Bài toán M1016—M1020; F1028—F1032

26

Bài toán

M1016—M1020; F1028—F1032

M1016. Đa giác được mô tả xung quanh một đường tròn có tâm O. Gọi P là tâm khối của đa giác, K là tâm khối của đường viền của nó. Chứng minh rằng các điểm P, O, K thẳng hàng và PO=2PK. (Khi xác định tâm P, ta coi đa giác là một mặt phẳng đồng nhất, tâm K - là một đường viền được làm bằng một sợi dây đồng nhất.).

I. Z. Vaishtein

M1017*. Mỗi đỉnh của một hình ngũ giác đều được gán một số nguyên sao cho tổng của cả năm số đều dương. Cho phép thực hiện thao tác sau: nếu trem các đỉnh liên tiếp được gán các số x, y, z và y<0 thì các số này lần lượt được thay thế bằng x+y, -y và z+y. Các hoạt động như vậy được thực hiện miễn là có ít nhất một trong năm số âm. Quá trình này có nhất thiết phải kết thúc ở một số bước hữu hạn không?

M1018. Giả sử A và B là các đỉnh kề nhau của một n-giác đều có tâm O. Tam giác XYZ, bằng tam giác OAB, trước tiên trùng với nó, sau đó di chuyển trong mặt phẳng của n-giác sao cho các điểm Y và Z vẫn nằm trên đường viền, và X vẫn nằm trong n-giác. Điểm X sẽ mô tả hình gì khi Y và Z thực hiện một vòng quay hoàn toàn dọc theo ranh giới của n-giác?

M1019. Một tập hợp hữu hạn M các nút (điểm giao nhau của các đường lưới) được đánh dấu trên một tờ giấy ca rô. Chứng minh rằng luôn có thể tô màu một số điểm của tập M là màu trắng và các điểm còn lại là màu đỏ sao cho trên mỗi đường lưới hiệu số giữa số nút trắng và đỏ theo modulo không vượt quá 1.

M1020*. Trên một hình cầu có bán kính 1, a) vẽ một đường cong có chiều dài nhỏ hơn π;
b) một đường cong khép kín có chiều dài nhỏ hơn 2π. Chứng minh rằng có một mặt phẳng đi qua tâm hình cầu và không cắt đường cong đã vẽ. (Chúng ta có thể coi đường cong trên hình cầu là một “đường đứt nét” gồm hai đường tròn lớn.)

V. V. Prasolov, G. A. Galperin

F1028. Một sợi râu nhẹ có quả bóng lớn ở đầu trên bắt đầu rơi từ vị trí thẳng đứng không có vận tốc ban đầu. Thấp hơn

27

đầu thanh tựa vào một gờ trên mặt phẳng nằm ngang (hình 1). Vận tốc của quả bóng sẽ tạo với phương thẳng đứng một góc bằng bao nhiêu tại thời điểm nó chạm mặt phẳng?

E. I. Butikov

F1029. Khi một vảy nước rơi cố định trên một chiếc đĩa phẳng, có thể quan sát được hình ảnh sau: ở một bán kính nhất định $r$ tính từ nơi vảy rơi xuống, mực nước rất thấp và ở khoảng cách $r$ mực nước sẽ nhảy vọt (hình 2). Ước tính bán kính $r$ nếu dòng nước là $q$, độ cao rơi là $H$, độ cao của bậc nước là $h$. Giả sử tốc độ ban đầu của nước chảy từ vòi là $v_0 \ll \sqrt{2gH}$.

A. A. Alabuzin, A. V. Umansky

F1030. Trên một sợi dây không trọng lượng có độ cứng $k$ một vật có khối lượng $m$ nổi lên. Độ căng tối đa mà sợi chỉ có thể chịu được là $T$. Vật được nâng lên độ cao $x$ từ vị trí cân bằng rồi thả ra. Ở mức tối thiểu $x$ sợi chỉ sẽ bị đứt?

V. G. Kharitonov

F1031. Quả cầu dẫn vỡ thành nhiều mảnh, phân tán ra những khoảng cách rất xa. Các mảnh được kết nối theo thứ tự ngẫu nhiên bằng dây mỏng. Cái nào lớn hơn: công suất điện của hệ thống các mảnh thu được hay công suất điện của quả cầu? Bỏ qua điện dung của các dây dẫn.

I. M. Lutsenko, học sinh lớp 10

F1032. Trên xe số tự động, gương chiếu hậu dùng để quan sát đèn báo bài toán. Gương này có thể phẳng hoặc lồi. Nhiều người cho rằng một trong những nhược điểm của gương cầu lồi là ảnh của các vật thể cùng tiến đến gần nó phát triển không đều, đó là lý do tại sao người điều khiển xe số tự động có gương như vậy chỉ chú ý đến việc xe số tự động bắt kịp luồng giao thông khi rời khỏi làn đường để vượt. Ý tưởng này có đúng không?

Tìm mối quan hệ giữa tốc độ chuyển động đều của nước của trục quang chính của gương cầu của một vật và tốc độ thay đổi kích thước ảnh của nó trong gương. So sánh gương chiếu hậu lồi và phẳng. Ưu điểm và nhược điểm của nó là gì?

V. A. Kotov

Problems

M1016 — M1020; P1028 — P1032

M1016. Let $P$ be the centre of mass of a polygon inscribed in a circle of centre $O, K$ — the centre of mass of its boundary. Prove that the points $P, O$ and $K$ are on one straight line and $PO = 2 \cdot PK$. (In determining the point $P$, we view the polygon as a uniform plate; for the point $K$ — as a uniform wire contour.)

I. Z. Vainshtein