Физика музыкальной гармонии

Квант 1987, №5 с. 41, 43 Тег VUF3

суммарной скорости $\vec{v}$ и не совершает работы. Составляющая $\vec{F}_2$ представляет собой стороны сили, вызывающий появление тока в обмотке якоря. Она совершает положительное работу $A_2$ . ЭДС генератора $\delta_i = A_2/e$ . Другая составляющая $\vec{F}_1$ направлена против движения проводника. Она совершает отрицательную работу $A_1$ и тгорозит врашение якоря. Обе работы равны по модели и противоположны по знаку. Якорь не оставливается, несмотря на тормозящую силу $\vec{F}_2$ , благодаря действию внешних сил стороны двигается, врашающего якорь. Именно положительная работа внешних сил компенсирует отрицательную работу силы $\vec{F}_1$ , и врашение якоря продолжается непрерывно.

Чем больше потребитель включено в цепь генератора, тем больше должа быть сила тока в якоре для поддержания на выходе генератора неизменного напряжения. Соответствие, больше будет сила $\vec{F}_1$ , тормозящая якорь, и для поддержания номинального режима работы генератора потребуется больше мощность двигаателя. Таким образом, включая без нужды обживенную электрическую лампочку, мы заставляем двигаатель, врашающий якорь генератора, развивать чуть больше мощность.

Г. Я. Мякище

Вы знаете, что звуки, окружающие нас, есть не что иное, как колбания давления и плотности воздуха. Среди всего многообразия звуков неокоторые оказывают на человека сильное эмциональное воздействие. Это — звуки музыкальные. Объяснить их особое взаимодействие с мозгом только физическим принимами, размечется, нельзя. Но можно, говоря словами Пушкин, «поверить алгеброй гармонию».

Согласно дошедшим из древностей преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифогор и его ученики. Ими было установлено, что одинаково натянутые струны, сделанные из одного материала, издают согласие.

Рис. 1. Колбания струны, закрепленной с двух стороны и оттянутой посередине. Какая следующая картина отличается по времени от предыдущего на четверть периода колбаний.

ное музыкальное звучание, если их длины относятся, как небольшие целые числа. Например, если взять две струны, одна из которых вдвое короче другой, то извлекаемые из них звуки оказываются согласными. Музиканты в таком случае говорят, что звуки отличают на октаву, и обозначают их одной нотой: например, «до» первой октавы, «до» второй октавы и т. п.

Послеотрим, с физической точки зрения, как происходит колбания струны с закрепленными концами (рис. 1). Если струну оттянут последение и отпустить, она будет совершать колбания, при которых скорости иускорения всех точек направлены одинаково. *) Такие колбания определяют основной тон звучания струны. Оказывается, частота $v$ основного тона струн, сделанных из одного и того же материалов и натянутых с одинаковой силой, зависит только от их длины $l$ , причем зависит обратно пропорционально: $v \sim 1/l$ . Возможны также и другие колбания струны — с частотой вдвое, второе и т. д. большей, чем частота основного тона. Их называют обертонами.

Но вернемся к музыкальным звукам. Тепер мы можем сказать, что частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т. д. октавах, относятся как 1:2:4:8 … А как следует выбирать музыкальные тоны

)О том, как возникают такие колбания, можно прочитать, например, в замете И. К. Белкина «О музыкальных звуках и их источника» (Квант, 1985, № 9, с. 26). (Примеч. ped.)

ных интервала: основной интервал, или большая секунд, — 1,125 = v₂/v₁ = v₃/v₂ = v₅/v₄ = v₆/v₅ = v₇/v₆ и малый интервал, или малая секунд, — 1,0535 = v₄/v₃ = v₈/v₇. Пифагорыоны тонны соответствуют большим клавишам клавиатуры, а черные клавиши размещены как раз между теми белыми, где оказывается большой интервал.

К сожалению, оказывается, что ширина двух малых интервалов — 1,0535 × 1,0535 = 1,110 (поскольку интервалы есть отношения частот, то для вычисления большого интервала входящие в него малые надо перемножать, а не складывать) заметно для слуха отличается от большого — 1,125. Поэтому звуки пифагоровой гаммы неравноправны — гамму не удается начать с любой из нет. Чтобы изменить тональность, музыкальный инструмент нужно настроить заново. Для струнных инструментов это сделать нетрудно, но организ, который состоит из множества труб — каждая для своего звука, настраивают при его создании.

Несмотря на это неудобство, пифагова гамма (наряду с другими типами музыкальных рядов) прослужла музыкантом более двух тысяч лет — до XVI века. Затем получила распространение так называемая диотичческая гамма, которая была построена на частотах, составленных из отношений чисел 2, 3 и 5. Но и она страдала аналогичным недостатком.

Только к дальнейшему усвоению инструментного музыкального строя, возникло, опять стали физические исследования. Францз М. Мерсенн (1588—1648) установил, как зависит частота колебаний структу не только от ее длины, но и от силы натяжения, секунды структу и плотности материалов, из которой она сделана. Вскоре после этого было изобретено фортепиано — инструмент, в котором структу настроены на последовательные музыкальные тонны с частотами от 27,5 до 3520 Гц, охватывающие 7 октав.

Примерно в то же время был создан так называемый хорошего темперарованный строй, то есть хроматическая гамма, в которой все последовательные интервалы выбранны между собой (рис. 3). Ключом к ее созданию стало математическое совпадение. Оказалось, что степени числа $^{12}/2$ с хорошей точностью совпадает с пифаговыми отношениями (сравните их сами) — хроматическая кванта, например, отличается от пифаговой всего на 0,11 % — такая погрешность неразличима на слух. Поэтому на современных музыкальных инструментах можно играть в любой из 24 тональностей (12 максимых и 12 минимых). То, что при этом можно добиться согласно звучания нерависимо от тональности, доказывает Бах, когда писал свой «Хорошо темперарованный клавир» — 24 предложи и фуги во всех тональностях. Существуют ли физические принципы различия между максимом и минимом, увы, нам неизвестно до сих пор.

А. В. Вялко