Bài toán M1041—M1045; F1053—F1057

22

Nhiệm vụ

M1041 — M1045; F1053 — F1057

M1041. A) bốn, b) ba đỉnh được cho trên mặt phẳng. Sử dụng thước kẻ hai mặt, khôi phục các đỉnh còn lại. (Với thước kẻ hai mặt, bạn có thể thực hiện tương tự như thước thông thường không có vạch chia, đồng thời vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng này một khoảng bằng chiều rộng của thước.)

M1042. Lớp học được giới hạn trong việc tham quan trên một sợi dây được trang bị lại. Tất cả các loại đội có thể bao gồm học sinh của lớp này (của một, hai, v.v. người, ngoại trừ đội của cả lớp) nên tham gia chuyến tham quan mỗi lần. Chứng minh những gì mỗi đội sẽ làm với một đội bao gồm tất cả các học sinh khác trong lớp.

I. I. Grinichuk

M1043. Có thể chia tập hợp tất cả các số nguyên thành ba tập con sao cho với bất kỳ số nguyên n nào, các số n-50, n+1987 đều thuộc ba tập con khác nhau không?

S. V. Konyazin

M1044. Chứng minh rằng từ bốn số luôn có thể chọn được hai số x và y, đồng thời

$$0 \leq \frac{x-y}{1+xy} \leq 1.$$

I. I. Sergeyev

M1045. Ở một vương quốc, một bang nào đó, lãnh thổ có hình vuông có cạnh 2 km, nhà vua quyết định mời tất cả cư dân đến cung điện của mình để dự vũ hội trước 7 giờ tối. Để làm điều này, vào buổi trưa, anh ta gửi một người đưa tin với lệnh có thể chuyển bất kỳ gợi ý nào cho bất kỳ cư dân nào, người này có thể chuyển bất kỳ gợi ý nào cho bất kỳ cư dân nào khác, v.v. Mỗi cư dân cho đến khi gợi ý đến đều ở nhà (ở một địa điểm đã biết) và có thể truyền với tốc độ 3 km/h theo bất kỳ hướng nào. Chứng minh rằng nhà vua có thể hạn chế thông báo để tất cả cư dân có thời gian đến đầu vũ hội.

S. V. Konyazin

F1053. Trong một đường ống mỏng, nhẵn, một sợi dây đồng nhất mềm dẻo (hình 1) trượt (trong trường lực và trọng lực). Các đoạn AB và BC của đường ống là hình bán nguyệt bán kính R, các điểm A, B, C nằm trên cùng một phương thẳng đứng; chiều dài dây l=2πR. Tìm tất cả các điểm của dây tại đó lực căng bằng 0 tại thời điểm đầu dưới của dây ở điểm C.

Tôi. Yu. Poteryak

F1054. Hai thanh có hình dạng giống nhau được làm bằng vật liệu có đặc tính đàn hồi khác nhau - mô đun Young của vật liệu bằng với sự tương ứng của E₁ và E₂. Các thanh được dán lại với nhau ở các đầu và sơn cùng một loại sơn để mẫu thu được trông giống như một thanh đồng nhất. Mô hình Young nào về “chất” của thanh này sẽ được sửa đổi bởi một người thí nghiệm không biết thanh đó cấu thành gì?

