Đúng lời giải hình học bài toán

50

Đúng lời giải hình học bài toán

Ứng viên khoa học sư phạm
E.G.GOTMAN

Như đã biết, với lời giải hình học bài toán cần phải xem xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra về sự sắp xếp lẫn nhau của các phần tử của hình. Lời giải bài toán, cho phép nhiều cấu hình khác nhau, sẽ không đầy đủ và sai sót nếu chúng ta hạn chế chỉ xem xét một trong các trường hợp có thể xảy ra. Khi giải bài toán như vậy, điều quan trọng là không được nhầm lẫn phần với tổng.

Các giáo viên trong lớp và các thành viên ban giám khảo Olympic đều mắc lỗi tương tự. Bài toán với cách giải không đầy đủ và sai cũng có thể được tìm thấy trong tài liệu dành cho học sinh.

Hãy để chúng tôi đưa ra một vài ví dụ được chúng tôi lấy từ các bộ sưu tập Olympic khác nhau bài toán.

Bài 1. Viết hình chữ nhật có đường chéo nhỏ nhất vào tam giác ABC này.

Lời giải. Cho hình chữ nhật KLMN nội tiếp trong tam giác ABC sao cho cạnh KL của nó nằm trên đường thẳng BC, các đỉnh M và N nằm trên các cạnh AC và AB (hình 1,a). Gọi AD là chiều cao của tam giác ABC. Hãy dựng tam giác A’B’C’ có góc vuông C’ sao cho các cạnh BC và B’C’ bằng nhau và nằm trên cùng một đường thẳng, sao cho các đường thẳng AA’ và BC song song (hình 1,b). Khi đó A’C’=AD=h.

Chứng minh rằng nếu các hình chữ nhật KLMN và K’L’M’N’ nội tiếp trong các tam giác ABC và A’B’C’ và có chiều cao KN và K’N’ bằng nhau thì các hình chữ nhật này bằng nhau.

Hình 1.

53

2. ở một phía của điểm A (hình 3, 6);
3. một trong số chúng, chẳng hạn, điểm C sẽ trùng với điểm A (tạo hình).
   Nếu điểm C nằm giữa hai điểm A và B (hình 3, 6) thì cát tuyến nội tiếp trong đường tròn không phải là đoạn BC mà là đoạn AB - dây cung của đường tròn!
   Dây có độ dài lớn nhất nếu nó đi qua tâm và bằng đường kính của đường tròn. Vì vậy, bạn cũng nên tìm ra đoạn nào lớn hơn: đoạn thẳng song song với đường thẳng O₁O₂, độ dài của đoạn này bằng 2O₁O₂ (hãy đảm bảo rằng trong tất cả các trường hợp này BC = 2H₁H₂) hoặc đường kính 2R lớn hơn đường tròn (hình 3, 6).
   Kết quả cuối cùng là như sau đáp số:
   nếu O₁O₂ > R thì cát tuyến phải được kiểm tra song song với đường tâm O₁O₂;
   nếu O₁O₂ < R, thì cát tuyến phải được kiểm tra qua tâm của đường tròn lớn hơn;
   nếu O₁O₂ = R thì điều kiện bài toán được thỏa mãn bởi hai đường thẳng, một đường thẳng song song với O₁O₂ và đường kia đi qua tâm của vòng tròn lớn hơn (hình 3, 6).
   Đối với các vòng tròn có cùng bán kính, thu được đáp số tương tự, chỉ trong trường hợp O₁O₂ ≤ R, một đường cay được thêm vào các đường đã chỉ định, đi qua tâm của vòng tròn thứ hai.

Bài tập 3. Vẽ một cát tuyến đi qua giao điểm của hai đường tròn sao cho phần của nó nằm trong hai đường tròn đó là nhỏ nhất.

Như một bài tập, chúng tôi trình bày thêm một số bài toán với “giải pháp” trong đó người đọc được yêu cầu tự tìm ra lỗi.

Bài toán 4. Từ tất cả các tam giác ABC có đáy BC và góc ở đỉnh A cho trước, hãy tìm tam giác có đường trung tuyến lớn nhất kéo về đáy.

