Cấu trúc đối lưu và tự tổ chức

8

Cấu trúc đối lưu và tự tổ chức

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
E. E. GORODETSKY.
V. S. ESIPOV

Gió và dòng hải lưu, sự chuyển động của vật chất và dòng vật chất mặt trời… Mỗi hiện tượng này đều rất phức tạp và đa dạng. Tuy nhiên, chúng (và nhiều hơn thế nữa) có một đặc điểm chung đặc trưng: sự đối lưu đóng một vai trò quan trọng trong chúng - một trong những hiện tượng đẹp nhất trong vật lý của vũ trụ vĩ mô.

Trong những năm gần đây, sự quan tâm đến hiện tượng “cũ” và tưởng chừng như quen thuộc này đã tăng mạnh. Hóa ra, sự đối lưu là một trong những quá trình do đó các hệ thống, ban đầu không có trật tự, sẽ chuyển sang trạng thái có trật tự. Sự ra đời của trật tự từ sự hỗn loạn (hay nói cách khác là tự tổ chức) là cơ chế tiến hóa cơ bản. Và khái niệm về sự đối lưu giúp chúng ta nâng cao hiểu biết về vấn đề hấp dẫn và, ở một mức độ lớn, vẫn còn mơ hồ này.

Điều kiện tồn tại của sự đối lưu

Theo nghĩa hẹp của từ này, đối lưu là sự xuất hiện các chuyển động có trật tự trong chất lỏng hoặc chất khí được làm nóng không đều.

Trong những điều kiện nào một phong trào như vậy sẽ xảy ra? Hãy chuyển sang một ví dụ đơn giản: hãy tưởng tượng rằng chúng ta làm nóng một lớp chất lỏng phẳng nằm ngang. Làm thế nào quá trình truyền nhiệt từ ranh giới phía dưới của chất lỏng lên phía trên có thể xảy ra?

Khi chênh lệch nhiệt độ ΔT của lớp chất lỏng dưới và lớp trên nhỏ, quá trình truyền nhiệt xảy ra do cơ chế dẫn nhiệt: các phân tử “nóng hơn” khi tiếp xúc với các phân tử “lạnh hơn” sẽ truyền năng lượng dư thừa cho chúng, nhưng không có chuyển động vĩ mô của chất lỏng. Tuy nhiên, khi chênh lệch nhiệt độ đạt đến một giá trị tới hạn nhất định ΔTcr thì cơ chế dẫn nhiệt là sự truyền năng lượng nhiệt gắn liền với sự xuất hiện chuyển động vĩ mô trong chất lỏng.

“Không ổn định” nghĩa là gì? “Cao hơn” theo nghĩa nào?

Chúng ta hãy xem xét những vấn đề này.

Sự ổn định và bất ổn

Qua môn học cơ học, chúng ta biết cách xác định tính ổn định của trạng thái cân bằng của một hệ: nếu khi hệ lệch khỏi vị trí cân bằng thì xuất hiện các lực có xu hướng đẩy nó quay trở lại thì trạng thái cân bằng ổn định (hình 1, a); nếu họ có thể

10

Tỷ lệ bên trong lớp phụ thuộc tuyến tính vào chiều cao $h$:

$$T(h) = T_1 - \Delta T \frac{h}{L}.$$

Vì mật độ của chất lỏng giảm khi đun nóng, nên ở phần dưới, nóng hơn, phức tạp hơn, mật độ nhỏ hơn ở phần trên - chất lỏng có mật độ rẻ. Sự phụ thuộc của mật độ vào chiều cao có dạng

$$\rho(h) = \rho_1 \left( 1 + \beta \cdot \Delta T \frac{h}{L} \right)$$

(ở đây $\rho_1$ là mật độ ở ranh giới dưới, $\beta$ là hệ số phân bố thể tích, bằng sự thay đổi đơn vị thể tích cơ thể khi nhiệt độ thay đổi 1 độ). $\Delta T$ càng lớn, mật độ chất lỏng trong lớp tăng càng nhanh khi tăng $h$. Nói cách khác, khi $\Delta T$ tăng lên, độ rẻ của mật độ trong lớp cũng tăng lên. Và điều này cuối cùng dẫn đến sự mất ổn định: chất lỏng nhẹ hơn nằm bên dưới có xu hướng dâng lên, do đó chuyển động mạnh mẽ trong toàn bộ lớp - xảy ra sự đối lưu.

