Sao lùn trắng là sao kết tinh

9

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cố gắng nói về những gì không thể nhìn thấy trong kính hiển vi hoặc kính thiên văn, nhưng có thể hiểu được bằng những khái niệm khá đơn giản và quen thuộc. Chúng ta sẽ nói chủ yếu về sao lùn trắng và… tụ điện. Tất nhiên, tất cả độc giả «Kvant» đều biết tụ điện là gì. Chắc hẳn độc giả cũng đã nghe nói tới sao lùn trắng. Đây là tên của những ngôi sao rất đặc có khối lượng xấp xỉ Mặt trời của chúng ta, nhưng có bán kính nhỏ hơn Mặt trời vài trăm, thậm chí một nghìn lần. Tất nhiên, chúng ta không thể thấy bên trong sao lùn trắng hoạt động như thế nào. Tuy nhiên, khi nói về một tụ điện phẳng, chúng ta có thể, bằng cách sử dụng các phép tương tự vật lý, biết được dữ liệu và các ngôi sao không giống Mặt trời này được cấu trúc như thế nào.

Một số phép tính đơn giản

Khối lượng của một sao lùn trắng điển hình là $M \sim 2 \cdot 10^{30}$ kg, bán kính của nó là $R \sim 10^{-2} R_\odot$ ($R_\odot = 7 \cdot 10^8$ m là bán kính của Mặt trời). Chúng ta thu được mật độ trung bình của chất tạo nên ngôi sao lùn bằng cách chia khối lượng của ngôi sao cho thể tích của nó: $Q$ hóa ra là $\sim 10^9$ kg/m$^3$.

Nếu chúng ta muốn “tạo ra” một sao lùn trắng từ các nguyên tử riêng lẻ, chúng ta sẽ phải tập hợp chúng thành một đám mây lớn gần “điểm” trong không gian nơi chúng ta muốn “đặt” ngôi sao và nói rằng đám mây này có mật độ lớn hơn khoảng $10^6$ lần mật độ trung bình của hành tinh chúng ta. Ở ngoài không gian, các đám mây phân tử hoặc nguyên tử bị nghiền nát dưới tác dụng của lực hấp dẫn.

Các sao lùn trắng thực sự, theo lý thuyết về cấu trúc và sự tiến hóa của các ngôi sao, chứa rất ít nguyên tố “nặng” hoặc thậm chí không chứa chúng. Để ước tính, chúng ta có thể giả định rằng sao lùn trắng được “xây dựng” từ các nguyên tử giống hệt nhau, có khoảng 10 electron trên mỗi nguyên tử. Trong trường hợp này, khối lượng của nguyên tử $m$ có thể được coi là lớn hơn khoảng 20 lần khối lượng của nucleon, tức là được coi là $m \sim 10^{-26}$ kg. Tất nhiên, sự khác biệt về khối lượng của nucleon (proton và neutron), cũng như khối lượng của electron, có thể bị bỏ qua trong một phép tính sơ bộ. Đây là những giả định hoàn toàn hợp lý và chúng sẽ không thực sự ảnh hưởng đến kết luận mà chúng tôi đưa ra.

Số lượng $n$ hạt nhân nguyên tử trên một đơn vị thể tích có được bằng cách chia $\Omega$ cho $m$. Đối với sao lùn trắng của chúng ta, $n$ hóa ra là $\sim 10^{35}$ m$^{-3}$. Điều này có nghĩa là thể tích không gian trung bình trên mỗi hạt nhân là $\sim 10^{-35}$ m$^3$ và khoảng cách trung bình giữa các hạt nhân là $\sim 10^{-12}$ m. Kích thước của các nguyên tử thông thường vào cỡ $10^{-10}$ m. Vì vậy, chúng tôi đi đến kết luận rằng khoảng cách trung bình giữa các hạt nhân bên trong một sao lùn trắng nhỏ hơn hàng trăm lần so với kích thước của những nguyên tử mà từ đó chúng tôi “bắt đầu tạo nên” ngôi sao. Rõ ràng là ở mật độ cao, nguyên tử với tư cách là một hệ “electron + hạt nhân” không tồn tại.

