \dots + k_n^2}{2} - \frac{n(n - 1)}{4}$$

(số lượng tất cả các mũi tên là $k_1 + \dots + k_n = n(n - 1)/2$). Nếu đối với một cách sắp xếp nhất định các mũi tên $k_i \geq k_j + 2$, với mỗi điểm có hai điểm, thì bạn có thể thay đổi hướng của (nhiều nhất là hai) mũi tên sao cho $k_i$ giảm và $k_j$ tăng thêm 1; trong trường hợp này, tổng bình phương $k_1^2 + \dots + k_n^2$ sẽ giảm. Do đó, đối với cách sắp xếp mũi tên “viên đạn” $|k_i - k_j| \leq 1$ cho tất cả $i, j$, và do đó, $k_i = (n - 1)/2$ hoặc $k_i = ((n - 1) \pm 1)/2$ (tùy thuộc vào tính chẵn lẻ của $n$) cho tất cả $i$, từ đó sử dụng (*) sẽ dễ dàng thu được đáp số.

I. I. Tsalenchuk, V. N. Dubrovsky

F933. Hai cục đường có thể được cho vào ly trà theo nhiều cách khác nhau. Bạn có thể chỉ cần đặt đường ở dưới cùng (hình 1), hoặc có thể lắp các miếng “vrasor” nếu kính có hình nón (Hình 2).

45

F935. Dòng điện $I_0$ chạy qua một dây dẫn thẳng dài có tiết diện không đổi. Trong phần AB của dây dẫn (xem hình), điện trở suất của nó giảm từ $\rho_1$ ở phần A-A xuống $\rho_2$ ở phần B-B. Kích thước và dấu hiệu của vật thể hình thành ở vùng AB là bao nhiêu?

Chúng ta hãy chọn một phần tử vô cùng nhỏ có chiều dài $\Delta l$ trên đoạn AB của dây dẫn ở một vị trí tùy ý (xem hình) và viết định luật Ohm cho phần tử này:

$$\Delta U = I_0 \rho \Delta l / S.$$

Ở đây $\rho$ là điện trở suất của dây dẫn trong thể tích đã chọn và $S$ là tiết diện của dây dẫn. Xét rằng giới hạn của tỷ số $\Delta U / \Delta l$ tại $\Delta l \rightarrow 0$ xác định độ lớn của cường độ điện trường ($\lim_{\Delta l \rightarrow 0} (\Delta U / \Delta l) = E$), ta có thể viết đẳng thức đầu tiên dưới dạng

$$E = \rho I_0 / S.$$

Sự tương ứng thu được cho thấy, đối với bất kỳ phần nào của dây dẫn, mối quan hệ giữa cường độ điện trường $E$ và điện trở suất của dây dẫn trong cùng một phần.

Để nền đối tượng $\Delta Q$ được hình thành trong đối tượng cơ bản đã chọn. Hãy tìm cường độ điện trường ở bên trái ($E_1$) và bên phải ($E_2$) của phần tử đã chọn. Sử dụng nguyên lý chồng chất của trường tĩnh điện, chúng ta có thể viết

$$E_1 = |\vec{E}_1| = |\vec{E}_l| - \frac{\Delta Q}{2\varepsilon_0 S},$$

$$E_2 = |\vec{E}_2| = |\vec{E}_l| + \frac{\Delta Q}{2\varepsilon_0 S}.$$

Ở đây $|\vec{E}_l|$ là cường độ điện trường trong thể tích của phần tử của chúng ta, được tạo ra bởi tất cả các điện tích ngoại trừ điện tích $\Delta Q$, và số hạng thứ hai thống nhất trường điện tích $\Delta Q$, sẽ tương đương với trường gần bề mặt tích điện đều với mật độ điện tích bề mặt $\Delta Q / S$. Thay đổi lề ở viền phần tử

$$\Delta E = |\vec{E}_2| - |\vec{E}_1| = \Delta Q / \varepsilon_0 S.$$

Ở phía bên kia,

$$\Delta E = \Delta \rho \cdot I_0 / S,$$

trong đó $\Delta \rho$ là hiệu điện trở suất của dây dẫn ở bên phải và bên trái của phần tử được chọn tại ranh giới của nó. Từ hai đẳng thức cuối cùng, chúng ta thu được mối liên hệ giữa thể tích của điện tích $\Delta Q$ và hiệu điện trở suất tại các ranh giới của nó:

$$\Delta Q = \varepsilon_0 I_0 \cdot \Delta \rho.$$

Điện tích khối trong toàn bộ diện tích $AB$ bằng tổng các điện tích cơ bản tương tự, tức là

$$Q_{AB} = \Sigma \Delta Q = \varepsilon_0 I_0 \Sigma \Delta \rho = \varepsilon_0 I_0 (\rho_2 - \rho_1).$$