V. A. Davydov

23

Chúng tôi đã xuất bản các bài toán về cuộc thi của Kvant hàng tháng kể từ số đầu tiên của tạp chí của chúng tôi. Đây là những vấn đề không chuẩn, nhưng cách giải của chúng không đòi hỏi thông tin nào nằm ngoài phạm vi giáo trình trung học của Liên Xô. Những bài toán khó hơn được đánh dấu sao (*). Sau khi trình bày vấn đề, chúng ta thường chỉ ra ai đã đề xuất vấn đề đó cho chúng ta. Không cần phải nói cũng biết rằng không phải tất cả những vấn đề này đều là những ấn phẩm đầu tiên. Giải pháp cho vấn đề này (bằng tiếng Nga hoặc tiếng Anh) có thể được đăng không muộn hơn ngày 1 tháng 8 năm 1987, tới địa chỉ sau: Liên Xô, Moscow, 103006. Moscow K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant». Vui lòng gửi lời giải của các bài toán vật lý và toán học, cũng như các bài toán từ các bài toán khác nhau, dưới bìa riêng; trên phong bì ghi dòng chữ: “VẤN ĐỀ CỦA KVANT” và số của tất cả các bài toán đã giải được; trong thư của bạn hãy kèm theo một phong bì ghi sẵn địa chỉ và không dán tem - chúng tôi sẽ sử dụng nó để gửi cho bạn kết quả chỉnh sửa. Nếu bạn có vấn đề ban đầu cần đề xuất xuất bản, vui lòng gửi cho chúng tôi dưới bìa riêng, thành hai bản.

F1055. Thiết bị điện P được nối vào mạng điện xoay chiều có hiệu điện thế 220 V thông qua tụ điện em có C = 0,5 μF (hình 2). Ampe kế hiển thị dòng điện I=0,01 A, số chỉ vôn kế là U=180 V. Tìm công suất tiêu thụ của thiết bị từ mạng. Hãy coi ampe và vôn kế là lý tưởng.

A. R. Zilberman

F1056. Trong mạch hiển thị ở hình 3, phím K₃ trước tiên được đóng và các phím K₁ và K₂ được mở. Tại một thời điểm nào đó, khóa K₁ bị đóng và thời gian trống t₁=0,1 s được đóng 吻 K₂. Sau một thời gian nữa t₂=0,2 s, 吻 K₃ được mở. Tìm: 1) điện áp cực đại trên tụ điện; 2) dòng điện chạy qua cuộn dây L₁ sau thời gian t₃=1 s sau khi đóng 吻 K₁. Bỏ qua điện trở của dây dẫn, coi diode là lý tưởng; L₁=1 H, L₂=0,5 H, C=10 µF, U₀=10 V.

A. R. Zilberman

F1057. Một quả tạ gồm hai quả cầu có khối lượng m, mỗi quả đóng ở hai đầu của một thanh nhẹ có chiều dài 2b, được treo ở vị trí nằm ngang trên hai sợi dây không giãn có chiều dài l, khoảng cách giữa chúng là 2a (hình 4). Tìm chu kỳ của quả tạ tròn nhỏ.

M. M. Tsypin

Problems

M1041 — M1045; P1053 — P1057

M1041. Let a) four, b) three vertices of a regular pentagon in the plane be given. Construct the other vertices by means of a two—sided ruler. (A two—sided ruler does anything a one—sided unmarked ruler can do and can also be used to draw a line parallel to a given one at the distance equal to the ruler’s width.)

M. I. Grinchuk

M1042. A tug-of-war competition is organized among the pupils of a certain class. Every possible team which can be made up of one, two, etc. pupils (but not the entire class) must participate exactly once. Prove that each team will compete against the team consisting of all the other pupils of the class.

I. N. Sergeev

M1043. Can the set of all integers be partitioned into three subsets so that for any integer n the numbers n, n−50, n+1987 will belong to three different subsets?

S. V. Konyagin

M1044. Prove that out of any four positive numbers it is always possible to choose two numbers x and y such that

$$0 \leqslant \frac{x-y}{1+xy} \leqslant 1.$$

I. N. Sergeev

M1045. Once upon a time the King of a small square Kingdom of side 2 km decided to invite all his subjects to a Ball at the Court at 7 PM. At noon he dispatched a Messenger who could transmit any message to any inhabitant of the Kingdom, who in turn could transmit any message to any other inhabitant, etc. Each inhabitant stays at his house (whose location is known) until he gets a message and then walks at 3 km per hour in the required direction. Prove that the King could have organized the transmission of messages so that all his loyal subjects could reach the Court in time for the Opening of the Ball.

S. V. Konyagin