34
ИЗ ИСТОРИИ ДРОБЕЙ
Доктор физико-математических наук
Н. Я. ВИЛЕНКИН
Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя название всех следующих дробей связаны с названием их значенателей (tri — «треть», четыре — «четверть» и т. д.), для половины это не так — ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть. Эти и некоторые другие дроби встречались в древнейших дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, — древнегипетских пapiруcas и вавилонских клипописных табличках. И у египтян, и у вавилонян были специальные обозначения для дробей 1/3 и 2/3, не совпадали с обозначениями для других дробей.
Египтане все дроби старались записать как суммы долей, т. е. дробей в да 1/n. Единственным исключением была дробь 2/3. Например, вместо 8/15 они писали 1/3+1/5. Иного это бывало удобно. В пapiрусе, написанном египетским писом Ахмесом, есть задача: разделить семь хлебов между восемью люdbми. Если резать каждый хлеб на 8 части, придется сделать 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2+1/4+1/8. Теперя ясно, что надо 4 хлеба разрезать пополам, 2 хлеба на 4 части и только один хлеб — на 8 части (всего 17 разрезов).
Но складывать записанные в виде долей дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтане не до-
35
пускали. Позотому папирус Ахмеса начинается с таблицы, в котором все доби вида 2/n, от 2/5 до 2/99, записаны в виде сумм долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление целых чисел. Вот, например, как делили 5 на 21:
Умели египтане также умножать и делить доби. Но при умножении приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Еще сложнее обстоятель дело с делением.
Совсем иным путем пошли вывилоняне. Дело в том, что система числения в Вывилоне была шестдесятричной — каждая единица следующего разряда была в 60 раз больше предыдущего. Вывилер, записы 14″ 42′ 38 означала число 14·60²+42·60+38, т. е. в нашей записи число 52958 (только вывилоняне пользовались не нашими цифрами, а другими обозначениями, составленных из клинцев). Поэтому и доби были у вывилоняне не десятичными, а шестдесятричными. По сути делала мы и сейчас пользовался таким добями в обозначениях времени и величины углов. Например, время 3 ч 17 мин 28 с можно записать и так: 3,17′28″ ч (читается 3 целых, 17 шестдесятных 28 три тысяч шестисотных часа). Вместо слов «шестдесятные доли», «три тысяч шестисотные доли» говорили короче: «первые малые доли», «вторые малые доли». От этого и произошли наши слова «минута» (по латыни «менышая») и «секунда» (по латыни «вторая»). Так что вывилонский способ обозначения добей сохранил свое значение до сих пор.
Не все доби можно изобразить в виде конечных шестдесятричных, как и все доби записьвали в виде конечных десятичных. Например, доби вида 1/7, 1/11, 1/13 не могут быть записаны в шестдесятричной форме. Но их можно с любой степенью