Thoạt nhìn, có vẻ như các quốc gia cho rằng một phong trào như vậy không bắt đầu ngay lập tức, cho dù mức độ quá nóng của các từ thấp hơn có nhỏ đến đâu. Rốt cuộc, nếu chúng ta nhúng một vật vào chất lỏng, nó sẽ nổi lên ngay cả khi mật độ của nó ít nhất nhỏ hơn một chút so với mật độ của chất lỏng.

Để hiểu điều gì đang xảy ra ở đây, hãy tưởng tượng rằng một phần tử chất lỏng nhỏ (ví dụ: một quả bóng có bán kính $R$) bắt đầu chuyển động lên trên với tốc độ $v$. Nói chung, chúng ta có thể giả sử rằng thể tích và do đó mật độ của vật không thay đổi khi nó tăng lên. Trong trường hợp đang xem xét, phần tử chất lỏng được giải phóng, dâng lên và rơi vào những con voi lạnh hơn, giảm thể tích, trở nên đậm đặc hơn và có thể mất độ nổi. Đó là toàn bộ vấn đề!

Trước khi thu được các điều kiện để mất ổn định của chế độ dẫn nhiệt ở dạng tường minh, chúng ta sẽ đưa ra một giá trị rất quan trọng. Lưu ý đến bản chất thuần túy định tính của các ước tính của chúng tôi, chúng tôi sẽ không quan tâm chút nào đến các hệ số số trong công thức hoặc bất kỳ chi tiết nào. Vì vậy, chúng ta sẽ xem xét một phần tử chất lỏng có hình dạng quả bóng, mặc dù trên thực tế nó có thể có hình dạng phức tạp hơn. Chúng ta sẽ lấy thể tích của quả bóng này bằng $R^3$ và diện tích bề mặt của nó là $R^2$ (thay vì $4/3\pi R^3$ cho thể tích và $4\pi R^2$ cho diện tích bề mặt), v.v. Phương pháp này, được gọi là phương pháp ước tính thứ nguyên, là một giai đoạn quan trọng trong nghiên cứu vật lý, một giai đoạn mà tại đó bản chất của hiện tượng mà chúng ta quan tâm được làm rõ: nó phụ thuộc vào những thông số nào, quy mô không gian và thời gian của nó là gì, v.v. d.*)

Vì vậy, chúng ta hãy có mặt. Hãy để chúng tôi giới thiệu thời gian $t$, trong đó nhiệt độ của quả bóng (và theo đó, mật độ của nó) gần như không đổi. Trong thời gian này, quả bóng chuyển động với tốc độ gần như không đổi $v$, tăng từ cấp $h$ lên cấp $h + \Delta h$, trong đó $\Delta h = v t$. Vị trí của nó ở cấp $h$ bị chiếm giữ bởi một phần tử chất lỏng đậm đặc hơn, giảm dần từ cấp $h + \Delta h$ (hình 3). Mật độ của một quả bóng tăng từ cấp $h$ là $\rho(h) = \rho_1 (1 + \beta \cdot \Delta T \cdot h/L)$ và mật độ của một quả bóng giảm dần ở cấp $h$ là $\rho(h + \Delta h) = \rho_1 (1 + \beta \cdot \Delta T \cdot (h + \Delta h))/L$. Sự thay đổi thế năng với chuyển động ngược chiều như vậy bằng

$$(\rho(h) - \rho(h + \Delta h)) R^3 g \cdot \Delta h = - \rho_1 \beta \cdot \Delta T \frac{\Delta h}{L} R^3 g \cdot \Delta h = - \rho_1 \beta \cdot \Delta T \frac{v^2 \tau^2}{L} R^3 g.$$

Dấu trừ có nghĩa là năng lượng giảm, nghĩa là chuyển động như vậy trong chất lỏng bị đốt cháy. Tuy nhiên, cần phải tính đến các vật vẫn được thả ra do ma sát, lực cản này bằng lực cản $A = F_c \cdot \Delta h$. Lực cản có liên quan đến sự hiện diện của ma sát trong (độ nhớt) trong chất lỏng và trong trường hợp quả bóng chuyển động với tốc độ $v$, nó tỷ lệ thuận với bán kính của quả bóng và tốc độ của nó, cũng như hệ số nhớt của chất lỏng $\eta$:

$$F = \eta Rv$$

(ở đây chúng tôi lại loại bỏ hệ số tỷ lệ bằng số, hệ số này không quan trọng trong các đánh giá định tính của chúng tôi).