“Lời giải”. Cho tam giác ABC đều và A’BC là tam giác tùy ý có chung đáy BC với tam giác ABC và góc A’ bằng góc A (hình 4).
Khi đó điểm A’ nằm trên cung BAC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi tâm của đường tròn này là O và trung điểm của cạnh BC là D. Mediana AD của tam giác đều ABC là trục đối xứng của nó. Do đó, điểm O nằm trên AD và do đó AD=AO+OD. Từ tam giác A’OD ta có A’D<A’O+OD=AO+OD=AD. Điều này có nghĩa là trong tất cả các tam giác ABC có đáy BC cho trước và góc A không đổi ở đỉnh thì tam giác đều có đường trung tuyến lớn nhất.

Bài toán 5. Từ tất cả các tam giác ABC có đáy BC và chiều cao AN không đổi, hãy tìm một tam giác có thể vẽ được đường tròn có bán kính nhỏ nhất xung quanh.

“Lời giải”. Cho tam giác ABC đều có đáy BC và chiều cao AN không đổi, còn A₁BC là tam giác tùy ý có cùng chiều cao, các điểm A và A₁ nằm trên đường thẳng l song song với đường thẳng BC (hình 5). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tiếp xúc với điểm l

54

ke $A$, nghĩa là điểm $A_1$ nằm ngoài vòng tròn này. Do đó, góc $A$ lớn hơn góc $A_1$.

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ được tính theo công thức $R = \frac{a}{2 \sin \hat{A}} (a = BC)$. Và vì $\sin \hat{A} > \sin \hat{A}_1$, đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều có bán kính nhỏ nhất.

Đáp số: tam giác đều có đáy $BC$ và chiều cao đã cho.

Bài toán 6. Các đường cao của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $H$. Được biết, $CH = AB$. Tìm góc đỉnh $C$.

“Lời giải”. Gọi $BD$ và $CE$ là đường cao của tam giác $ABC$ (hình 6). Vì các tam giác $ABD$ và $CDH$ có cạnh huyền bằng nhau ($AB = CH$) và các góc nhọn bằng nhau ($\angle ABD = 90^\circ$ - $\angle BAC = \angle ACE$) nên chúng bằng nhau. Vì vậy $BD = CD$. Điều này có nghĩa là tam giác vuông $BCD$ là tam giác đều, do đó $\angle ACB = 45^\circ$.

Bài toán 7. Xác định diện tích hình thang khi biết hai đường chéo là 17 cm và 113 cm và có chiều cao là 15 cm.

“Lời giải”. Giả sử $ABCD$ là một hình thang cho trước, $CH$ chiều cao của nó (hình 7). Hãy vẽ $CB' \parallel BD$ đến giao điểm với $AB$ tại điểm $B'$. tứ giác

Từ lịch sử
(Để bắt đầu, xem trang 34)

những con số. Với các phân số, chúng đại diện cho chiều cao đối với các thương gia, nghệ nhân cũng như đối với người làm đất, nhà thiên văn học và thợ cơ khí. Nhưng người đi theo cũ đang phẫn nộ: “Đuổi thiên nhiên ra khỏi cửa, nó sẽ vào qua cửa sổ.” Vì vậy, có thể nói, các tác phẩm Dobi tích hợp của người Hy Lạp đã thâm nhập “từ cửa sau”. Ngoài số học và hình học, toán học Hy Lạp còn có… âm nhạc. Người Hy Lạp gọi âm nhạc là một phần của phép tính liên quan đến các mối quan hệ và tỷ lệ.

Tại sao lại có cái tên lạ như vậy? Thực tế là người Hy Lạp cũng đã tạo ra lý thuyết khoa học về âm nhạc. Họ biết: đất nước càng kéo dài thì âm thanh phát ra càng thấp, “dày”. Họ biết rằng một đất nước ngắn tạo ra một âm thanh cao. Nhưng mỗi nhạc cụ không phải có một mà là nhiều dây. Để tất cả các dây phát ra âm thanh “đồng điệu” khi chơi, vừa tai, độ dài các bộ phận phát âm của chúng phải theo một tỷ lệ nhất định. Ví dụ: để cao độ của âm thanh do hai quốc gia tạo ra khác nhau một quãng tám, độ dài của chúng phải theo tỷ lệ 1:2. Tương tự như vậy, lượng tử tương ứng với tỷ lệ 2:3, một lít - tỷ lệ 3:4, v.v. Do đó, học thuyết về tỷ lệ, phân số và mối liên hệ giữa người Hy Lạp và âm nhạc.

Hệ thống viết dobe hiện đại với tử số và mẫu số đang được tạo ra ở Ấn Độ. Họ chỉ viết mẫu số ở trên, tử số ở dưới chứ không viết một dòng như vậy. Và người Ả Rập bắt đầu viết dobi giống hệt như bây giờ.