Избранные школьные задачи

49

где $k=1, 2, ..., N-1$; $P(0)=1$, $P(N)=0$. Как расположены точки $M_k(k; P(k))$, где $k=0,1, ..., N$? Ответ на первый вопрос: $P(k) > 1-k/N$. Чтобы ответить на второй вопрос, можно поменять местами пролисты и циполилино. Покажите, что ответ дает число $P(N-k) - k/N$.

Задание 8. Несколько прутков связи так, как показано на рисунках 7 a)—2). В точке 1 сидит гусеница. Точки A и B смазаны kleем. Гусеница движется по следующему закону. Если она попадает в точку A или в точку B, то в этой точке приклевается. Если она находится в одной из точек (отличных от A и B), из которой выходит m прутков, то она выбирает один из этих прутков с вероятностью 1/m и полет до его конца, а дальнейшее действия, как описано. С какой вероятностью гусеница коэффицирует приклеется в точке A?

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 7, \\ x^2 + xz + z^2 = 21, \\ y^2 + yz + z^2 = 28. \end{cases}$$

2. Докажите, что круги, построенные на сторонах выпukлого четырехугольника, как на диаметрах, покрывают этот четырехугольник.

3. Варифметический прогрессии, составленной из натуральных чисел, есть член, оканивающийся цифрой 3, но нет член, оканивающегося цифрой 5. Есть ли в ней член, оканивающийся цифрой 7?

4. Из карьера нужего вывести 870 т гранитных глыб. Докажите, что если каждая глыба весит не более 8 т, то для перевозки достагоно 17 платформ, грузоподъемностью 58 т каждой.

5. Докажите, что существует бесконечного много целых чисел, которые являются точными квадратами и остаются таковыми после приписывания к ним справа единиццы (в десятичной записи).

Девятый класс
6. Числа $x, y, z$ удовлетворяют соответствиям $x+y+z=a$, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{a}$. Докажите, что по крайней мере одно из чисел $x, y, z$ равно $a$.

7. Разложите число 1987 в сумму натуральных чисел таким образом, чтобы произведение этих чисел было максимальным.

8. На сторонах BC, CA, AB треугольника ABC взяты точки $A_1, B_1, C_1$ такие, что $BA_1:A_1C=CB_1:B_1A=AC_1:C_1B=1:2$. При пересечении отрезков $AA_1, BB_1, CC_1$ образуется треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади треугольника ABC.

9. На сторонах произвольного треугольника как на основании построены во внешнюю сторону равносторонние треугольники. Докажите, что их центры являются вершинами равностороннего треугольника.

10. Многочлен
    a) $ax^2+bx+c$,
    b) $ax^3+bx^2+cx+d$
    принимает при любом целом $x$ целое значение. Какими могут быть его коэффициенты (например, обязаτεло ли они являются целыми)?

Десять класс
11. Решите систему уравнений
$$\begin{cases} x=y^2+ay+b, \\ y=x^2+ax+b. \end{cases}$$

12. Докажите равенство $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}=4$.

13. Какой из треугольников, высанны в данную окружность, имеет наиболее перimetр?

14. Данны несколько положительных чисел, сумма которых равна 3 и сумма квадратов которых равна 1. Докажите, что среди этих чисел найдет три, сумма которых не меньше 1.

15. Докажите, что сумма углов пространственного неплоского четырехугольника меньше 360°.

Публикацию подготовили
Л. Д. Курляндчик и Д. В. Фукс