Do đó, độ biến thiên năng lượng khi xảy ra chuyển động trong chất lỏng bằng

$$\Delta W = (-\rho_1 \beta \cdot \Delta T \frac{v \tau}{L} R^3 g + \eta Rv) v t.$$

Hãy ước tính thời gian không có bóng $t$. Lượng nhiệt chính xác trong quả bóng ($\Delta Q = \rho R^3 c \cdot \Delta T$ ($\rho R^3$ là khối lượng của quả bóng, $c$ là nhiệt dung riêng). Lượng nhiệt $\Delta q$, truyền từ vật nóng sang vật lạnh trong một đơn vị thời gian thông qua một đơn vị tiếp xúc giữa các vật này (giá trị này được gọi là thông lượng nhiệt),

*) Bạn có thể đọc về phương pháp ước tính thứ nguyên trong chương “Tính toán không cần tính toán” trong cuốn sách “Tìm kiếm sự thật” của A. V. Migdal (bộ Eureka, nhà xuất bản Molodaya Gvardiya, 1983).

11

Sự phát triển nhiệt độ $\Delta T$ của vật nóng và vật lạnh tỷ lệ thuận và tỷ lệ nghịch với độ dày của lớp chuyển tiếp; hệ số tỷ lệ (đặc trưng cho tính chất dẫn nhiệt của cơ thể) được gọi là hệ số dẫn nhiệt và được ký hiệu là $x$. Trong trường hợp quả bóng của chúng ta, độ dày của lớp chuyển tiếp là bán kính của quả bóng và $\Delta q = x \cdot \Delta T/R$. Thời gian quả bóng còn lại là thời gian mà toàn bộ nhiệt lượng dư thừa $\Delta Q$ sẽ có thời gian di chuyển từ quả bóng qua bề mặt của nó đến chất lỏng xung quanh. Do đó, thời gian $\tau$ được xác định bởi các điều kiện $\Delta Q = \Delta q \cdot R^2 \tau$, từ đó

$$\tau = \frac{\Delta Q}{\Delta q \cdot R^2} = R^2 \frac{\rho c}{\chi}.$$

Tổ hợp $\chi/(\rho c)$ được gọi là hệ số dẫn nhiệt và được ký hiệu là $x$. Vậy $\tau = R^2/\chi$.

Thay thế giá trị tìm thấy $\tau$ vào biểu thức cho $\Delta W$, chúng ta nhận được:

$$\Delta W = R^3 \frac{\eta}{\chi} \left( 1 - \frac{\rho_1 \beta g L^3 \cdot \Delta T}{L \eta \chi} \right) v^2.$$

Theo nguyên tắc chung, tại $\Delta W > 0$ chuyển động xảy ra ngẫu nhiên mờ dần (tương tự với hình 1, và tại $\Delta W < 0$ chuyển động tiếp tục (tương tự - hình 1, b) - trạng thái của chất lỏng nghỉ (chế độ dẫn điện) trở nên không ổn định. Điều kiện $\Delta W < 0$ được thỏa mãn khi

$$\frac{\rho_1 \beta g R^4 \cdot \Delta T}{L \eta \chi} > 1.$$

Lưu ý rằng sự bất bình đẳng này bao gồm kích thước của quả bóng $R$: $R$ càng lớn, quả bóng càng dễ dàng lao lên trên. Điều này có nghĩa là trước hết, quả bóng có kích thước tối đa có thể trong một tình huống nhất định sẽ bắt đầu chuyển động. Nhưng kích thước tối đa có thể này, rất dài, bằng độ dày của lớp. Do đó, trong bất đẳng thức cuối cùng chúng ta có thể đếm $R \approx L$.

Vì vậy, chúng ta đã thu được các điều kiện xác định sự bắt đầu của chuyển động đối lưu:

$$\frac{\rho_1 \beta g L^3 \cdot \Delta T}{\eta \chi} > 1.$$

Bạn thấy rằng sự phát triển tới hạn của nhiệt độ tại đó xảy ra liên kết bán dẫn được xác định bởi các thông số của chất lỏng (độ nhớt $\eta$, độ khuếch tán nhiệt $\chi$, v.v.), cũng như độ dày của lớp $L$. Độ dày của lớp càng lớn thì chênh lệch nhiệt độ ở ranh giới dưới và trên của nó càng nhỏ, chế độ dẫn nhiệt được thay thế bằng chế độ đối lưu.

