Kvant
Trường học trong Kvant

Trường học yêu thích bài toán

Курляндчик Л. Д., Фукс Д. Б.

Kvant 1987, số 5tr. 49Thẻ 3JMS

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

49

ở đâu k=1,2,...,N−1k=1, 2, ..., N-1; P(0)=1P(0)=1, P(N)=0P(N)=0. Các điểm Mk(k;P(k))M_k(k; P(k)) như thế nào và k=0,1,...,Nk=0,1, ..., N nằm ở đâu? Đáp số cho câu hỏi đầu tiên: P(k)>1−k/NP(k) > 1-k/N. Để trả lời câu hỏi thứ hai, bạn có thể hoán đổi prolistas và cypolilinos. Chứng minh rằng đáp số cho số P(N−k)−k/NP(N-k) - k/N.

Bài tập 8. Một số thanh giằng như trong Hình 7 a)—2). Tại điểm 1 có một con sâu bướm. Điểm A và B được bôi keo. Con sâu chuyển động tuân theo định luật sau. Nếu nó chạm vào điểm A hoặc điểm B thì nó dính vào điểm đó. Nếu cô ấy đang ở một trong các điểm (trừ A và B) mà từ đó m thanh thoát ra, thì cô ấy chọn một trong các thanh này với xác suất 1/m và bay đến đầu của nó, rồi tiếp tục như mô tả. Xác suất để con sâu bám vào điểm A là bao nhiêu?

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

  1. Giải hệ phương trình
    {x2+xy+y2=7,x2+xz+z2=21,y2+yz+z2=28.\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7, \\ x^2 + xz + z^2 = 21, \\ y^2 + yz + z^2 = 28. \end{cases}

  2. Chứng minh rằng các đường tròn dựng trên các cạnh của một tứ giác lồi cũng như đường kính bao phủ tứ giác này.

  3. Một cấp số biến phân gồm các số tự nhiên có số hạng kết thúc bằng số 3 nhưng không có số hạng kết thúc bằng số 5. ​​Nó có số hạng kết thúc bằng số 7 không?

  4. 870 tấn khối đá granit cần được di dời khỏi mỏ đá. Chứng minh rằng nếu mỗi khối nặng không quá 8 tấn thì 17 sàn, mỗi sàn có sức chở 58 tấn là đủ để vận chuyển.

  5. Chứng minh rằng có vô số số nguyên là số chính phương hoàn hảo và giữ nguyên số đó sau khi thêm một đơn vị vào bên phải (theo ký hiệu thập phân).

lớp chín
6. Các số x,y,zx, y, z thỏa mãn các tương ứng x+y+z=ax+y+z=a, 1x+1y+1z=1a\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}. Chứng minh rằng ít nhất một trong các số x,y,zx, y, z bằng aa.

  1. Chia số 1987 cho tổng các số tự nhiên sao cho tích của các số này là lớn nhất.

  2. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy các điểm A1,B1,C1A_1, B_1, C_1 sao cho BA1:A1C=CB1:B1A=AC1:C1B=1:2BA_1:A_1C=CB_1:B_1A=AC_1:C_1B=1:2. Khi các đoạn AA1,BB1,CC1AA_1, BB_1, CC_1 giao nhau, một hình tam giác sẽ được hình thành. Tìm tỉ số diện tích của tam giác này với diện tích của tam giác ABC.

  3. Trên các cạnh của một tam giác tùy ý, các tam giác đều được dựng hướng ra ngoài làm đáy. Chứng minh rằng tâm của chúng là ba đỉnh của một tam giác đều.

  4. đa thức
    a) ax2+bx+cax^2+bx+c,
    b) ax3+bx2+cx+dax^3+bx^2+cx+d
    nhận một giá trị nguyên cho bất kỳ số nguyên nào xx. Các hệ số của nó có thể là bao nhiêu (ví dụ: chúng có phải là số nguyên không)?

lớp mười
11. Giải hệ phương trình
{x=y2+ay+b,y=x2+ax+b.\begin{cases} x=y^2+ay+b, \\ y=x^2+ax+b. \end{cases}

  1. Chứng minh đẳng thức 20+1423+20−1423=4\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4.

  2. Hình tam giác nào đặt trong một hình tròn nhất định có chu vi lớn nhất?

  3. Cho một số số dương, tổng của chúng bằng 3 và tổng bình phương của chúng bằng 1. Chứng minh rằng trong số các số này có thể tìm thấy ba số có tổng không nhỏ hơn 1.

  4. Chứng minh rằng tổng các góc của một tứ giác không phẳng trong không gian nhỏ hơn 360°.

Ấn phẩm đã được chuẩn bị
L. D. Kurlyandchik và D. V. Fuks