Các phép biến đổi hình học trong bài toán phẳng

16

Matematika 8

Ghi chú được xuất bản nhằm gửi đến tất cả học sinh học cổ điển, nhưng cũng có thể hữu ích cho học sinh lớp chín và lớp mười.

Các phép biến đổi hình học trong bài toán phẳng

Xoay, căn chỉnh và đối xứng trung tâm, dịch song song, chuẩn bị - tất cả các phép biến đổi mặt phẳng này thường giúp thiết lập nhiều tính chất thú vị và quan trọng của hình hình học và bộc lộ đầy đủ hơn nội dung của chủ đề.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một số phép đo phẳng bài toán, lời giải trong số đó, sử dụng các phép biến đổi mặt phẳng, tồn tại dễ dàng hơn các phương pháp truyền thống khác và chúng ta sẽ đề cập một chút đến vấn đề thành phần của các phép biến đổi.

Bài tập 1. Gọi $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, $M$ là giao điểm của các đường trung tuyến, $H$ là giao điểm của các đường cao. Chứng minh rằng các điểm $O$, $M$, $H$ nằm trên cùng một đường thẳng.

Lời giải. Trên hình 1, các điểm $B_1$ và $C_1$ là trung điểm của các cạnh $AC$ và $AB$ của tam giác $ABC$, $BB_2$ và $CC_2$ là các đường cao của tam giác.

Hãy xem xét một cái làm sẵn có tâm $M$ và hệ số $k=-2$. Trong quá trình chuẩn bị này, các điểm $B_1$ và $C_1$ lần lượt được ánh xạ tới các điểm $B$ và $C$. Vì giá trị của các góc được giữ nguyên trong quá trình chuẩn bị, đoạn $B_1O$ sẽ đi vào một đoạn nằm trên đường $BB_2$, và đoạn $C_1O$ sẽ đi vào một đoạn nằm trên đường $CC_2$, do đó điểm $O$ của giao điểm của đường $B_1O$ và $C_1O$ sẽ đi đến điểm $H$ giao điểm của độ cao $BB_2$ và $CC_2$. Theo đó các điểm $O$, $M$, $H$ nằm trên cùng một đường thẳng.

Bài tập 2. Cho một đường tròn có bán kính khác nhau cắt nhau tại điểm $A$. a) Chứng minh rằng có chính xác hai điểm phân biệt $M$ và $N$ và các đường tròn này là chủ có tâm $M$ và chủ có tâm $N$. 6) Chứng minh rằng $\angle MAN=90^\circ$.

Lời giải. a) Đặt $O_1$ và $O_2$ là tâm của các đường tròn của chúng ta và $PQ$ và $RS$ đường kính của chúng vuông góc với đường thẳng $O_1O_2$. Tính đồng nhất phải dịch $PQ$ sang $RS$; điều này có nghĩa là nó dịch $P$ thành $R$ và $Q$ thành $S$ hoặc nó ánh xạ $P$ thành $S$ và $Q$ thành $R$. Trong trường hợp đầu tiên, tâm chuẩn bị là điểm giao nhau của các đường $PR$ và $QS$; trong trường hợp thứ hai, điểm giao nhau của đường $PS$ và $QR$. 6) Khi chuẩn bị hai đường tròn có tâm $M$ điểm $O_1$ sẽ có hình ảnh của điểm $O_2$ (hình 2); nó cũng là ảnh của điểm $O_2$ và khi chuẩn bị với tâm $N$. Điểm $A$ khi nấu với tâm $M$ sẽ chuyển sang điểm $A_1$, và khi nấu với tâm $N$ nó sẽ chuyển sang điểm $A_2$. Theo tính chất của sự chuẩn bị, các đường thẳng $O_1A_1$ và $O_2A$, cũng như $O_1A_2$ và $O_2A$ là song song. Từ đó suy ra điểm $O_1$ nằm trên đường thẳng $A_1A_2$. Do đó $\angle A_1AA_2=90^\circ$, do đó $\angle MAN=90^\circ$.