Trong quá trình quét, tất cả các electron bên trong sao lùn trắng đã bị “tách ra” khỏi hạt nhân của chúng và tạo thành chất lỏng điện tử. Các hạt nhân (có thể được gọi là “hạt nhân” trong trường hợp này) hoạt động như thế nào? Có hai khả năng đối với chúng: chúng “bơi” trong “biển điện tử”, giống như các hạt lơ lửng trong chất lỏng, hoặc chúng tạo thành một mạng tinh thể trong đó chất lỏng điện tử “xơ” - khi đó hệ hạt nhân và electron có cấu trúc tương tự như các kim loại thông thường.

Khả năng triển khai nào ở trên thực sự tồn tại? Sao lùn trắng có phải là chất lỏng không? hay tinh thể?

Mục tiêu của chúng tôi là làm rõ vấn đề này. Và, điều đáng ngạc nhiên là thoạt nhìn có vẻ như một tụ điện phẳng sẽ giúp ích cho chúng ta.

Tụ điện phẳng và tần số plasma

Sự kết hợp giữa các electron và hạt nhân bên trong sao lùn trắng tạo thành một hệ plasma, tương tự như plasma ở bên trong Mặt trời hoặc plasma được hình thành trong quá trình phóng khí nói chung. Điểm chung của những hệ thống này là sự cùng tồn tại của các hạt dương và âm, sự tương tác giữa chúng là do lực Coulomb gây ra. (Về việc plasma ở các sao lùn trắng khác biệt đáng kể như thế nào so với hệ thống điện tích Coulomb cổ điển -

10

dov có dấu trái ngược nhau, chúng ta sẽ nói chuyện sau.) Nói chung, hệ thống plasma trung hòa về điện. Điều gì sẽ xảy ra nếu tính trung hòa điện bị vi phạm trong một vùng nhỏ nào đó của không gian?

Chúng ta hãy xem xét một phần tử thể tích bị chiếm giữ bởi plasma giữa hai mặt phẳng. Đầu tiên, chúng ta hãy thảo luận về trường hợp đơn giản khi điện tích dương và âm trong huyết tương có giá trị tuyệt đối bằng nhau. Đặt diện tích của mỗi địa điểm là $S$ và khoảng cách giữa chúng là $d$. Chúng ta sẽ coi điện tích hạt bằng $\pm e$ và nồng độ của chúng bằng $n_e$. Giả sử rằng chúng ta có thể tách các điện tích trong tập này và đặt tất cả các điện tích dương trên một miếng đệm và tất cả các điện tích âm trên miếng kia. Về cơ bản, chúng tôi đã tạo ra một tụ điện bản song song tích điện. Rõ ràng giá trị tuyệt đối của điện tích trên các bản của tụ điện này là $Q=n_eeSd$, và hướng của điện trường trong nó là $E=Q/\varepsilon_0S=n_eed/\varepsilon_0$.

Kết quả là hỗn hợp tương đối của phần có điện tích trái dấu là $d$. Điện trường xuất hiện trong quá trình trộn có thể được ước tính bằng công thức trên đối với tụ điện. Lực tác dụng lên một hạt là $eE=n_ee^2d/\varepsilon_0$; chia lực này cho khối lượng của hạt $m$, chúng ta thu được gia tốc của nó: $n_ee^2d/\varepsilon_0m$. Xin lưu ý: lực và gia tốc của một hạt tỷ lệ thuận với độ dịch chuyển của nó và chúng có hướng sao cho khôi phục lại trạng thái cân bằng. Nhưng điều này có nghĩa là hạt sẽ thực hiện một dao động điều hòa, và chúng ta có thể nói ngay phần nào của những dao động này sẽ là:

$$\omega_0^2 = \frac{n_ee^2}{\varepsilon_0m}.$$ (*)

Dao động có tần số $\omega_0$ được gọi là tĩnh điện, Langmuir hay đơn giản là plasma.

Người đọc có lẽ đã quyết định bước tiếp theo mà chúng ta sẽ thực hiện trong quá trình lập luận của mình. Tất nhiên, chúng ta phải cố gắng tìm hiểu xem liệu những cân nhắc này về dao động plasma có thể được khái quát hóa thành plasma hạt nhân-điện tử trong các sao lùn trắng hay không. Đáp số Câu hỏi này cũng cho phép khái quát hóa thực tế là có thể. Trong plasma hạt nhân-điện tử cũng phải có sự dao động gây ra bởi sự kết hợp các điện tích lẫn nhau. Nhưng trường hợp này khác với trường hợp đơn giản nhất đã thảo luận ở trên ở chỗ điện tích của hạt nhân không bằng điện tích của electron. Họ cũng có khối lượng khác nhau. Và điều rất quan trọng là nồng độ một phần trong plasma của sao lùn trắng lớn hơn hàng trăm nghìn lần so với plasma mặt trời. Ở nồng độ như vậy, plasma phải được mô tả bằng các định luật lượng tử (trong khi plasma mặt trời có thể được coi là một loại khí cổ điển gồm các hạt tích điện tương tác theo định luật Coulomb). Hóa ra câu hỏi về dao động plasma trong các sao lùn trắng có liên quan chặt chẽ đến câu hỏi về khả năng tồn tại các cấu trúc tinh thể trong chúng. Bây giờ chúng ta sẽ thảo luận về những vấn đề này.

