Московское высшее техническое училище им. Н. Э. Баумана

57

3. Имеются два сплава золота и серебра. В первом сплава количество этих металлов находится в отношении 3:2, в другом — в отношении 2:3. Сколько граммов нужно взять от каждой сплава, чтобы получить 24 г нового сплава, в котором золото и серебро находится в отношении 5:7?

4. Найдите все корни уравнения
   $$\cos 2x - \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + 1 = 0,$$
   лежащие на отрезке $\left[ 0; \frac{\pi}{2} \right]$.

5. В конус виссан шар. Найдите объем конуса, если радиус шара равен $R$, а угол между высотой и образующей конуса равен $\alpha$.

Вариант 2

1. Упростите выражение
   $$\left( \frac{\sqrt{a} + \sqrt{3}}{9 a} - \frac{\sqrt{a} - \sqrt{3}}{9 a} - \frac{\sqrt{3}}{9 a} - \frac{\sqrt{3}}{9 a} \right)^3 \times (0,1)^{3 \lg 3}.$$

2. Найдите область определения функции $f(x) = \sqrt{\frac{(x-1)(x+2)}{lg 0,8}}$.

3. В 12 часов из городов $A$ и $B$ выехали настручу друг другу с постоянными скоростями, соответственно, легковая и грузовая машины. В пути от $B$ до $A$ грузовая машина остановилась более чем на час для нагрузки, после чего, продолжив движение с прежней скоростью, встретилась с легковой машиной в 14 ч 12 мин. Определите время прибития грузовой машины в город $A$, если известно, что скорость грузовой машины меньше, чем скорость легковой машины, и что каждая машина на пути от $A$ до $B$ затрачивает целое число часов.

4. Найдите все корни уравнения
   $$\left( \frac{\cos \frac{9 \pi}{4}}{\cos x} \right)^{-2} - \cos (\pi - 4x) = 0,$$
   лежащие на отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{2 \pi}{3} \right]$.

5. В прямогольной трапеции длины основной равны 5 см и 15 см, а острый угол равен $\alpha$. Найдите площадь трапеции.

Физика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Электрическое поле. Наприженность электрического поля. Наприженность поля точного заряда. Оdnородное электрическое поле. Работа перемещения заряда в электрическом поле.

2. Почему при включении электропреательного прибора величины тока в первый момент больше величины, которая устанавливается спустя некоторое время?

3. На каком расстоянии от тонкой рассеяющей линии надо помещить предмет, чтобы получить изображение, уменьшенное в $n=2$ раза? Фокусное расстояние линии $F=40$ см.

4. С объема высотой $H=15$ м вертикально вниз бросают камень со скоростью $v_0=3$ м/с. Через какое время камень удирать о землю? Сопротивлением воздуха пребегнуть?

5. Виток проводки площадью $S=0,4$ см² равномерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией $B=0,7$ Тл. Определите амплитудное значение ЭДС индукции, если частота вращения витка $n=100$ об/с. Ось вращения находимся в плоскости витка и составляет угол $\alpha=45^\circ$ с направлением вектора магнитной индукции.

Вариант 2

1. Взанмодействие тел. Второй закон Ньютона. Применение второго закона Ньютона к движению тела по наклонной плоскости при наличии треня.

2. Почему человек в лесу легче улыбать, чем увидеть?

3. При температуре $t_1=27^\circ C$ давление газа в замкнутом состоянии было равно $p_1=3 \cdot 10^5$ Pa. Какой будет температура при давлении $p_2=2,5 \cdot 10^5$ Pa?

4. Сила тока в первичной обмотке трансформатора $I_1=0,5$ А, направление на ее концах $U_1=220$ В. направление на концах вторичной обмотки $U_2=40$ В. Определите коэффициент трансформатии и ток во вторичной обмотке. Потерями в трансформаторе пребегнуть.

5. В каком диапазоне длин волны может работать радиоприменик, если индуктивность катушки в его колбательном контрете плаваю изменяется в пределах от $L_1=0,2 \cdot 10^{-5}$ Гн до $L_2=2 \cdot 10^{-5}$ Гн, а емкость конденсатора постоянна и равна $C=50$ пФ?

Публикации подготовили А. А. Волотов, Ф. Е. Пашуканис

Московское высшее техническое училище им. Н. Э. Баумана

Matematika
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Бассейн, содержащий 30 м³ воды, сначага был опоржен, а затем снова заполнен до прежнего уровня. На все это потребовалось 8 часов. Сколько времени шло заполнение бассейна, если при заполнении насос перекачается в час на 4 м³ воды меньше, чем приопорнения?

2. Решите уравнение
   $$\sin 3x + \sin 2x + \sin x = 0.$$

3. Решите уравнение
   $$16^{\frac{1}{x}} - 20 \cdot 2^{\frac{2-2x}{x}} + 4 = 0.$$

4. Решите неравенство
   $$x \log_2(x + 2) > 0.$$

5. Середина бокового ребра правильной треугольной прямой находится на расстоянии $d$ от высоты основания, не пересекающей это боковое ребро. При какой длине стороны основания прямой она будет иметь наиболее плоскую площадь боковой поверхности? Найдите это значение площади.