Vì chênh lệch $\rho_2 - \rho_1$ là âm (theo quy ước

46

Loviu $\rho_2 < \rho_1$), thì điện tích không gian trên tiết diện dây dẫn $AB$ sẽ âm.

V. V. Mozhaev

F936. Dọc theo một nút điện siêu dẫn dài có độ tự cảm $L_0 = 1$ H, chứa $N = 200$ vòng, dòng điện chạy $I_0 = 0,1$ A.*) Từ xa, một cuộn dây dẫn kín có cùng bán kính với vòng dây của nút điện từ được đưa đến nút điện từ; độ tự cảm quay $L_1 = 1 \cdot 10^{-3}$ H. Cuộn dây được đặt đồng trục giữa các cuộn dây của điện từ với nó. Dòng điện chạy qua cuộn dây sẽ thay đổi như thế nào? Năng lượng của hệ sẽ thay đổi như thế nào?

◆
Trước khi rẽ, từ thông qua cuộn dây bằng

$$\Phi_0 = L_0 I_0.$$

Dòng chảy này tạo ra theo mọi hướng của nó; Giả sử rằng các vòng dây trong từ thông tổng là như nhau (điều này có thể được xem xét nếu có nhiều vòng dây và cuộn dây dài), chúng ta sẽ tìm thấy sự đóng góp của một vòng dây (từ thông được tạo ra bởi một vòng dây qua cuộn dây ở dòng điện $I_0$):

$$\Delta \Phi_0 = \frac{L_0}{N} I_0.$$

Mặt khác, từ trường chung của nút điện từ tạo ra từ thông $\Delta \Phi_0^*$ trong mỗi vòng quay; tổng các luồng đó bằng $\Phi_0$; Đó là lý do tại sao

$$\Delta \Phi_0^* = \frac{\Phi_0}{N} = \Delta \Phi_0.$$

Điều này có nghĩa là từ thông qua một vòng dây được tạo ra bởi dòng điện $I_0$ giống như từ thông qua toàn bộ dây điện được tạo ra bởi một vòng dây có cùng dòng điện. (Đây là một thực tế được biết đến.)

Hãy thêm một cuộn dây vào điện từ. Gọi $I$ là dòng điện mới trong cuộn dây, và $I_1$ là dòng điện cảm ứng sinh ra trong cuộn dây. Vì cuộn dây là siêu dẫn nên từ thông qua nó phải không đổi và bằng 0. Từ thông này bao gồm từ thông $\Phi$, được tạo ra thông qua cuộn dây bởi toàn bộ cuộn dây có dòng điện $I$, và từ thông riêng của nó $\Phi_1$, được tạo ra bởi cuộn dây có dòng điện $I_1$:

$$0 = \Phi + \Phi_1 = \frac{L_0}{N} I + L_1 I_1.$$

Từ thông qua cuộn dây điện từ (siêu dẫn) cũng phải không đổi và bằng $L_0 I_0$:

$$L_0 I_0 = L_0 I + \frac{L_0}{N} I_1.$$

Giải (1) và (2) cùng nhau, ta tìm được dòng điện $I$ và $I_1$:

$$I = I_0 \left( 1 - \frac{L_0}{L_1 N^2} \right)^{-1} \approx 0,103 \text{ A},$$

$$I_1 = - I \frac{L_0}{L_1 N} \approx -0,510 \text{ A}.$$

Do đó, dòng điện chạy qua solenua đã tăng $\Delta I = 3 \cdot 10^{-3}$ A. Năng lượng của hệ đã tăng:

$$\Delta W = L_0 \frac{I^2}{2} + L_1 \frac{I_1^2}{2} - L_0 \frac{I_0^2}{2} \approx 1,25 \cdot 10^{-4} \text{ Дж}.$$

Năng lượng tăng lên do công cơ học được thực hiện khi đưa một vòng quay vào cuộn dây điện từ (dòng điện ngược chiều đẩy nhau).

A. R. Zilberman