Tinh thể hạt nhân và tính ổn định của mạng tinh thể

Một trong những phép biến đổi pha phổ biến và quen thuộc nhất đối với chúng ta là sự kết tinh. Không ai ngạc nhiên khi vào mùa đông sông hồ bị bao phủ bởi băng. Đôi khi ngay cả biển cũng đóng băng. Nhưng thật đáng kinh ngạc khi sự kết tinh có thể xảy ra trong biển plasma được hình thành bởi các electron và hạt nhân nguyên tử bên trong sao lùn trắng?

Trong các lý thuyết ban đầu về sao lùn trắng, người ta tin rằng vật chất có mật độ đặc trưng của các vùng bên trong

11

Thân của những ngôi sao này là hỗn hợp chất lỏng của hạt nhân và electron. Hạt nhân trong một “dung dịch” như vậy, giống như các hạt trong chất lỏng thông thường, có thể được thêm vào những khoảng cách đáng kể và chuyển động của chúng có thể hỗn loạn. Ý tưởng về cấu tạo và độ ổn định của mạng hạt nhân nguyên tử chìm trong biển điện tử đã xuất hiện cách đây hơn vài năm.

Chúng ta cũng đề xuất rằng hạt nhân nguyên tử mang điện tích Ze thực sự tạo thành một mạng tinh thể, tức là chúng được “gắn” vào những vị trí nhất định trong không gian. Tất nhiên, các electron xung quanh chúng “sóng” “đi” khắp tinh thể này, nhưng trung bình có các electron Z ở gần mỗi hạt nhân. Sự phá hủy mạng rõ ràng sẽ xảy ra nếu hạt nhân có thể bị dịch chuyển rất nhiều khỏi vị trí cân bằng của chúng. Những dao động nhỏ của hạt nhân không dẫn đến sự phá hủy mạng tinh thể.

Trong chất rắn thông thường, dao động của mạng tinh thể chủ yếu do nhiệt độ gây ra. Đối với tinh thể hạt nhân, tương tác Coulomb đóng vai trò rất quan trọng. Dao động kiểu plasma sẽ xảy ra ở bất kỳ nhiệt độ nào, kể cả những nhiệt độ rất thấp. Mục tiêu của chúng ta bây giờ là ước tính tần số và năng lượng của những dao động này và so sánh năng lượng sau với thế năng của hạt nhân trong mạng tinh thể và với giá trị kT, đặc trưng cho dao động nhiệt độ. Nếu thế năng hóa ra lớn hơn nhiều so với kT và năng lượng đặc trưng của dao động plasma, thì chúng ta có thể nói rằng hạt nhân được “gắn” với nút “của nó” trong mạng tinh thể.

Thật thuận tiện khi chia toàn bộ hệ thống “hạt nhân + electron” của chúng ta thành các ô có điều kiện có dạng hình cầu và mỗi ô chứa một hạt nhân có điện tích Ze và Z. Nếu một đơn vị thể tích chứa nₐ hạt nhân thì bán kính r của ô có thể được xác định từ điều kiện $\frac{4}{3} \pi r^3 n_\alpha = 1$; do đó $r \sim n_\alpha^{-1/3}$. Nói chung, mỗi tế bào như vậy đều trung hòa về điện. Vì số lượng electron Z >> 1, nên chúng ta có thể giả định để ước tính rằng các electron tạo thành đám mây mang điện tích âm được “bôi” đều khắp tế bào. Sự dao động của hạt nhân trong đám mây mang điện tích âm này sẽ xảy ra ở tần số plasma

$$\Omega_0^2 \sim \frac{n_\alpha(Ze)^2}{\varepsilon_0 m_\alpha} \sim \frac{Z^2 e^2}{\varepsilon_0 m_\alpha r^3}.$$

Đây thực chất là cùng một công thức (*). Nhưng bây giờ chúng ta mới nói về dao động của hạt nhân có điện tích Ze và khối lượng mₙ.