Thay thế giá trị $R \approx L$ vào biểu thức của $\Delta W$, chúng ta tìm thấy

$$\Delta W = L^3 \frac{\eta}{\chi} \left( 1 - \frac{\rho_1 \beta g L^3 \cdot \Delta T}{\eta \chi} \right) v^2.$$

bài toán của chúng tôi hài lòng; chúng tôi đã tìm thấy một hàm có giá trị cực tiểu xác định vị trí cân bằng của hệ - đây là $\Delta W(v)$. Khi sự phát triển của $\Delta T$ nhỏ, đồ thị của $\Delta W(v)$ có dạng tương tự như biểu đồ được hiển thị trong hình 1 và mức tối thiểu đạt được là $v = 0$. Khi $\Delta T$ lớn đến mức $\Delta W < 0$, chúng ta chuyển sang tình huống được mô tả trong hình 1, b, nghĩa là sự chuyển đổi tự phát (tự phát) của chất lỏng từ trạng thái có tốc độ bằng 0 sang trạng thái có tốc độ khác 0.

Cuối cùng là cấu trúc!

Như vậy, ta đã tìm được điều kiện để mất ổn định. Nhưng điều gì sẽ xảy ra với chất lỏng tiếp theo?

Trước hết, điều quan trọng là phải dạy chuyển động đi lên đồng thời. Một chuyển động đi lên chắc chắn sẽ dẫn đến nhiệt độ thấp. Và những dòng chảy đi lên và hèn nhát này phải được phân phối bằng cách nào đó trong lớp của chúng ta.

Hóa ra là một hệ trong đó có các dòng năng lượng hoặc vật chất (những hệ như vậy được gọi là không cân bằng) được sắp xếp theo cách tuân theo năng lượng của các năng lượng tối thiểu.*) Trong trường hợp chúng ta đang xem xét, các dòng chất lỏng đi lên và hèn nhát được sắp xếp chặt chẽ, tạo thành một rất đẹp và điều đặc biệt nổi bật là

*) Đây dường như là một nguyên tắc rất chung chung. Tuy nhiên, hiện tại không có bằng chứng nghiêm ngặt về tính hợp lệ của nó.

12

một bức tranh rất chính xác: lớp sự sống “phân tách” thành các dấu hiệu (còn gọi là tế bào Benard - được đặt theo tên của nhà nghiên cứu người Pháp lần đầu tiên quan sát và mô tả hiện tượng này), dọc theo các rìa của nó, sự sống dâng lên và tầm nhìn chảy xuống ở trung tâm, hoặc ngược lại. Động năng của mặt cắt ngang của lăng kính xấp xỉ bằng $L$. hình 4 hiển thị ảnh chụp cấu trúc như vậy (góc nhìn từ trên xuống; bên phải là hình ảnh phóng to của cùng các ô).

Sự xuất hiện tự phát của một cấu trúc luôn gây ngạc nhiên cho những ai lần đầu tiên gặp hiện tượng này là một thực tế có tầm quan trọng vượt xa phạm vi của vấn đề đối lưu.

Các loại mất ổn định khác

Lý do cho sự không ổn định về khoảng cách phục vụ chúng ta là sự hiện diện của dòng nhiệt xuyên qua ranh giới của sự sống và sự không đồng nhất về mật độ về độ cao. Chúng ta sẽ thu được một kết quả hoàn toàn tương tự trong trường hợp mật độ phi hydro không phải do chênh lệch nhiệt độ mà do sự phân biệt thành phần của sự sống và các lớp sự sống phía trên. Ví dụ, khi nước ở phía trên mặn hơn (và do đó nặng hơn) so với nước ở phía dưới. Ở đây chúng ta chuyển sang một loạt vấn đề rất thú vị và đa dạng liên quan đến sự đối lưu trong chất lỏng hai thành phần. Một ví dụ về hệ thống như vậy là đại dương. Trên thực tế, trong đại dương, ngoài thành phần phi hydro còn có nhiệt độ phi hydro. Sự kết hợp của các yếu tố này dẫn đến nhiều đặc điểm đặc trưng của đại dương và đặc biệt là hình thành các lớp ổn định trong đó với độ mặn và nhiệt độ khác nhau (gọi là sự phân tầng đại dương).

Để hiểu cấu trúc như vậy được hình thành như thế nào, hãy xem xét nước ở các lớp dưới có nhiệt độ và độ mặn cao hơn ở các lớp trên. Đồng thời, ngay cả khi mật độ của nước ở phía dưới lớn hơn ở phía trên (nghĩa là có vẻ như trạng thái cân bằng ổn định và quá trình truyền năng lượng sẽ diễn ra theo cách dẫn nhiệt thông thường), tuy nhiên vẫn có thể chuyển từ chế độ dẫn nhiệt sang chế độ đối lưu.