Вариант 2

1. Вычислите площадь треугольника, ограниченного касательными, проведенными к графику функции
   $$y = 5 + 2x - x^2$$

58

в точках с абсциссами $x_1=1$ и $x_2=3$, и пря-
мой, соединяющей эти точки касания.

2. Решите уравнение
   $$\sin^2 2x + \sin^2 x = 1.$$

3. Решите уравнение
   $$\frac{3}{5^x - 2} = 5^{x-1}.$$

4. Решите неравенство
   $$\frac{1}{1-\lg x} < \frac{2\lg x - 5}{1+\lg x}.$$

5. Одно основание правленой шестиуголь-
   ной призмы, все ребра которой равны $h$, при-
   надлежит основанию правленой шестиуголь-
   ной призмы, а вершины другого основания
   лежаат на боковых ребрах призмы. При ка-
   кой высоте призмы объемисанного в нее
   шара будет наиболее? Найдите это значение объема шара. Определите также отношение объемов призмы и шара.

Физика
Задача устного экзамена

1. Снаряд разрывается в верхней точке своей траектории на высоте $h=320$ м на две части, массы которых относятся, как 1:2. Через $\tau=4$ с после разрыва более тяжелая часть падает на землю под тем местом, где произойдет взрыв. На каком расстоянии от места выстрела упадет более легкая часть снаряда, если тяжелая упала на расстоянии $s=1200$ м? Сопротивлением воздуха пренебечь.

2. В водоеме укреплена вертикальная труба с поршнем так, что нижний конец ее погружен в воду. Поршень, лежавший в начале на поверхности воды, медленно поднимают специальным устройством на высоту $H=15$ м. Какую работу при этом совершает устройство? Площадь поршня $S=10^{-2}$ см²; атмосферное давление $p_0=10^5$ Pa; плотность воды $\rho=10^3$ кг/м³; массой поршня можно пренебечь.

3. Два одинаковых шарика связываны неевосимой нитью, перекиниют через неевосимый блок, причем один из шариков погружен в соуд с жидкостью. С какой установившейся скоростью будут движаться шарики, если известно, что установившая скорость падения одиночного шарика в той же жидкости равна $v_0$? Считать, что сила сопротивления движению шарика в жидкости пропорциональна его скорости; плотность жидкости $\rho_0$; плотность материалов шариков $\rho$; трене в блоке можно не учитывать.

4. Газ, занашивающий при давлении $p=10^5$ Pa объем $V=0,1$ м³, изобарно расширяется. При этом его абсциссная температура увеличилась в 2 раза, а внутренняя энергия изменилась на $\Delta U=26$ кДж. Какую массу угля необходимо было сжать для этого, если на нагревание газа было затрачно $\eta=20\%$ количество теплоты, выделившегося при сторании? Удельная теплота сторания улы $q=30$ МДж/кг.

5. Шарик массой $m=2$ г и зарядом $q=10^{-6}$ Кл, подвешенный на диэлектрической нитей длиной $l=1$ м, совершает колебания в вертикальной плоскости. В плоскости колебаний создано одноподное горизонтальное электростанческое поле. Угол, образуемый крайними полежениями нитей при колебаниях, составляет $2\alpha=90^\circ$, а угол между вертикальным полеможеная $\beta=15^\circ$. Определите разность потенциалов между крайними точками траектории шарика.

6. Какое количество теплоты выделится на резисторе после замыкания ключа (рис. 1)? Внутренним сопротивлением источника, сопротивлением проводов и потерями, связанным с электромагнитным излучением, пренебечь.

7. Электрон влагает в одноподное магнитное поле (рис. 2). В точке $A$ он имеет скорость $v$, которая составляет с направлением поля угол $a$. При каком направлении значения индуктивности магнитного поля электрон сможет оказаться в точке $C$? Электрона $e$, его масса $m$, расстояние $AC=L$, вектор $\vec{v}$ и отрезок $AC$ лежат в плоскости, параллельной полю.

8. На плоскопараллельную стеклянную пластинку под углом $a$ падает параллельный пучок света шириной $l$, содержащий две спектральные компоненты с длинами волн $\lambda_1$ и $\lambda_2$. Показатель предположения стека для этих длин волн различны и равны $n_1$ и $n_2$ соответственно. Определите минимальную толщину пластинки, при которой свет, проидя пластинку, будет распространяться в виде двух отдельных пучков, какый из которых содержит только одну спектральную компоненту.

9. На расстоянии $d=80$ см от рассеивающей линия с фокусным расстоянием $F=20$ см на ее главной оптической оси находится точный источник света. Линзу перевинили в направлении, перpendикулярном оптической оси. Определите, куда и на сколько надо перевинить источник, чтобы его изобравнение оказалось на предмет месте.

10. В результате реакции слияния ядер дейтерия и трития образуется новое ядро и нейtron. Пренебрега различим масс покоя протона и нейtron, определяете, какую часть выделившейся при реакции энергии уночит нейtron? Кинетическая энергия ядер дейтерия и трития до реакции не учитывать.

Публикацию подготовили А. Г. Андреев, Л. П. Парше