Chúng tôi đã đề cập rằng do mật độ hạt cao, plasma trong sao lùn trắng được mô tả bằng định luật lượng tử. Đương nhiên, các dao động trong plasma như vậy phải thuần khiết, do đó tổng năng lượng dao động của mạng tinh thể, được tạo ra từ hạt nhân nguyên tử, bao gồm các phần riêng lẻ - lượng tử năng lượng. Với tần số rung động, có thể dễ dàng ước tính năng lượng của phần đó. Để làm điều này, tần số $\Omega_0$ phải được nhân với hằng số Planck $\hbar \left(\hbar = \frac{h}{2\pi}\right)$.

Giá trị $\hbar \Omega_0$ là năng lượng đặc trưng của dao động plasma, liên hệ giữa một hạt dao động, trong trường hợp của chúng ta, với một hạt nhân. Ở đây chúng ta cũng nói rằng đối với các điều kiện điển hình bên trong các sao lùn trắng, năng lượng kT của dao động nhiệt (một lần nữa, trên mỗi tần số) nhỏ hơn nhiều so với $\hbar \Omega_0$. Điều này cho phép chúng ta “quên” nhiệt độ khi nói về sự thăng giáng của mạng tinh thể của sao lùn trắng. (Họ có thể kiểm chứng tính đúng đắn của bất đẳng thức kT << $\hbar \Omega_0$ bằng cách thay vào công thức $\Omega_0$ các giá trị bằng số của các tham số đặc trưng của sao lùn trắng và lấy

12

Ước tính nhiệt độ $T$ bên trong sao lùn trắng $\sim 10^6$ K.

Vì vậy, tất cả những gì chúng ta phải làm là so sánh $U_0$ và $\hbar \Omega_0$. Thế năng của một hạt nhân “ngồi” tại một vị trí của mạng tinh thể là $U_0 \sim \frac{Z^2 e^2}{\varepsilon_0 r}$. Đôi khi người ta nói rằng công thức “Coulomb” tổng quát này xác định “độ sâu của giếng thế” trong đó hạt nhân dao động “rơi”. Chúng ta cũng có thể nói rằng $U_0$ xác định năng lượng liên kết của hạt nhân trong hệ các hạt khác bao quanh nó.

Bây giờ chúng ta hãy viết mối quan hệ $\hbar \Omega_0 / U_0$ bằng cách sử dụng các công thức trên cho $\Omega_0$ và $U_0$:

$$\frac{\hbar \Omega_0}{U_0} \sim \left( \frac{\hbar^2 \varepsilon_0}{Z^2 e^2 r_m} \right)^{1/2} = \left( \frac{r_0}{r} \right)^{1/2}.$$

Đây $r_0 = \frac{\hbar^2 \varepsilon_0}{Z^2 e^2 m_\pi}$ là một tham số đặc trưng cho kernel với $Z$ và $m_\pi$ đã cho. Giá trị điển hình của $r_0 / r$ đối với sao lùn trắng là vào khoảng $10^{-5}$. (Bạn có thể tự mình có được con số này bằng cách đếm mật độ vật chất trong ngôi sao $\sim 10^9$ kg/m$^3$ và $Z \sim 10$.)

Do đó, chúng tôi tin rằng $(r_0 / r)^{1/2} \ll 1$, và điều này có nghĩa là năng lượng của hạt nhân bình bên trong sao lùn trắng nhỏ hơn thế năng. Nói cách khác, mạng tinh thể, nếu đã hình thành, sẽ không tự phân hủy!

Sự kết tinh trong sao lùn trắng

Trong sáu năm nay, chúng ta đã thảo luận về một tình huống trong đó hiệu suất liên quan đến nhiệt độ có thể bị bỏ qua. Trong trường hợp này, bất đẳng thức $\hbar \Omega_0 \gg kT$ đúng. Tuy nhiên, thuyết tiến hóa sao dự đoán rằng khi sao lùn trắng còn trẻ, các phản ứng hạt nhân đã diễn ra ở độ sâu của nó và nó khá nóng. Sau khi các phản ứng hạt nhân kết thúc, nhiệt độ trong ngôi sao có thể vẫn vào khoảng $10^7$ K. Đương nhiên, ở nhiệt độ đủ cao, sao lùn có thể không ở dạng kết tinh. Trong lịch sử ban đầu của nó, có thể đã có một thời kỳ mà $kT$ lớn hơn $\hbar \Omega_0$. Trong trường hợp này, vai trò chính không phải do plasma mà do sự dao động nhiệt độ.