Thật vậy, chúng ta hãy tưởng tượng rằng một phần tử nhỏ của sự sống bắt đầu di chuyển lên trên. Giả sử nhiệt độ và độ mặn của nó không thay đổi. Vì mật độ của phần tử lớn hơn mật độ của môi trường xung quanh nên nó sẽ sớm bị bỏ rơi và bắt đầu chìm xuống, quay trở lại vị trí cân bằng. Một chuyển động dao động của phần tử đang xét xảy ra, tương tự như chuyển động dao động của một vật treo lơ lửng bên ngoài. Một dao động như vậy tắt dần một cách tự nhiên do

13

do bản chất ngôn ngữ của chất lỏng. Và bây giờ hãy lưu ý rằng trong quá trình đi lên, phần tử đã chọn, kết thúc ở các lớp lạnh hơn, vẫn còn lại. Điều này dẫn đến “trọng lượng” của nó, do đó, khi trở về vị trí cân bằng, nó có tốc độ lớn hơn tốc độ mà nó bắt đầu chuyển động (giống như thể một trọng lượng đang bị đẩy, dao động ra ngoài). Lực đẩy như vậy có thể cản trở sự tắt dần của dao động và biên độ dao động bắt đầu giảm. Đây là sự bất ổn. (Sự không ổn định như vậy được gọi là đối lưu dao động.) Biên độ dao động tăng đến một giá trị giới hạn nhất định, giá trị này xác định độ dày của lớp. Do những rung động như vậy, chất lỏng bên trong lớp được trộn lẫn tích cực. Nhiệt độ và độ mặn của nước gần như không đổi trong một lớp. Sau khi một lớp như vậy được hình thành, một lớp khác bắt đầu phát triển phía trên nó, rồi đến lớp thứ ba, v.v.

Cấu trúc xuất hiện trở lại. Nhưng lần này nó có nhiều lớp.

Và anh ấy muốn kể cho chúng ta về một loại mất ổn định đối lưu nữa. Ai trong số các bạn chưa từng thấy nước xoáy như thế nào khi nó chảy ra khỏi lỗ thoát nước trên bồn rửa?

Để làm được điều này, chúng tôi xin trích dẫn: mọi người đều nhận thấy rằng hải âu khi khuấy đường vào ly trà luôn tụ tập về phía trục của ly. Cả hai đều là một phần biểu hiện của sự mất ổn định, được gọi là mất ổn định Taylor (được đặt theo tên của nhà khoa học người Anh J. I. Taylor (1886-1975), người đã tham gia nghiên cứu về aerofundamics).

Ở dạng tinh khiết nhất, sự mất ổn định Taylor xảy ra trong chất lỏng nằm giữa hai hình trụ quay bằng gỗ thông. Các xi lanh mang theo chất lỏng cùng với chúng, do đó nó bắt đầu quay. Tuy nhiên, ở một sự khác biệt nhất định về vận tốc góc của xi lanh bên trong và bên ngoài, chuyển động quay của chất lỏng trở nên không ổn định và cùng với chuyển động quay, chuyển động của chất lỏng xuất hiện theo hướng xuyên tâm. Tình huống rất giống với tình huống chúng ta đã thảo luận ở trên. Sự khác biệt duy nhất là ở lớp nằm ngang, “trên” và “dưới” được phân bổ theo hướng của gia tốc rơi tự do g, nhưng ở đây “trên” và “dưới” được xác định theo hướng của gia tốc hướng tâm. Trong trường hợp đầu tiên, chúng ta thấy một phần tử chất lỏng tách biệt trong phao do mật độ của nó không có thời gian để cân bằng mật độ của môi trường (quả bóng không có thời gian để nguội). Ở đây, tốc độ quay của phần tử chất lỏng vô tình di chuyển dọc theo bán kính, không có thời gian để cân bằng tốc độ quay của các lớp chất lỏng mà nó rơi vào.

Do sự phát triển của sự mất ổn định như vậy, chất lỏng quay giữa các xi-lanh phát triển trên hệ thống “vô lăng” (hình 5; mũi tên đen chỉ hướng của chất lỏng chảy bên trong “vô lăng” đang quay). Một cấu trúc có trật tự lại xuất hiện!

Nói chung, chúng ta có thể nói rằng sự quay của chất lỏng trong một mặt phẳng, theo quy luật, dẫn đến chuyển động của nó trong một mặt phẳng tuần hoàn.

(Cuối cùng xem trang 22)