Nhiệm vụ 3. Ba điểm được cho trên một vòng tròn: $M$, $N$ và $K$. Viết tam giác $ABC$ vào hình tròn này sao cho các đường thẳng $AM$, $BN$ và $CK$ lần lượt được chia đôi bởi các góc $A$, $B$ và $C$.

Lời giải. Đặt $ABC$ là hình tam giác mong muốn. Chúng ta hãy vẽ các tiếp tuyến của đường tròn đã cho (hình 3) thông qua các điểm $M$, $N$, $K$ và xét tam giác $A_1B_1C_1$ là kết quả của giao điểm của chúng.

Vì các cung $AK$ và $KB$, $BM$ và $MC$, $AN$ và $NC$, các đường thẳng song song theo cặp $A_1B_1$ và $AB$, $B_1C_1$ và

17

BC, A₁C₁ và AC. Do đó, các tam giác ABC và A₁B₁C₁ đã được chuẩn bị và theo tính chất của sự chuẩn bị, các đường nhị phân của một trong số chúng song song với các đường nhị phân của tam giác kia.

Việc xây dựng cần thiết sau đó.

Qua các điểm M, N, K vẽ các tiếp tuyến với đường tròn. Khi chúng cắt nhau sẽ tạo thành tam giác A₁B₁C₁. Chúng ta vẽ các đường nhị phân trong đó - các đường thẳng A₁M₁, B₁N₁, C₁K₁ trên hình 3. Qua các điểm M, N, K chúng ta lần lượt vẽ các đường thẳng song song với A₁M₁, B₁N₁ và C₁K₁. Các đường thẳng này sẽ cắt đường tròn tại ba điểm cần tìm A, B, C.

Bài toán 4. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh nó vuông góc với các cạnh đối diện tương ứng cắt nhau tại một điểm.

Lời giải. Gọi các điểm M, N, F, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và AD (hình 4). Các đường thẳng vẽ qua các điểm M, N, F, K lần lượt vuông góc với các cạnh AB, BC, CD và AD cắt nhau tại tâm của đường tròn đã cho - điểm O. Rõ ràng tứ giác MNFK là hình bình hành. Gọi P là tâm đối xứng của nó.

Với đối xứng tâm có tâm tại điểm P, các điểm F, M, K, N lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm M, F, N, K. Cho a, b, c, d lần lượt là các đường thẳng đi qua các điểm M, N, F, K và vuông góc với các cạnh CD, AD, AB, BC. Rõ ràng, với đối xứng tâm với tâm P thì các đường thẳng a, b, c, d lần lượt là ảnh của các đường thẳng OF, OK, OM, ON (với đối xứng tâm thì đường thẳng đó trở thành đường thẳng song song với nó). Điều này dẫn đến phát biểu bài toán: các đường thẳng a, b, c, d cắt nhau tại một điểm E - ảnh của điểm O đối xứng tâm với tâm P.

Bài toán 5. Phần kéo dài các cạnh AD và BC của hình thang cân ABCD cắt nhau tại điểm L. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACL và BDL cắt nhau tại tâm đường tròn ngoại tiếp hình thang này.

Lời giải. Tam giác ABL là tam giác đều. Chiều cao LM của nó là trục đối xứng của nó (hình5). Đường tròn màu đỏ đi qua các điểm A, C, L là hình chiếu của đường tròn màu xanh đi qua các điểm B, D L đối xứng qua trục LM. Đồng thời

18

điểm $K$ giao điểm với trục đối xứng $LM$ được ánh xạ lên chính nó—điểm giao nhau của vòng tròn màu đỏ với trục đối xứng.