Và trong giai đoạn này, $kT$ cần được so sánh với $U_0$ để giải quyết câu hỏi liệu mạng tinh thể khi đó có tồn tại hay không.

Không, dù có thể như vậy, phần lớn cuộc đời của người lùn đều trải qua trong những điều kiện $kT < \hbar \Omega_0 \ll U_0$. Vì vậy, khi nó còn sót lại, sự kết tinh phải xảy ra. Trong quá trình kết tinh, các vùng bên trong của sao luôn nóng hơn các vùng bên ngoài nên cấu trúc tinh thể - “lớp vỏ” - đầu tiên xuất hiện từ bên ngoài, sau đó mới “phát triển” vào sâu trong sao lùn.

Trong quá trình kết tinh, năng lượng được giải phóng và cuối cùng được ngôi sao tỏa ra. Tính toán cho thấy năng lượng này không hề nhỏ. Điều tự nhiên là so sánh nó với tổng năng lượng hấp dẫn (đây là tên của năng lượng cần thiết để phá hủy một quả cầu hấp dẫn và “phân tán” tất cả các hạt cấu thành của nó ở khoảng cách đủ lớn với nhau). Sự so sánh cho thấy rằng năng lượng giải phóng trong quá trình kết tinh có thể đạt tới một phần trăm hoặc thậm chí vài phần trăm tổng năng lượng hấp dẫn của một sao lùn trắng. Một nguồn năng lượng khác do sao lùn phát ra là năng lượng nhiệt của nó. Với điều kiện là nhiệt độ của mạng hạt nhân tinh thể bên trong gần nhau (theo ước tính, nhiệt độ sau có thể ở mức $10^7$ K), nguồn dự trữ năng lượng nhiệt có thể tương đương với năng lượng kết tinh. Về nguyên tắc, chúng ta có thể giả định rằng một sao lùn trắng, sau khi ngừng các phản ứng hạt nhân trong đó, sẽ ở trạng thái phát ra năng lượng cỡ một phần trăm năng lượng hấp dẫn của nó.

Năng lượng hấp dẫn của một ngôi sao

13

bậc độ lớn là $GM^2/R$; thay thế $M \sim 2 \cdot 10^{30}$ kg, $R = 7 \cdot 10^6$ m, chúng ta nhận được xấp xỉ $4 \cdot 10^{43}$ J. Độ sáng trung bình của các sao lùn trắng nóng và sáng là vào bậc $10^{-2} L_\odot$, trong đó $L_\odot \approx 4 \cdot 10^{26}$ W là độ sáng của Mặt trời của chúng ta (độ sáng là tổng năng lượng phát ra trên một đơn vị thời gian). Biết được điều này, có thể dễ dàng tính toán rằng năng lượng dự trữ - nhiệt và giải phóng trong quá trình kết tinh - đủ để một sao lùn trắng phát ra bức xạ trong ít nhất $10^9$ năm. Tất nhiên, những con số đưa ra chỉ là những giá trị điển hình; đối với các ngôi sao cụ thể, chúng có thể khác nhau. Người ta thường nói rằng giai đoạn cuối cùng của quá trình tiến hóa sao có thể là sao lùn trắng, sao neutron hoặc lỗ đen. Tuy nhiên, hóa ra ngay cả sau “tuổi trẻ đầy sóng gió”, các ngôi sao “không muốn chết”. Sau khi cạn kiệt nguồn năng lượng hạt nhân dự trữ, họ vẫn giữ được các nguồn và năng lượng dự trữ khác, cho phép chúng bức xạ trong một thời gian dài ngay cả khi lẽ ra phải đến “tuổi già”.

Bây giờ chúng ta có thể đưa ra lựa chọn chính cho câu chuyện của mình về các sao lùn trắng. Những ngôi sao loại này không quá nóng nên có dạng tinh thể; chúng là tinh thể; ngay khi nhiệt độ của chúng giảm xuống khoảng $10^6$ K.