Đối với Pozny, đối với một đối xứng cho trước, cung $KC$ là đối xứng của các cung $KD$, và cung $AK$ là đối xứng của các cung $KB$. Ngoài ra, cung $AK$ bằng cung $KC$, ngụ ý sự bằng nhau của bốn cung này. Các dây cung bao quanh các cung này cũng có tư thế bằng nhau, sao cho điểm $K$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp hình thang $ABCD$.

Bài toán 6. Tìm một điểm có tổng khoảng cách từ các đỉnh của một tam giác cho trước là nhỏ nhất.

Lời giải. Cho $ABC$ là một tam giác cho trước, $P$ là một điểm tùy ý trên mặt phẳng. Xoay hình tam giác $ABC$ quanh điểm $A$ theo $60^\circ$ (hình 6). Đặt các điểm $B_1$ và $P_1$ là ảnh của các điểm $B$ và $P$ trong vòng xoay này. Sau đó, $B_1P_1=BP$, $AP_1=AP$, và do đó,
$$l=AP+BP+CP=AP_1+B_1P_1+CP=B_1P_1+P_1P+CP.$$
Rõ ràng là $l$ sẽ nhỏ nhất nếu các điểm $P_1$ và $P$ nằm trên đường thẳng $B_1C$. Thật dễ dàng để tính toán điều đó trong trường hợp này $\angle APC=\angle APB=\angle BPC=120^\circ$.

Do đó, điểm cần tìm là điểm mà từ đó nhìn thấy được các cạnh của một tam giác đã cho ở một góc $120^\circ$.

Bài 7. Trên các cạnh của tam giác $ABC$, các tam giác đều $ABC_1$, $BCA_1$ và $ACB_1$ được dựng bên ngoài. Chứng minh rằng các đường thẳng $AA_1$, $BB_1$ và $CC_1$ cắt nhau tại một điểm.

Lời giải. Gọi $O$ là giao điểm của đường $AA_1$ và $BB_1$. Hãy xoay mặt phẳng của tam giác $ABC$ quanh điểm $C$ theo $60^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ. Với phép quay này (hình 7), tam giác $CBB_1$ là ảnh của tam giác $CAA_1$. Đối với Pozny, các góc $A_1AC$ và $BB_1C$ bằng nhau, do đó các góc $AOB_1$ và $ACB_1$ bằng nhau, tức là $\angle AOB_1=60^\circ$.

Bây giờ chúng ta vẽ đoạn $OO_1=AO$ trên đường thẳng $BB_1$ từ điểm $O$ và xoay mặt phẳng quanh điểm $A$ theo $60^\circ$ sao cho các điểm $B$, $B_1$, $O_1$ đi đến các điểm $C_1$, $C$, $O$ tương ứng. Chúng tôi nhận thấy rằng với phép quay này, đường thẳng $BB_1$ đi vào đường thẳng $CC_1$ chứa điểm $O$.

Bình luận. Điểm $O$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $AB_1C$ nên $\angle AOC=120^\circ$. Tương tự như $\angle AOB=\angle BOC=120^\circ$. Vì vậy, tất cả các cạnh của tam giác $ABC$ đều có thể nhìn thấy được từ điểm $O$ ở góc $120^\circ$ (so sánh kết quả này với đáp án bài toán 6).

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh ba định lý nhỏ nhưng rất quan trọng về thành phần của các phép biến đổi khác nhau.

Định lý 1. Đối xứng liên tiếp của hai trục cắt nhau là phép quay quanh điểm $O$ giao điểm của hai trục này một góc gấp đôi góc giữa chúng.