Việc quan sát các sao lùn trắng là rất khó, đặc biệt nếu chúng là những ngôi sao nguội (trong thiên văn học chúng được gọi là sao lùn trắng “đỏ”). Độ chói thấp và độ phức tạp của quang phổ của chúng đòi hỏi các telex rất tinh vi. Đồng thời, hàng nghìn sao lùn trắng hiện đã được biết đến, nằm rải rác trong một quả cầu có bán kính 100 Parsec ($1$ Parsec $\approx 3 \cdot 10^{16}$ m) xung quanh Hệ Mặt trời. Tổng cộng, các sao lùn trắng chiếm từ 5 đến 10% tổng số sao.

Trạng thái vật chất của sao lùn trắng, không tồn tại và không thể đạt được trong điều kiện trên mặt đất, rất quan trọng đối với chúng ta để biết về tính chất vật lý của sao neutron - xét cho cùng, các lớp bên ngoài của chúng bao gồm vật chất có các thông số gần giống như bên trong sao lùn trắng.

Ứng dụng

Về mối liên hệ giữa các thông số chính của sao lùn trắng

Tất nhiên, các đặc điểm chính của bất kỳ ngôi sao nào là khối lượng, bán kính, thành phần hóa học, nhiệt độ và độ sáng. Tất nhiên, không phải tất cả các giá trị này đều độc lập. Chẳng hạn, thật dễ hiểu khi độ sáng phải liên quan đến nhiệt độ - ngôi sao càng nóng thì nó càng phát ra nhiều. Ở đây chúng tôi sẽ đưa ra một ví dụ về một mối quan hệ khác - giữa khối lượng của sao lùn trắng $M$, bán kính của nó $R$ và tỷ lệ của nó $Z/A$. Tham số $Z$ và $A$ là số trong Bảng tuần hoàn các nguyên tố và số khối (tức là số nucleon) của hạt nhân của những nguyên tử mà từ đó ngôi sao được “xây dựng”. Để đơn giản, chúng ta sẽ giả sử rằng sao lùn trắng được “xây dựng” từ các nguyên tử giống hệt nhau (giả định này sẽ không làm hỏng bức tranh định tính mà chúng ta quan tâm).

Các chất hấp dẫn, vật chất lướt qua của ngôi sao, tạo ra áp suất hấp dẫn bên trong. Cái gì “chống lại” áp lực này để đảm bảo sự cân bằng của ngôi sao? Trong trường hợp một ngôi sao như Mặt trời của chúng ta, lực nén hấp dẫn bị cản trở bởi áp suất khí (áp suất plasma). Ở các sao lùn trắng, áp suất hấp dẫn được cân bằng bởi áp suất của chất lỏng electron bên trong ngôi sao. Từ điều kiện cân bằng $p_G = p_e$ chúng ta có thể thu được công thức kết nối các tham số $M, R, Z$ và $A$ mà chúng ta quan tâm. Nhưng trước tiên chúng ta cần tìm $p_G$ và $p_e$. Chúng tôi sẽ làm điều này bằng cách sử dụng các cân nhắc về chiều.

Điều tự nhiên là giả sử rằng công thức tính áp suất hấp dẫn tại tâm ngôi sao phải là $p_G$ với khối lượng của ngôi sao $M$, bán kính của nó $R$ và hằng số hấp dẫn $G$. Hãy viết kích thước của các đại lượng này:

$$[p_G] = \kappa r^1 M^{-1} c^{-2},$$
$$[M] = \kappa r, [R] = m, [G] = \kappa r^{-1} M^3 c^{-2}.$$

Chúng ta sẽ tìm sự phụ thuộc $p_G(G, M, R)$ mà chúng ta quan tâm ở dạng $p_G \sim G^x M^y R^z$. Hãy viết các điều kiện để cân bằng các kích thước khí ở phần bên trái và bên phải của hệ thức đã viết:

$$\kappa r^1 M^{-1} c^{-2} = \kappa r^{-1} M^3 c^{-2} = \kappa r^{-1} + y M^3 x + z c^{-2}.$$

Đẳng thức này chỉ được thỏa mãn nếu

$$1 = -x + y, -1 = 3x + z, -2 = -2x.$$

Giải hệ phương trình này, ta thu được: $x = 1, y = 2, z = -4$. Do đó, loại bỏ công thức là:

$$p_G \sim G \frac{M^2}{R^4}.$$

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang định nghĩa của $p_G$. Việc trình bày kết quả ở đây rất hữu ích