Bằng chứng. Đặt $M$ là một điểm tùy ý khác với điểm $O$, $M_1$ là một điểm đối xứng với $M$ so với trục $l$, $M_2$ là một điểm đối xứng với $M_1$ so với trục $k$, $\alpha$ là góc giữa vectơ $\overrightarrow{OM}$ và trục $l$, $\varphi$ là góc giữa trục $k$ và $l$. Giả sử điểm $M_1$ nằm trong góc bằng $\varphi$ (các trường hợp khác

19

Trà cũng tương tự). Khi đó (xem hình 8) góc giữa vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OM_1}$ là $2\alpha$, góc giữa vectơ $\overrightarrow{OM_1}$ và $\overrightarrow{OM_2}$ là $2(\varphi - \alpha)$ và góc giữa vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{OM_2}$ là $2\alpha + 2(\varphi - \alpha) = 2\varphi$. Vì rõ ràng là $|\overrightarrow{OM}| = |\overrightarrow{OM_1}| = |\overrightarrow{OM_2}|$ nên phép biến đổi của chúng ta thực sự là một phép quay qua góc $2\varphi$.

Định lý 2. Sự đối xứng liên tiếp qua hai tâm đối xứng khác nhau là phép truyền song song.

Bằng chứng. Đặt $O_1$ và $O_2$ là tâm đối xứng và $M$ là một điểm tùy ý của mặt phẳng. Hơn nữa, giả sử điểm $M_1$ đối xứng với điểm $M$ so với tâm $O_1$ và điểm $M_2$ đối xứng với điểm $M_1$ so với tâm $O_2$. Khi đó $O_1O_2$ là đường giữa của tam giác $MM_1M_2$ (hình 9), và do đó $\overrightarrow{MM_2} = 2\overrightarrow{O_1O_2}$. Chúng ta thấy rằng phép biến đổi của chúng ta sẽ trộn một điểm tùy ý vào cùng một vectơ $2\overrightarrow{O_1O_2}$; điều đó có nghĩa đó là một sự chuyển giao song song.

Định lý 3. Thực hiện liên tiếp phép truyền song song và hình học là tiền chất có cùng hệ số.

Bằng chứng. Đặt vectơ $\vec{a}$ xác định phép tịnh tiến song song, $O$ tâm của hình học, $k$ hệ số hình học. Một điểm tùy ý $M$, dưới một phép biến đổi tổng hợp, sẽ đi vào một điểm $M_1$ sao cho (xem hình 10)

$$\overrightarrow{MM_1} = \vec{a} + (k - 1)(\overrightarrow{OM} + \vec{a}) = (k - 1)\overrightarrow{OM} + k\vec{a}.$$

Chúng ta hãy biểu thị bằng $O_1$ một điểm mà

$$\overrightarrow{O_1O} = \frac{k\vec{a}}{k - 1}$$

(chúng tôi có $k \neq 1$). Sau đó

$$\overrightarrow{MM_1} = (k - 1)\overrightarrow{OM} + (k - 1)\frac{k\vec{a}}{k - 1} = (k - 1)\overrightarrow{OM} + (k - 1)\overrightarrow{O_1O} = (k - 1)\overrightarrow{O_1M},$$

$$\overrightarrow{O_1M} = \overrightarrow{O_1M} + \overrightarrow{MM_1} = k\overrightarrow{O_1M}.$$

Nghĩa là, phép biến đổi của chúng ta là một hình học có tâm $O_1$ và hệ số $k$.

Hệ quả 1. Ứng dụng liên tục của phép tịnh tiến song song và đối xứng tâm là đối xứng tâm.

Hệ quả 2. Số lẻ các đối xứng tâm liên tiếp là một đối xứng tâm.

Chúng tôi mời độc giả sử dụng các mệnh đề đã được chứng minh để giải độc lập hai bài toán về thành phần của các phép biến đổi.

Bài 8. Tìm góc giữa các trục đối xứng $a$ và $b$ nếu kết quả của các đối xứng liên tiếp về các trục $a, b$ và trùng với kết quả của các đối xứng liên tiếp về các trục $b, a, b$.

Bài 9. Chứng minh rằng nếu một điểm tùy ý được phản xạ đối xứng sáu lần liên tiếp so với tâm đối xứng $A, B, C, A, B, C$ thì nó sẽ trở về vị trí ban đầu.

V. I. Stomakhin